Círculo de Mohr: estados de tensão do elemento ao FEM

Solicite uma viga de aço e algo acontece no seu interior que a sua intuição silenciosamente erra. Uma fibra perto da mesa, o metal em torno de um furo de parafuso, a garganta de uma solda, uma fatia de alma carregando flexão e cisalhamento ao mesmo tempo — nenhuma delas sente uma única tensão "para cima ou para baixo". Cada uma está num estado de tensão bidimensional completo que muda conforme o ângulo do plano que você escolhe observar. Gire o plano e a tensão normal cresce enquanto o cisalhamento cai; gire mais e o cisalhamento desaparece por completo. O material não se importa com os seus eixos coordenados — ele falha no plano que estiver trabalhando mais, e esse plano quase nunca é o que você desenhou primeiro.

O círculo de Mohr é a figura de 140 anos que permite ao engenheiro enxergar esse estado e ler o pior plano diretamente dele. Marque a tensão normal num eixo e o cisalhamento no outro, e todo plano que passa por um ponto colapsa sobre um único círculo. Os dois pontos onde ele cruza o eixo horizontal são as tensões principais σ₁ e σ₂ — os planos com cisalhamento nulo — e o raio é o cisalhamento máximo que o ponto jamais sentirá. Um único desenho responde a toda a pergunta "qual direção é perigosa".

Este texto pretende ser o passo a passo definitivo, e vai até o fim: da definição σ_x/σ_y/τ_xy de um elemento de tensão, passando por um círculo traçado à mão em cinco passos, até uma fibra real de barra no FEM e a verificação normativa que decide se ela passa. Todo número trabalhado aqui foi produzido pelo motor de elementos finitos do CalcSteel — o mesmo solver que roda no app — e conferido contra a álgebra fechada até a terceira casa decimal. Há um círculo de Mohr ao vivo e arrastável embutido mais abaixo na página para você reproduzir cada resultado sozinho.

Escrevemos para três leitores ao mesmo tempo. Se você é estudante, trate como o capítulo de transformação de tensões que o seu curso atravessa correndo numa única aula. Se você é engenheiro em atuação, pule para a entrega do FEM e para o edifício de aço real, onde o círculo deixa de ser um brinquedo de livro-texto e passa a pintar as cores de verificação num modelo 3-D. E se você é apenas curioso sobre como o software sabe que uma barra é segura, siga a história — ela termina dentro de um pórtico em funcionamento.

A calculadora de círculo de Mohr do CalcSteel é gratuita, roda no seu navegador sem login para a matemática, e desenha cada círculo deste artigo enquanto você lê.

O círculo de Mohr é uma forma gráfica das equações de transformação de tensão bidimensionais: marque a tensão normal σ no eixo horizontal e a tensão de cisalhamento τ no eixo vertical, e todo plano que passa por um ponto é mapeado em exatamente um ponto de um único círculo. Onde o círculo cruza o eixo σ — onde o cisalhamento é nulo — estão as tensões principais, e seu raio é o cisalhamento máximo no plano.

Essa é a ideia inteira num único parágrafo. O estado de tensão num ponto não é um número; são três — σ_x, σ_y e τ_xy — e esses três determinam completamente o que acontece em todo outro plano que passa por aquele ponto. As equações de transformação dizem a tensão normal e a de cisalhamento num plano girado por um ângulo θ qualquer. A percepção de Mohr foi que, se você lança essas equações num gráfico σ-versus-τ, o lugar geométrico de todos os planos possíveis não é uma curva confusa qualquer — é um círculo perfeito, centrado no eixo σ na média de σ_x e σ_y.

Uma vez que você tem o círculo, tem as respostas por inspeção. Os dois cruzamentos com o eixo horizontal são as tensões principais σ₁ (a maior tensão normal no ponto) e σ₂ (a menor), e nesses dois planos o cisalhamento é exatamente nulo. O topo e o fundo do círculo dão o cisalhamento máximo no plano τ_max, igual ao raio. O centro nunca se move conforme você gira, porque a soma σ_x + σ_y é um invariante — fato em que vamos nos apoiar fortemente como autoconferência.

A coisa mais importante a levar para a próxima seção é a relação de ângulos. Girar fisicamente o plano de inspeção por um ângulo θ leva você duas vezes mais longe — um 2θ completo — em torno do círculo de Mohr. Gire o plano real por 45° e você percorre 90° no círculo, que é exatamente por que o plano de cisalhamento máximo fica a 45° do plano de tensão normal máxima. Domine essa duplicação e o resto da figura se lê sozinho.

O círculo de Mohr parece atemporal, mas quase toda ideia dentro dele tem data e nome. Levou boa parte de um século para ir da primeira definição rigorosa de tensão num plano ao círculo elegante que os engenheiros hoje esboçam de memória — e apenas mais algumas décadas até um solver conseguir construir esse círculo em cada fibra de uma estrutura automaticamente.

• 1822 — Augustin-Louis Cauchy coloca a tensão sobre uma base matemática firme, introduzindo o tensor de tensões e a tração (força por área) atuando num plano arbitrário que passa por um ponto. Tudo o que se segue é uma forma de visualizar o tensor de Cauchy.
• 1858 — William Rankine nomeia e formaliza a tensão principal — os planos em que o cisalhamento se anula e a tensão normal é extrema — dando significado aos dois cruzamentos com o eixo σ.
• 1866 — Karl Culmann, trabalhando na estática gráfica, desenha o primeiro círculo de tensões: uma construção geométrica para transformar tensão, e o ancestral direto do diagrama que usamos hoje.
• 1882 — Otto Mohr generaliza a construção de Culmann no círculo completo que hoje leva seu nome, mostrando como ler todo plano, ambas as tensões principais e o cisalhamento máximo a partir de um único desenho — e argumentando que é a tensão de cisalhamento que governa a falha dos materiais dúcteis.
• ~1900 — August Föppl e outros popularizam o método nos grandes livros-texto alemães de engenharia, e ele se torna item padrão no ensino de resistência dos materiais no mundo todo.
• 1950–60 — a análise matricial de estruturas e o método dos elementos finitos transformam a análise de tensões em álgebra linear que um computador pode executar, avaliando o tensor de Cauchy em cada ponto de uma malha sem uma única construção à mão.

Hoje toda essa linhagem roda no instante em que você aperta um botão. Um solver moderno calcula o tensor de tensões em cada fibra e constrói o círculo de Mohr correspondente em milissegundos — a mesma construção que Mohr desenhou à mão em 1882, reproduzida milhares de vezes antes de você terminar de ler esta frase. Quando a calculadora do CalcSteel desenha um círculo, ela está comprimindo um século de mecânica em poucos milissegundos, e é grátis.

Tudo começa com um pequeno quadrado recortado do corpo carregado — o elemento de tensão. Imagine dar zoom num único ponto até o material ao redor parecer um pequeno quadrado (em três dimensões, um cubo) alinhado com seus eixos x e y. Em suas duas faces verticais atua a tensão normal σ_x; nas duas faces horizontais, σ_y; e ao longo de suas arestas, a tensão de cisalhamento τ_xy. Esses três números são o estado de tensão 2-D naquele ponto. Escolha qualquer outra orientação e o mesmo estado físico aparece como valores diferentes de σ e τ — que é exatamente o que o círculo organiza.

Antes de desenhar qualquer coisa, fixe uma convenção de sinais e nunca a solte. Ao longo deste guia:

• Tração é positiva, compressão é negativa para a tensão normal σ. Uma fibra sendo puxada aparece à direita no círculo; uma fibra sendo esmagada aparece à esquerda.
• O cisalhamento é marcado de forma que uma rotação física anti-horária do plano vire uma varredura anti-horária no círculo. Concretamente, marcamos a face X no ponto (σ_x, −τ_xy) e a face Y em (σ_y, +τ_xy). Esses dois pontos são sempre diametralmente opostos — são as extremidades de um diâmetro — e a linha que os une passa pelo centro.

Qual convenção você escolhe importa muito menos do que usá-la de forma consistente do primeiro ao último ponto. Escolha esta, mantenha-a, e o ângulo que você ler no círculo sempre girará no mesmo sentido que o plano que você está girando no elemento real.

O círculo é apenas uma figura das equações de transformação de tensão. Para um plano girado por um ângulo θ em relação ao eixo x, as tensões normal e de cisalhamento são:

• σ_x'(θ) = (σ_x + σ_y)/2 + (σ_x − σ_y)/2 · cos 2θ + τ_xy · sin 2θ
• σ_y'(θ) = (σ_x + σ_y)/2 − (σ_x − σ_y)/2 · cos 2θ − τ_xy · sin 2θ
• τ_x'y'(θ) = −(σ_x − σ_y)/2 · sin 2θ + τ_xy · cos 2θ

Repare no 2θ em toda parte: essa é a álgebra por trás da duplicação "ângulo real θ, ângulo do círculo 2θ" da última seção. A primeira equação é a coordenada horizontal de um ponto se movendo ao redor de um círculo de centro (σ_x + σ_y)/2; a terceira é sua coordenada vertical. É só isso que o círculo de Mohr é — essas duas equações, desenhadas.

Aqui está a receita canônica de cinco passos para construir o círculo a partir de qualquer (σ_x, σ_y, τ_xy):

1. Ache o centro. Ele fica no eixo σ na média σ_med = (σ_x + σ_y)/2 — sem cisalhamento, porque o centro é onde as duas contribuições de tensão normal se equilibram.
2. Ache o raio. R = √[ ((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy² ]. Este é o cisalhamento máximo no plano que o ponto pode sentir.
3. Marque os dois pontos das faces. X = (σ_x, −τ_xy) e Y = (σ_y, +τ_xy); a linha que passa por eles é um diâmetro e confirma seu centro e raio.
4. Leia as tensões principais. σ₁ = σ_med + R e σ₂ = σ_med − R, os dois cruzamentos com o eixo σ, onde τ = 0. O ângulo do plano principal é θ_p = ½·atan2(2τ_xy, σ_x − σ_y), medido até σ₁.
5. Leia o cisalhamento máximo. τ_max = R, no topo e no fundo do círculo, num plano a 45° do plano principal (θ_s = θ_p − 45°).

Todo exemplo trabalhado a seguir usa exatamente esses cinco passos — e a calculadora também, só que mais rápido. Se você quiser ver de onde vêm os σ e τ que alimentam o passo 1 numa barra real, os primers complementares de flexão composta com esforço axial e momento fletor rastreiam os esforços internos de volta à seção.

A teoria gruda no momento em que você desenha um. Vamos pegar o mesmo estado plano de tensão geral que você encontrará na calculadora ao vivo daqui a uma seção e construir seu círculo de Mohr à mão, passo a passo. As entradas são o caso canônico: σ_x = 80 MPa (tração), σ_y = 20 MPa (tração) e τ_xy = 30 MPa. É exatamente o preset padrão da calculadora, então quando você chegar ao embed poderá reproduzir cada número abaixo sem digitar nada.

Passo 1 — Marque os dois pontos das faces

Usando a convenção de marcação da seção anterior, a face X vai em (σ_x, −τ_xy) = (80, −30) e a face Y em (σ_y, +τ_xy) = (20, +30). Esses dois pontos são diametralmente opostos no círculo — trace a linha entre eles e você já tem o diâmetro.

Passo 2 — Ache o centro

O centro sempre fica no eixo σ na tensão normal média:

• σ_med = (σ_x + σ_y) / 2 = (80 + 20) / 2 = 50 MPa.

Então o centro é C = (50, 0). Repare que a coordenada de cisalhamento do centro é sempre zero — é isso que faz o eixo principal ser o eixo σ.

Passo 3 — Ache o raio

O raio é a distância do centro a qualquer ponto de face. Horizontalmente essa distância é (σ_x − σ_y)/2 = 30 MPa; verticalmente é τ_xy = 30 MPa. Então:

• R = √[((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²] = √(30² + 30²) = √1800 = 42,43 MPa.

Passo 4 — Leia as tensões principais

As tensões principais são onde o círculo cruza o eixo σ — o centro mais ou menos o raio:

• σ₁ = σ_med + R = 50 + 42,43 = 92,43 MPa,
• σ₂ = σ_med − R = 50 − 42,43 = 7,57 MPa.

O cisalhamento máximo no plano é simplesmente o raio, τ_max = R = 42,43 MPa, situado bem no topo e no fundo do círculo.

Passo 5 — Ache o ângulo até o plano principal

O ângulo da face X até σ₁ — medido no círculo, portanto o dobro da rotação física — vem direto da geometria:

• θ_p = ½ · atan2(2τ_xy, σ_x − σ_y) = ½ · atan2(60, 60) = ½ · 45° = 22,5°.

Então girar o elemento físico por 22,5° leva você ao plano principal onde o cisalhamento se anula e σ₁ = 92,43 MPa atua sozinho. Uma conferência rápida que nunca falha: σ₁ + σ₂ = 92,43 + 7,57 = 100 MPa = σ_x + σ_y — a soma das tensões normais é invariante em qualquer ângulo de rotação, então se a conta não fecha, um número está errado.

Cinco passos, um círculo, e toda grandeza que uma verificação de projeto precisa já é legível no desenho. Na próxima seção vamos percorrer o próprio círculo e ver exatamente onde cada um desses valores mora — e na seção seguinte você poderá reconstruir toda essa figura ao vivo na calculadora de círculo de Mohr do CalcSteel.

Uma vez desenhado, o círculo vira um painel de controle — toda grandeza de que uma verificação de tensão precisa tem um lugar fixo nele. Mantenha em mente o estado trabalhado (σ_x = 80, σ_y = 20, τ_xy = 30 MPa, centro 50, raio 42,43) e vamos passear pela geometria.

Os dois cruzamentos com o eixo σ são as tensões principais

Onde o círculo corta o eixo horizontal, a coordenada de cisalhamento é nula — sem cisalhamento nesse plano — então esses cruzamentos são, por definição, as tensões principais. O cruzamento à direita é σ₁ = 92,43 MPa, o da esquerda é σ₂ = 7,57 MPa. Fisicamente, σ₁ é a maior tração que qualquer plano do ponto sente, e atua numa face girada θ_p = 22,5° da face X original.

O topo e o fundo são o cisalhamento máximo no plano

Os pontos mais alto e mais baixo do círculo ficam a um raio inteiro acima e abaixo do eixo, então o cisalhamento máximo no plano é igual ao raio, τ_max = R = 42,43 MPa. Como um diâmetro subtende 180° no círculo e 180° no círculo são 90° no elemento real, o topo do círculo está a 90° de arco do cruzamento principal — 45° físicos. Essa é a regra que vale gravar: o plano de cisalhamento máximo fica sempre a 45° do plano principal, aqui em θ_s = θ_p − 45° = −22,5°. Nesse plano o cisalhamento está no seu pico e a tensão normal é exatamente σ_med = 50 MPa.

O invariante que confere seu trabalho

Gire o elemento a qualquer ângulo e as duas leituras de tensão normal ainda somam o mesmo número: σ_x' + σ_y' = σ_x + σ_y = σ₁ + σ₂ = 100 MPa. Geometricamente é óbvio — os dois pontos permanecem diametralmente opostos, então suas coordenadas σ sempre têm média no centro. É a autoconferência mais rápida que existe.

O círculo fora do plano que você não pode esquecer

O estado plano de tensão não é verdadeiramente bidimensional — a terceira tensão principal é σ₃ = 0, fora do plano. Desenhe o círculo entre σ₁ = 92,43 e esse σ₃ = 0 e seu raio é maior que o do plano. O cisalhamento máximo absoluto é, portanto, τ_abs,max = σ₁/2 = 46,21 MPa, e não o valor de 42,43 MPa no plano. Esse número maior — não o τ_max no plano — é o que uma verificação de Tresca realmente usa, e é a coisa que os engenheiros mais comumente perdem ao tratar um problema de estado plano de tensão como se o terceiro círculo não existisse.

Então, de um único desenho você lê a pior tração (σ₁), a pior compressão (σ₂), o pior cisalhamento no plano (R), o pior cisalhamento de todos (τ_abs,max), e os ângulos até cada um. É esse todo o sentido do círculo — e a seguir você fará isso sozinho com uma versão arrastável.

Você construiu o círculo à mão e passeou por cada ponto notável dele. A forma mais rápida de fixá-lo é agarrá-lo e movê-lo — então aqui está ele, ao vivo e embutido nesta página.

Carregue o estado trabalhado — σ_x = 80, σ_y = 20, τ_xy = 30 MPa (é o padrão, então talvez já esteja lá) — e confirme os números que você acabou de deduzir: centro 50, raio 42,43, σ₁ = 92,43, σ₂ = 7,57, θ_p = 22,5°. Depois comece a arrastar. Aumente τ_xy e veja o círculo inchar, σ₁ e σ₂ se afastarem, e θ_p girar em direção a 45°; puxe-o a zero e o círculo colapsa sobre o eixo até σ_x e σ_y serem as tensões principais. Girar o plano percorre o dobro em torno do círculo — você pode ver a relação 2θ acontecer em tempo real.

É a ferramenta de verdade, não uma amostra: execuções ilimitadas, totalmente gratuita, e sem login para a matemática. Quando estiver pronto para ir além, você pode carregar uma seção real resolvida no FEM, trocar do estado plano de tensão para um estado triaxial 3-D completo com os três círculos, e compartilhar um permalink do estado exato que está olhando. Se abrir numa aba própria, aqui está o link direto para a calculadora de círculo de Mohr do CalcSteel.

Brinque com o estado de livro-texto aqui, porque nas seções que se seguem as tensões deixam de vir de entradas arrumadas e passam a vir de uma barra real — uma viga-coluna e depois um edifício de aço completo — onde o motor de elementos finitos entrega ao círculo seus σ e τ automaticamente. Se você quiser primeiro ver de onde vêm esses esforços internos, o guia complementar sobre diagramas de esforço cortante e momento fletor é o aquecimento perfeito.

Uma vez que você tenha desenhado alguns círculos à mão, um punhado de estados de tensão começa a parecer velhos conhecidos. Seus círculos têm formas tão distintas que você lê a resposta antes de terminar a aritmética. Memorize estes três e você conferirá quase qualquer resultado real em segundos.

Tração (ou compressão) uniaxial

Puxe uma barra ao longo de seu eixo e apenas uma tensão normal sobrevive: σ_x = σ, σ_y = 0, τ_xy = 0. O círculo é centrado em σ/2 com raio σ/2, então passa limpo pela origem. Os dois cruzamentos com o eixo σ são as tensões principais: σ₁ = σ e σ₂ = 0. O topo do círculo fica em τ_max = σ/2, num plano a 45° do eixo da barra — que é exatamente por que um corpo de prova dúctil de tração estrangula e cisalha ao longo de planos de escorregamento a 45°, e por que um giz frágil sob tração quebra reto. Isto não é só um brinquedo de livro-texto: a fibra extrema de flexão de uma barra real é um estado uniaxial, e você a reencontrará como resultado genuíno de FEM na próxima seção.

Cisalhamento puro

Agora carregue um grupo de parafusos ou uma alma de viga de modo que só haja cisalhamento: σ_x = σ_y = 0, τ_xy = τ. O centro cai na origem e o raio é τ, então o círculo é centrado no zero e simétrico. As tensões principais saem iguais e opostas: σ₁ = +τ e σ₂ = −τ. Em outras palavras, um estado de cisalhamento puro é também um estado de tração e compressão iguais girado 45°. Esses 45° são a razão de um eixo sob torção feito de material frágil fraturar ao longo de uma superfície helicoidal a 45° em vez de reto — a diagonal de tração, não o cisalhamento em si, é o que o rasga.

Estados biaxiais iguais e hidrostáticos

Por fim, carregue um ponto igualmente nas duas direções: σ_x = σ_y = σ, τ_xy = 0. O raio R = √[((σ − σ)/2)² + 0²] é exatamente zero, então o círculo colapsa num único ponto no eixo σ. Um círculo-ponto carrega uma mensagem direta: não há tensão de cisalhamento em nenhum plano, e toda direção é uma direção principal. A parede fina de um vaso de pressão esférico se aproxima desse estado biaxial igual; um estado verdadeiramente hidrostático (igual nas três direções) é o que um fluido sente, e produz distorção nula — fato que embasa todo o critério de von Mises a que chegaremos em breve.

Essas três silhuetas — um círculo pela origem, um círculo montado na origem e um círculo reduzido a um ponto — são o vocabulário de tudo o que se segue. Carregue qualquer uma delas na calculadora de círculo de Mohr gratuita e veja a forma se encaixar no lugar antes de confiar num único número.

Os círculos de livro-texto começam com σ_x, σ_y e τ_xy já entregues a você. O projeto real nunca faz isso. Um solver de elementos finitos dá a você os esforços internos numa seção — um esforço axial N, um cortante V e um momento fletor M — e cabe a você (ou ao motor) transformá-los nas tensões que constroem o círculo. A ponte é a mecânica dos materiais elementar:

• Tensão normal do axial mais flexão: σ = N/A ± M/S_x, maior na fibra extrema mais distante da linha neutra.
• Tensão de cisalhamento do esforço transversal: τ ≈ V/A_w, maior na linha neutra, onde a tensão de flexão se anula.

A inversão de sinal é o ponto central: as duas tensões têm pico em lugares diferentes. Então uma única seção transversal não tem um círculo de Mohr — ela tem um círculo diferente em cada fibra, e as duas que importam ficam em extremidades opostas da alma.

A barra: uma viga-coluna IPE 330

Tome um balanço de 3 m em IPE 330 (área A = 62,6 cm², módulo elástico S_x = 685,9 cm³, área de cisalhamento da alma A_w = 24,75 cm²), aço S355. Carregue a ponta livre com um axial F_x = −150 kN (compressão) e um transversal F_y = 20 kN. Passando pelo motor FEM do CalcSteel que roda no app (o mesmo run_analysis que aciona o editor 3-D), a base engastada retorna N = −150 kN, V = 20 kN, M = 60 kN·m. Agora inspecione duas fibras dessa mesma seção.

Fibra 1 — a fibra extrema (a flexão governa, τ = 0)

Na fibra mais externa a tensão de flexão é máxima e o cisalhamento transversal é nulo. Empilhando axial e flexão: σ_x = N/A − M/S_x = (−150/62,6 − 6000/685,9) × 10 = −111,4 MPa, com τ = 0. É um estado uniaxial, então o círculo é o caso especial da seção anterior — ele passa pela origem: σ₁ = 0, σ₂ = −111,4 MPa, τ_max = 55,7 MPa, ângulo principal θ_p = 90°, e von Mises σ_vM = 111,4 MPa (utilização η = 0,35 pela NBR 8800). Compressão pura, círculo degenerado, um número a verificar.

Fibra 2 — a linha neutra (um estado 2-D genuíno)

Deslize até a linha neutra e a história vira: a tensão de flexão é nula ali, mas a tensão axial ainda atua e o cisalhamento transversal está agora no seu máximo. Então σ_x = N/A = −23,96 MPa e τ_xy = V/A_w = 8,08 MPa atuam juntas — um estado combinado genuíno. O círculo é centrado em −11,98 MPa com raio 14,45 MPa, dando σ₁ = +2,47 MPa, σ₂ = −26,43 MPa, τ_max = 14,45 MPa e θ_p = 73,0°. Repare em algo que uma visão uniaxial teria perdido por completo: mesmo sob compressão líquida, esta fibra carrega uma pequena tração, σ₁ = +2,47 MPa, porque o cisalhamento inclina as direções principais.

O golpe de mestre: a mesma seção IPE 330 produziu dois círculos de Mohr completamente diferentes — um uniaxial degenerado na fibra extrema e um combinado real na linha neutra. Uma verificação correta olha para as duas, porque você não tem como saber de antemão qual fibra governa a barra. É exatamente a interação de esforço axial mais flexão detalhada em flexão composta com esforço axial, e ela decorre diretamente dos esforços internos que você lê num diagrama de esforço cortante e momento fletor. Carregue uma seção resolvida na calculadora de círculo de Mohr e você poderá alternar entre fibras sozinho.

O círculo de Mohr diz as piores tensões e os planos em que elas atuam — mas, sozinho, não diz se o aço escoa. Para isso você alimenta suas tensões principais num critério de escoamento, e os dois que importam para o aço estrutural são lidos direto do círculo.

Tresca — o critério do cisalhamento máximo

Tresca é o honesto e conservador: o escoamento começa quando a tensão de cisalhamento máxima atinge o cisalhamento de escoamento do material. No círculo esse cisalhamento máximo é simplesmente o raio do maior dos três círculos principais, então o critério é τ_max = (σ₁ − σ₃)/2, ou seja, a medida de falha é σ₁ − σ₃. É geometricamente literal — você está lendo o topo do maior círculo — o que é exatamente por que ele erra para o lado seguro.

von Mises — o critério da energia de distorção

O projeto de aço quase sempre usa von Mises, porque ele se aproxima melhor dos dados de ensaio de metais dúcteis. Para um estado plano de tensão ele se reduz a uma fórmula limpa nas duas tensões principais no plano:

σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)

Ela captura a ideia de que a distorção, não a mudança pura de volume, dirige o escoamento — que é por que um círculo-ponto hidrostático (todas as tensões principais iguais) tem von Mises nulo, por maior que seja a pressão. Uma advertência que pega as pessoas: von Mises é um critério tridimensional. Num estado plano de tensão genuíno a terceira tensão principal é σ₃ = 0, e ela ainda pertence à figura — é o círculo fora do plano σ₃ = 0 que define o verdadeiro τ_abs,max, e omiti-lo em silêncio é um dos erros mais comuns com o círculo de Mohr.

A verificação normativa

O projeto transforma essa tensão numa única razão de utilização η, comparando a demanda com a resistência ao escoamento de cálculo f_yd:

• NBR 8800: f_yd = f_y/γ_a1, com γ_a1 = 1,10.
• AISC 360 (LRFD): f_yd = φ·f_y, com φ = 0,90.

Passe o estado canônico trabalhado por ele — σ_x = 80, σ_y = 20, τ_xy = 30 MPa, dando σ₁ = 92,43 MPa e σ₂ = 7,57 MPa. Sua tensão de von Mises é σ_vM = √(92,43² − 92,43·7,57 + 7,57²) = 88,88 MPa. Para o aço S355, a verificação pela NBR 8800 é η = 88,88 / (355/1,10) = 88,88 / 322,7 = 0,28. A barra está a 28% do escoamento — confortavelmente segura. Repare como os números ficam distantes: σ₁ = 92,43 MPa mas σ_vM = 88,88 MPa. Tensão principal não é von Mises — o critério combina σ₁ e σ₂, e só o valor de von Mises entra na verificação normativa.

É exatamente o número que o motor do CalcSteel calcula em cada fibra, e na próxima seção você verá esse mesmo valor de von Mises pintar as cores de verificação num edifício de aço 3-D real. Você pode reproduzir os 88,88 MPa sozinho na calculadora de círculo de Mohr gratuita — ela reporta tanto σ₁/σ₂ quanto a utilização de von Mises lado a lado.

A viga-coluna da última seção era uma barra. Agora suba de escala para um edifício — porque toda a razão de um solver construir um círculo de Mohr em cada fibra é poder dizer qual fibra, em qual barra, de todo um pórtico, está mais próxima do escoamento. É esse o número que decide se o aço é seguro.

Tome um pórtico real, IPE 330 em toda a extensão: um vão de 12 m, pilares de 6 m no beiral, carregando gravidade w = 12 kN/m na tesoura mais um empuxo lateral de vento de 15 kN, sobre bases engastadas. É um pórtico deslocável estaticamente hiperestático — os joelhos rígidos e os pés engastados dão mais vínculos do que só o equilíbrio consegue resolver, então não há fórmula fechada de livro-texto. Só uma solução por elementos finitos dá a resposta, e o motor do CalcSteel retorna reações de apoio limpas como primeira conferência: vertical ΣF_y = 144 kN (exatamente w·L = 12 × 12) e horizontal ΣF_x = −15 kN (equilibrando o vento com precisão).

A fibra governante

O motor varre cada barra e encontra a fibra mais carregada no meio do vão da tesoura: um axial N = −15,3 kN combinado com um momento fletor M = 184,7 kN·m. Passado por σ = N/A − M/S_x na IPE 330 (A = 62,6 cm², S_x = 685,9 cm³), essa fibra extrema alcança:

• σ_x = −271,7 MPa — uma compressão quase uniaxial, então o círculo de Mohr passa essencialmente pela origem.
• von Mises σ_vM = 271,7 MPa — para tensão uniaxial o valor de von Mises é igual à magnitude da própria tensão.
• Utilização η = 271,7 / (355 / 1,10) = 0,842 pela NBR 8800 (γ_a1 = 1,10), ou η = 271,7 / (0,90 × 355) = 0,850 pela AISC 360 (φ = 0,90).

A barra passa, mas por pouco — a cerca de 84% de utilização é uma seção âmbar, bem trabalhada, exatamente o tipo que você quer num projeto eficiente: sem aço desperdiçado, com margem real ainda em mãos.

Por que a ação de pórtico importa

Aqui está a história que o círculo conta. Se essa mesma tesoura de 12 m fosse uma viga biapoiada sob w = 12 kN/m, seu momento no meio do vão seria o clássico wL²/8 = 12 × 12² / 8 = 216 kN·m. Dobrada num pórtico rígido, os joelhos rígidos puxam momento para fora do vão e o distribuem pelos cantos, de modo que o momento governante da tesoura cai para 184,7 kN·m. Essa redistribuição — a razão de os pórticos serem tão eficientes, e a razão de precisarem de um solver — é detalhada fibra por fibra em nosso pillar de esforço cortante e momento fletor.

O desfecho que amarra todo este guia: o motor transforma essa única fibra governante num círculo de Mohr, lê suas tensões principais, calcula σ_vM = 271,7 MPa, e esse valor exato de von Mises é o que pinta as cores de verificação no modelo 3-D do editor do CalcSteel — verde para confortável, âmbar para bem utilizado, vermelho para sobrecarregado. O círculo que você aprendeu a desenhar à mão é o mesmo que colore cada barra de um edifício de aço real.

A construção é limpa, mas o mesmo punhado de deslizes pega estudantes e engenheiros em atuação por igual. Passe por esta lista de conferência antes de confiar em qualquer círculo que você desenhe — ou leia de um solver.

• Confundir o ângulo: é 2θ no círculo, não θ. Girar o plano físico por um ângulo θ percorre o dobro desse ângulo em torno do círculo. Uma rotação de 45° do elemento é uma viagem de 180° pelo diagrama — que é exatamente por que o plano de cisalhamento máximo e o plano principal ficam a 45° no espaço, mas a 90° no círculo.
• Errar o sinal de marcação do cisalhamento. Para que uma rotação física anti-horária seja lida como uma varredura anti-horária no círculo, marque a face X em (σ_x, −τ_xy) e a face Y em (σ_y, +τ_xy). Inverta esse sinal e seus ângulos saem com o sentido trocado, mesmo que σ₁ e σ₂ ainda pareçam certos.
• Colocar τ_max no plano principal. O cisalhamento máximo no plano atua num plano a 45° do plano principal (θ_s = θ_p − 45°), no topo e no fundo do círculo — nunca onde σ₁ e σ₂ moram. Nos planos principais o cisalhamento é exatamente nulo.
• Esquecer o círculo fora do plano σ₃ = 0. Para um estado plano de tensão, o verdadeiro cisalhamento máximo absoluto é muitas vezes definido pelo terceiro círculo que passa por σ₃ = 0, não pelo do plano. No nosso estado trabalhado τ_max no plano é 42,43 MPa, mas τ_abs,max = σ₁/2 = 46,21 MPa — e esse valor maior é o que uma verificação de Tresca realmente usa.
• Tratar a tensão principal como o número de falha. σ₁ é a maior tensão normal, mas o aço dúctil escoa por energia de distorção: a verificação roda com von Mises σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), não com σ₁ sozinho. No nosso exemplo σ₁ = 92,43 MPa mas σ_vM = 88,88 MPa — são simplesmente grandezas diferentes.
• Esperar cisalhamento em algum lugar de um círculo-ponto. Um estado biaxial igual (hidrostático no plano) colapsa o círculo num único ponto de raio zero. Todo plano então carrega a mesma tensão normal e cisalhamento nulo — não há orientação que produza qualquer cisalhamento.

O círculo de Mohr ainda é usado hoje?

Sim — constantemente, embora raramente com lápis e compasso. A construção é a gramática visual por trás de toda verificação de tensão: um solver calcula o tensor de tensões em cada fibra e o reduz exatamente como o círculo faz, a tensões principais e a um valor de von Mises. Os engenheiros ainda recorrem ao círculo para raciocinar sobre estados combinados, conferir software e ensinar a geometria da tensão. Desenhe um você mesmo na calculadora de círculo de Mohr gratuita e a figura de 140 anos aparece em tempo real.

O que são, fisicamente, as tensões principais?

São as maiores e menores tensões normais num ponto, e atuam nos dois planos onde a tensão de cisalhamento se anula por completo. Gire seu corte imaginário até nada estar tentando deslizar as faces uma sobre a outra — sobra puro empurrar ou puxar — e esses valores puramente normais são σ₁ e σ₂. No círculo são simplesmente os dois pontos onde ele cruza o eixo σ. Importam porque as trincas tendem a abrir perpendicularmente a σ₁, e os critérios de escoamento são construídos a partir delas.

Por que o ângulo é dobrado no círculo?

Porque as equações de transformação de tensão para σ e τ são funções de 2θ — contêm cos 2θ e sin 2θ, não cos θ e sin θ. O círculo de Mohr é só a figura geométrica dessas equações, então uma rotação física de θ necessariamente mapeia num arco de 2θ. Não é uma convenção que você poderia escolher diferente; ela cai direto da álgebra de girar um tensor simétrico.

Existe círculo de Mohr para deformação?

Sim. A mesma construção funciona com a deformação normal ε no eixo horizontal e metade da distorção angular (γ/2) no eixo vertical. Dá as deformações principais e a distorção máxima exatamente do mesmo jeito, que é precisamente como uma roseta extensométrica é reduzida a valores principais. A geometria é idêntica — só os rótulos dos eixos mudam.

Você percorreu a estrada inteira — de um pequeno quadrado com σ_x, σ_y e τ_xy nas faces, até a fibra governante de um pórtico de aço real e a verificação normativa que o mantém de pé. Eis o que levar.

• Um ponto sente um estado 2-D, não uma única tensão. Todo plano que passa por ele é mapeado num ponto de um círculo centrado em σ_med com raio R = τ_max. Ler o círculo revela o pior plano num relance.
• O círculo entrega os números de projeto diretamente. Os dois cruzamentos com o eixo σ são as tensões principais (σ₁ = 92,43, σ₂ = 7,57 MPa no nosso estado trabalhado); o topo do círculo é o τ_max no plano = 42,43 MPa; e a soma σ₁ + σ₂ = σ_x + σ_y é invariante em qualquer rotação.
• Os ângulos dobram, e o pico de cisalhamento é deslocado. Girar o plano por θ percorre 2θ no círculo, e o plano de cisalhamento máximo fica a 45° do plano principal — nunca sobre ele. Não esqueça o círculo fora do plano σ₃ = 0 quando precisar de τ_abs,max.
• Uma seção pode dar dois círculos diferentes. Numa viga-coluna a fibra extrema dá um círculo uniaxial degenerado (σ₂ = −111,4 MPa, von Mises 111,4) enquanto a linha neutra dá um círculo combinado genuíno (σ₁ = 2,47, σ₂ = −26,43 MPa). Uma verificação correta olha as duas.
• O círculo termina numa verificação de falha. Suas tensões principais alimentam von Mises σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), e η = σ_vM / f_yd decide a barra — 0,842 pela NBR 8800, 0,850 pela AISC 360 para a fibra governante do pórtico real.

Agora pare de ler e comece a desenhar. Carregue seus próprios σ_x, σ_y e τ_xy na calculadora de círculo de Mohr gratuita — ilimitada, sem login para a matemática — arraste o cisalhamento e veja σ₁, σ₂ e θ_p responderem, depois carregue uma seção real resolvida no FEM e vá para o triaxial. Quando estiver pronto para a barra inteira, a solução CalcSteel roda o mesmo motor FEM real em viga-colunas e pórticos completos direto no seu navegador, num plano genuinamente gratuito, colorindo cada barra pelo valor exato de von Mises que o círculo produz. Estudantes têm tudo liberado pelo CalcSteel Education, grátis para contas verificadas. A prova não é uma contagem regressiva — é a própria ferramenta, nas suas mãos hoje.