Quel poteau pour une hauteur d'etage de 6 m ? Effort normal et moment, verifies de bout en bout

Demandez a un ingenieur calculateur "quel poteau pour une hauteur d'etage de 6 m" et la reponse rapide est une section tiree d'un tableau de capacites. Trouvez le profil dont la capacite axiale depasse la charge, termine. Si le poteau ne portait rien d'autre que de l'effort normal cette reponse serait meme presque juste, parce qu'un poteau pur est dimensionne par un seul nombre. Le piege, c'est que presque aucun vrai poteau d'etage ne porte uniquement de l'effort normal. Il porte aussi un moment, venant d'une poutre de plancher desequilibree, de l'effet de portique, du vent, et le moment n'attend pas poliment son tour. Il passe par le meme calcul d'interaction que l'effort normal, et sur un etage haut c'est generalement le moment qui decide.

Cet article traite un poteau concret de bout en bout et laisse les nombres trancher la question. Un seul etage, 6.0 m de plancher a plancher, un poteau portant 1400 kN d'effort normal de gravite des planchers superieurs et un moment de 150 kN.m autour de son axe fort. Nous le resolvons sur le moteur elements finis de CalcSteel, verifions l'effort normal et le moment par la statique manuelle, puis mettons en course sept sections HEB, de la HEB 200 a la HEB 320, a travers le flambement de l'AISC 360, le deversement et l'interaction H1.1. Voici tout l'enjeu par avance : la section la plus legere qui passe sur l'effort normal seul n'est pas le poteau que vous construisez, la longueur non maintenue de 6 m abaisse discretement les deux capacites, et c'est l'interaction, non le tableau d'effort normal, qui designe le gagnant.

Voici la barre que nous suivons tout au long de l'article. Un poteau d'un seul etage, 6.0 m de l'assemblage de base au plancher superieur, une section HEB laminee a chaud a larges ailes en acier S355 (limite d'elasticite 355 MPa, module 200 GPa). Il se trouve dans un portique contrevente, donc l'etage ne se deplace pas lateralement et le facteur de longueur efficace est K = 1 : le poteau est maintenu en position aux deux niveaux de plancher mais articule en rotation, et sa longueur de flambement vaut la totalite des 6.0 m. Les poutres de plancher s'y attachent seulement en tete et en pied, donc entre les planchers l'axe faible est non maintenu sur tout l'etage. Retenez bien ce dernier fait, parce qu'une longueur non maintenue de 6 m est ce qui transforme ceci d'une lecture de tableau en un vrai calcul.

Deux choses chargent ce poteau. Les planchers superieurs empilent la gravite vers le bas en compression axiale, et une poutre de plancher plus le systeme lateral delivrent un moment autour de l'axe fort a l'etage. Un poteau purement axial serait dimensionne par le flambement seul. Un poteau avec un moment est un poteau-poutre, et un poteau-poutre se verifie par une equation d'interaction qui additionne les deux sollicitations. La question n'est pas "quelle section porte 1400 kN", c'est "quelle section porte 1400 kN et 150 kN.m en meme temps, sur 6 m".

Le cote sollicitation est une paire de nombres, et aucun ne depend de la section choisie.

• Compression axiale, N = 1400 kN, la charge de gravite des planchers superieurs ramenee sur cette file de poteaux a la combinaison ultime (LRFD).
• Moment autour de l'axe fort, M = 150 kN.m, le moment du premier ordre a l'etage venant de la poutre desequilibree et du systeme lateral.

Les deux sont verifies a la charge ponderee, et les deux rencontrent la meme section en meme temps. Ce que la section change, c'est la capacite qui leur repond, et la hauteur d'etage de 6 m atteint les deux capacites a la fois :

• En compression, la longueur de flambement vaut K fois l'etage, 1.0 x 6.0 = 6.0 m. Divisez par le rayon de giration selon l'axe faible et vous obtenez l'elancement qui fixe la contrainte de flambement. Plus l'etage est haut, plus l'elancement est grand, plus la capacite est faible.
• En flexion, la semelle comprimee est maintenue seulement aux planchers, donc la longueur non maintenue pour le deversement est aussi de 6.0 m. Sur une HEB trapue le moment plastique n'est atteignable que jusqu'a une longueur d'environ 2.5 a 3.2 m ; au-dela la capacite de flexion chute. A 6 m nous sommes bien au-dela.

Ainsi la hauteur d'etage n'est pas une dimension passive en arriere-plan. C'est la seule variable qui reduit la capacite de compression et la capacite de flexion ensemble, et elle le fait avant meme que le moment et l'effort normal ne soient additionnes. Gardez a l'esprit le nombre 6.0 m : c'est pourquoi la section qui porte l'effort normal ne peut pas porter la paire.

Placez le poteau dans le moteur de CalcSteel, appliquez les 1400 kN d'effort normal et la charge transversale qui delivre les 150 kN.m, et lisez les resultats. Le moteur renvoie exactement ce que la statique predit, ce qui est tout l'interet de lancer d'abord le controle :

• Effort normal dans le poteau, N = 1400.0 kN, correspondant a la charge de gravite appliquee a 0.000 pour cent.
• Moment maximal autour de l'axe fort, M = 150.0 kN.m, correspondant a la forme fermee wL au carre sur 8 pour la charge transversale equivalente a 0.000 pour cent.

Cet accord n'est pas de la decoration. Il certifie que le modele, les appuis et le cheminement des charges sont bien ce que nous croyons, donc chaque capacite que nous calculons ensuite repond a la bonne sollicitation. Les 1400 kN et 150 kN.m sont maintenant fixes. Ils sont les memes pour chaque candidate. Ce qui change de la HEB 200 a la HEB 320, c'est la capacite qui les rencontre, et, de facon decisive, la maniere dont la longueur de 6 m reduit cette capacite avant que l'interaction n'additionne les deux taux.

Avant de mettre les sections en course, dimensionnez un poteau vous-meme. Le calculateur de flambement de poteau gratuit ci-dessous prend une section, une longueur et un facteur de longueur efficace et renvoie l'elancement et la compression de calcul, le meme cheminement du chapitre E de l'AISC 360 que nous utilisons dans un instant. Entrez une longueur de 6.0 m avec K = 1, essayez une HEB 240 et une HEB 280, et observez la capacite grimper a mesure que la section devient plus trapue. C'est la moitie axiale du calcul, en direct et sans identifiant, et c'est le moyen le plus rapide de sentir a quel point la hauteur d'etage pousse sur le nombre.

Les sections HEB sont la forme naturelle du poteau : larges ailes, une hauteur proche de la largeur, et un grand rayon de giration selon l'axe faible, ce qui est exactement ce dont un poteau a besoin pour resister au flambement. Nous en alignons sept et lisons les proprietes directement dans le catalogue.

Les deux proprietes qui comptent sont en vue. Le rayon de giration selon l'axe faible ry fixe la capacite de compression, parce que le flambement selon l'axe faible gouverne un poteau doublement symetrique a longueurs non maintenues egales. Le module plastique Zx fixe la capacite de flexion. Les deux croissent a mesure que la section s'alourdit, et tout l'article est un affrontement entre la vitesse de croissance de chacun et la resistance que lui opposent la longueur de 6 m et le moment de 150 kN.m.

Commencez comme le fait une lecture de tableau, avec l'effort normal et rien d'autre. Le chapitre E de l'AISC 360 donne la compression de calcul a partir de l'elancement. Avec K = 1 et l'etage de 6.0 m, l'elancement selon l'axe faible KL sur ry va de 118.5 pour la HEB 200 jusqu'a 84.7 pour la HEB 280. Faites passer cela dans la courbe de flambement et vous obtenez la contrainte de flambement Fcr, puis multipliez par l'aire et le facteur 0.90 pour la compression de calcul phiPn :

• HEB 220 : elancement 107.4, phiPn = 1221 kN. Contre la sollicitation de 1400 kN cela donne un taux de travail de 1.15, un echec.
• HEB 240 : elancement 98.7, Fcr = 170.6 MPa, phiPn = 1627 kN. Taux de travail 1400 / 1627 = 0.86, une reussite confortable.

Ainsi sur l'effort normal seul la reponse est la HEB 240. C'est la section la plus legere de la liste qui porte les 1400 kN, et a 0.86 elle a une vraie reserve, environ 14 pour cent. Un tableau de capacites, ou un calculateur de poteau lance sur l'effort normal seul, vous tendrait la HEB 240 et vous passeriez a autre chose. Remarquez tout ce que les 6 m ont deja fait ici : la HEB 240 est une section trapue de 84 kg/m, et la hauteur d'etage en a depense la majeure partie, ne laissant que ces 14 pour cent. Cette maigre marge est tout ce que le calcul axial connait. Il n'a jamais vu le moment.

Laissez maintenant entrer le moment. Un poteau-poutre se verifie par l'equation d'interaction H1.1 de l'AISC 360, qui additionne le taux de travail axial et le taux de travail en flexion en un seul taux qui doit rester inferieur ou egal a 1.0. Lorsque le taux de travail axial est de 0.2 ou plus, la regle est :

IR = Pr/Pc + (8/9)(Mr/Mc)

ou Pr/Pc est le taux axial que nous avons deja et Mr/Mc est le taux de moment. La capacite en moment Mc = phiMn est la ou les 6 m mordent une seconde fois. La HEB 240 pourrait atteindre un moment plastique de calcul de 324.6 kN.m si sa semelle etait maintenue, mais sur une longueur non maintenue de 6 m le deversement le fait chuter a phiMn = 275.9 kN.m, une reduction de 15 pour cent. La sollicitation de moment n'est pas non plus les 150 kN.m bruts : l'amplificateur du second ordre le porte a 195.3 kN.m (la section suivante explique pourquoi). Assemblez les pieces pour la HEB 240 :

IR = 0.86 + (8/9)(195.3 / 275.9) = 0.86 + 0.63 = 1.49

La section qui passait le calcul axial a 0.86 echoue au calcul combine a 1.49, presque 50 pour cent au-dessus. Et elle n'est pas seule. Montez d'une taille jusqu'a la HEB 260, et le taux axial se detend a 0.69 mais l'interaction est encore de 1.17, un echec. Le moment a elimine les deux sections les plus legeres qui portent l'effort normal. La reponse du tableau a disparu.

Les 150 kN.m sont le moment du premier ordre, celui qu'une analyse lineaire dessine. Mais l'effort normal n'agit pas sur le poteau non deforme, il agit sur le poteau qui s'est deja courbe lateralement sous le moment, et ce decalage multiplie par les 1400 kN ajoute un moment que le diagramme du premier ordre n'a jamais montre. L'AISC 360 capture cet effet de barre avec l'amplificateur B1 :

B1 = Cm / (1 - Pr/Pe1) ≥ 1

ou Pe1 est la charge critique de flambement elastique de la barre autour de l'axe de flexion. Pour la HEB 240, Pe1 = 6033 kN, donc avec Cm = 1.0 l'amplificateur est 1 / (1 - 1400/6033) = 1.30, transformant les 150 kN.m en 195.3 kN.m. Pour la HEB 280 plus rigide, Pe1 = 10307 kN et B1 = 1.16, une amplification plus faible des memes 150 kN.m a 173.6 kN.m, parce qu'un poteau plus rigide se deforme moins et s'alimente en moment du second ordre plus faiblement.

C'est la raison discrete pour laquelle un poteau-poutre est plus difficile que la somme de ses parties. La section plus lourde ne fait pas que porter davantage, elle amplifie moins. Le facteur B1 recompense la rigidite deux fois : une fois dans la capacite et une fois dans la sollicitation. Sur ce poteau il represente un tiers du moment qui fait echouer la HEB 240.

Continuez a monter. La HEB 280 apporte une compression de calcul de phiPn = 2445 kN et, apres la meme reduction par deversement sur 6 m, un moment de calcul de phiMn = 413.3 kN.m. Son taux axial est un detendu 1400 / 2445 = 0.573, son moment amplifie est de 173.6 kN.m, et l'interaction atterrit a :

IR = 0.573 + (8/9)(173.6 / 413.3) = 0.573 + 0.373 = 0.946

C'est une reussite, avec un peu de marge. La HEB 280 est la section la plus legere de la liste qui porte l'effort normal et le moment ensemble sur 6 m. Voici tout l'affrontement sur une seule carte :

Le nombre qui decide est la derniere colonne, et il n'a rien a voir avec le taux axial. Le dimensionnement sur l'effort normal seul s'arretait a la HEB 240, 83.2 kg/m. L'interaction impose la HEB 280, 103.1 kg/m. C'est 24 pour cent d'acier en plus sur chaque poteau de la trame, achete non par l'effort normal qu'un tableau irait chercher mais par le moment et la longueur de 6 m qu'un tableau ne voit jamais.

Le raccourci tentant, quand une section echoue, est d'aller chercher une nuance superieure. Si le S355 n'y arrive pas, surement le S460 le fera. Lancez le contre-exemple : prenez la HEB 240 defaillante, gardez la geometrie, et montez la limite d'elasticite de 355 a 460 MPa. Les resultats sont une lecon sur ce qui gouverne reellement un poteau de 6 m.

• La compression de calcul monte de 1627 kN a seulement 1696 kN, un gain de 4 pour cent. A un elancement de 98.7 le poteau flambe, il ne plastifie pas, et le flambement depend de la rigidite et de la longueur, pas de la limite d'elasticite. Un acier plus resistant deplace a peine la capacite de compression, parce que le poteau echoue par instabilite bien avant que l'acier n'atteigne 460 MPa.
• Le moment de calcul monte davantage, de 275.9 a 331.1 kN.m, parce que la capacite de flexion, elle, augmente avec la limite d'elasticite. Mais ce n'est pas assez.
• Le taux d'interaction descend de 1.49 a 1.35. Toujours un echec.

Ainsi la HEB 240 en S460 ne porte toujours pas la paire, et vous avez paye un acier haut de gamme pour passer de 1.49 a 1.35. Cela reflete la lecon de fleche sur les poutres de grande portee, ou un acier plus resistant ne fait rien pour la rigidite. Ici un acier plus resistant ne fait presque rien pour le flambement. Les leviers qui fonctionnent sont geometriques : une section plus grande (plus d'aire et plus de ry, ce que la HEB 280 achete), une longueur non maintenue plus courte (maintenez l'axe faible a mi-hauteur et l'elancement est divise par deux), ou un moment plus faible (concevez l'assemblage de la poutre pour evacuer le moment desequilibre). La nuance d'acier n'est pas sur cette liste.

Le calcul travaille ci-dessus est l'AISC 360, mais chaque grande norme formule un poteau-poutre de la meme facon : une compression de calcul issue d'une courbe de flambement, un moment de calcul reduit pour le deversement, un moment du second ordre, et une inegalite d'interaction qui ne doit pas depasser l'unite.

• AISC 360 (Etats-Unis), les equations H1.1 utilisees ici, avec la compression du chapitre E, la flexion du chapitre F, et les amplificateurs B1/B2 ou une analyse directe du second ordre pour le moment.
• Eurocode 3, EN 1993-1-1 (Europe), clause 6.3.3, avec les deux expressions d'interaction et les facteurs d'interaction kyy et kzz. Le facteur de reduction de flambement chi remplace la courbe de poteau de l'AISC, et le moment est reduit par chiLT pour le deversement. L'ossature est identique : terme axial plus terme de moment, inferieur ou egal a 1.0.
• ABNT NBR 8800 (Bresil), l'interaction de la clause 5.5, etroitement alignee sur la forme de l'AISC : un taux axial plus un taux de moment, avec la scission a 0.2 et la meme ponderation de 8/9 sur le terme de flexion.

Les nombres varient de quelques pour cent d'une norme a l'autre, mais le verdict ne change pas. Sur l'une quelconque des trois, la HEB 240 echoue a porter la paire sur un etage de 6 m et la section grimpe. L'equation d'interaction est le langage universel du poteau-poutre, et la lecture de tableau sur l'effort normal seul ne l'est pas.

"Le poteau porte de l'effort normal, donc je l'ai dimensionne pour l'effort normal." C'est l'erreur que tout l'article est construit pour attraper. Un poteau d'etage porte presque toujours aussi un moment, venant d'une poutre desequilibree, de l'effet de portique, d'une charge notionnelle, et le moment passe par l'interaction avec l'effort normal. Dimensionnez pour la paire, pas pour le plus grand des deux.

"J'ai utilise le moment plastique pour la capacite de flexion." Valide seulement si la semelle comprimee est maintenue dans la longueur ou le moment plastique est atteignable, environ 2.5 a 3.2 m pour ces sections HEB. Sur un etage de 6 m maintenu seulement aux planchers, le deversement reduit la capacite de moment, ici de 15 pour cent sur la HEB 240. L'oublier est du cote de l'insecurite sur precisement le calcul qui gouverne.

"J'ai utilise le moment du premier ordre." L'effort normal agissant sur la deformee ajoute un moment du second ordre. Sur ce poteau l'amplificateur B1 souleve les 150 kN.m de 16 a 30 pour cent selon la section. Appliquez l'amplificateur ou lancez une vraie analyse du second ordre ; ne verifiez pas un poteau-poutre avec le moment lineaire.

"K = 1 s'applique-t-il toujours ?" Seulement dans un portique contrevente, ou l'etage ne peut pas se deplacer lateralement. Dans un portique non contrevente (a noeuds deplacables) K depasse 1, souvent bien au-dessus de 2, la longueur de flambement croit, et la capacite de compression chute davantage. La pratique moderne contourne le debat sur K avec la methode d'analyse directe, qui utilise K = 1 avec des rigidites reduites et des charges notionnelles a la place.

"Quel axe flambe ?" Pour une HEB doublement symetrique a longueurs non maintenues egales, l'axe faible, parce que ry est plus petit que rx. C'est pourquoi ry fixe la capacite de compression dans le tableau ci-dessus. Maintenez l'axe faible et la donne change.

La question etait "quel poteau pour une hauteur d'etage de 6 m", et la reponse honnete est que la hauteur seule ne peut pas y repondre. Donnez au poteau sa vraie sollicitation, 1400 kN d'effort normal et 150 kN.m de moment, et l'etage de 6 m se revele etre la variable qui reduit les deux capacites a la fois : la longueur de flambement en compression et la longueur non maintenue en flexion. La section qui porte l'effort normal, la HEB 240, echoue a l'interaction a 1.49. La section que vous construisez, la HEB 280, est 24 pour cent plus lourde, et un acier plus resistant ne peut pas combler l'ecart.

C'est la difference entre une lecture de tableau et un calcul. Un tableau lit l'effort normal et vous tend une section. L'interaction lit l'effort normal, le moment, la hauteur d'etage et l'amplification du second ordre, et vous tend le poteau qui tient reellement debout. Vous pouvez lancer la moitie axiale vous-meme dans le calculateur ci-dessus, et le calcul complet du poteau-poutre, section par section, dans l'editeur de CalcSteel, gratuit et sans identifiant, et gratuit pour les etudiants. Entrez votre propre hauteur d'etage et votre propre moment, et observez quel calcul gouverne.