Goujons de cisaillement et interaction mixte partielle : combien de goujons avant que la dalle cesse d'aider

Coulez une dalle beton sur une poutre acier et, livrees a elles-memes, les deux ne font que reposer l'une sur l'autre. Sous charge elles flechissent toutes deux, mais la dalle glisse sur la semelle superieure de la poutre : le dessous de la dalle s'allonge, le dessus de la poutre se raccourcit, et l'interface glisse. Chaque piece porte son propre moment sur son propre axe neutre, et l'ensemble ne vaut que la somme de deux sections peu hautes.

Les goujons arretent le glissement. Soudez assez de goujons a tete sur la semelle superieure et le cisaillement horizontal qui veut faire glisser la dalle est au contraire transfere a travers l'interface, forcant la dalle et la poutre a flechir autour d'un seul axe neutre. Le beton travaille alors en compression, ou il est fort, l'acier travaille en traction, ou il est fort, et le bras de levier entre eux est la hauteur de l'ensemble entier, pas de la poutre nue. C'est l'interaction mixte, et les goujons en sont tout le mecanisme.

La sollicitation n'est pas supposee. Une poutre sur deux appuis de 10 m de portee porte une charge uniforme ponderee de 40 kN/m, et le moteur CalcSteel renvoie un moment a mi-portee de 500 kN·m, exactement le wL²/8 de la formule fermee. C'est le moment que la section mixte doit developper, donc M_u = 500 kN·m est le nombre a depasser.

L'acier est une IPE 400 en nuance 345 (F_y = 345 MPa), prise comme trois toles pour l'analyse plastique : aire A_s = 80,7 cm², module plastique Z_x = 1238 cm³. La dalle fait 130 mm en beton de 25 MPa, et la largeur efficace de cette poutre interieure donne b_eff = 2000 mm. Nue, cette poutre a un moment de calcul φM_p = 0,9 F_y Z_x = 384 kN·m, moins que les 500 qu'elle doit porter. Seul, l'acier ne passe pas ; il lui faut la dalle.

Pour que la dalle et la poutre atteignent leur pleine resistance combinee, les goujons entre le point de moment maximal et le point de moment nul le plus proche doivent transferer la plus petite de deux forces : l'acier plastifiant en traction, ou le beton s'ecrasant en compression. Dans l'AISC 360 c'est V' = min(A_s F_y, 0,85 f'c A_c). Ici A_s F_y = 2783 kN et 0,85 f'c A_c = 5525 kN, donc V' = 2783 kN et l'acier gouverne : toute la poutre peut plastifier avant que le beton n'approche l'ecrasement.

La force de l'acier etant plus petite, l'axe neutre plastique remonte dans la dalle. Le bloc de contrainte du beton a une profondeur a = A_sF_y / (0,85 f'c b_eff) = 65,5 mm, et le bras de levier du centre de gravite de l'acier au milieu de ce bloc est h/2 + t − a/2 = 297 mm. Le moment de calcul en interaction totale est φM_n = 0,9 × 2783 kN × 0,297 m = 745 kN·m, presque le double de l'acier nu. C'est le gain que liberent les goujons, et le reste de l'article traite de la part qu'il faut reellement acheter.

Un goujon seul porte peu. Un goujon a tete de 19 mm a deux limites de resistance dans l'AISC 360 section I8 : le beton contre lequel il porte, Q_n = 0,5 A_sc √(f'c E_c) = 110 kN, et l'acier du goujon lui-meme, R_g R_p A_sc F_u = 96 kN avec R_g = 1,0, R_p = 0,75 et F_u = 450 MPa. La plus petite gouverne, donc Q_n = 95,7 kN par goujon.

Pour transferer le V' = 2783 kN complet il faut V'/Q_n = 2783 / 95,7 = 29,1, arrondi a 30 goujons entre la mi-portee et chaque appui, et 60 goujons sur la poutre. Comme l'effort tranchant d'une poutre uniformement chargee est constant au sens qui compte ici, les goujons sont simplement repartis a espacement uniforme sur chaque demi. Soixante goujons, c'est le prix de l'interaction totale, et il vaut la peine de se demander, avant de le prescrire, si cette poutre en a besoin d'autant.

Vous n'etes pas oblige de mettre les 60 goujons. Donnez-en moins a la poutre et les goujons ne peuvent transferer que ΣQ_n < V'. La force du beton est alors limitee a ce que les goujons livrent, l'axe neutre plastique descend dans l'acier, et le moment de calcul se situe quelque part entre l'acier nu et l'interaction totale. C'est l'interaction mixte partielle, et son degre est ΣQ_n / V'.

Le fait cle est la forme de la courbe, et elle est concave. Passer de 0 a 50 pour cent d'interaction porte le moment de calcul de 384 a 636 kN·m, un gain de 252 kN·m. Passer de 75 a 100 pour cent le porte de 697 a 745, un gain de seulement 47 kN·m pour les memes 15 goujons de plus. Chaque goujon ajoute vaut moins que le precedent, car a mesure que l'axe neutre se deplace le bras de levier cesse de croitre. La premiere moitie des goujons fait l'essentiel du travail ; la seconde moitie achete des rendements decroissants.

Il y a un plafond dur, et il repond au titre. Des que ΣQ_n atteint V', le beton est pleinement mobilise : la dalle porte deja toute la force de plastification de l'acier, et il ne reste rien qu'un goujon de plus puisse transferer. Ajoutez un 61e goujon a cette poutre et le moment de calcul reste a 745 kN·m. Passe l'interaction totale, les goujons supplementaires ajoutent exactement zero resistance a la flexion. La dalle a cesse d'aider, et aucune soudure de plus n'y change quoi que ce soit.

La reponse vient donc en deux parties. La reponse dure est 60 goujons : au-dela, sur cette poutre, la dalle a fini. La reponse economique est bien plus basse, car la courbe s'aplatit longtemps avant le plafond. Si votre poutre ne doit atteindre qu'un moment a mi-courbe, les goujons qui la meneraient de la a l'interaction totale sont du cout pur sans resistance a montrer. Le savoir-faire de calcul est de lire ou votre sollicitation croise la courbe, et non de recourir a l'interaction totale par defaut.

Notre poutre doit developper 500 kN·m. Lisez-le sur la courbe : la section mixte atteint 500 a environ 16 pour cent d'interaction, soit 5 goujons par demi, 10 goujons sur toute la poutre. La resistance seule est satisfaite avec dix goujons, un taux d'utilisation de 99 pour cent. C'est le nombre brut, et il est etonnamment petit face aux 60 de l'interaction totale.

Deux choses relevent un peu le compte final. L'AISC et la pratique courante fixent un plancher pratique proche de 25 pour cent d'interaction, en dessous duquel l'assemblage est trop souple pour que les hypotheses de l'interaction partielle tiennent, et ce plancher signifie ici 16 goujons (moment de calcul 549 kN·m, taux 91 pour cent). Malgre cela, 16 goujons restent loin de 60. Detailler cette poutre pour l'interaction totale souderait 44 goujons que la resistance n'utilise jamais, et laisserait la section sous-utilisee de 33 pour cent. Ici l'interaction partielle n'est pas un compromis ; c'est le calcul correct.

La resistance n'est que la moitie du calcul. Les poutres mixtes sont peu hautes pour leur portee, donc souvent gouvernees par la fleche, et ici l'interaction gagne sa place pour une autre raison : la rigidite. Le moment d'inertie homogeneise de la section mixte totale est d'environ 713 × 10⁶ mm⁴ contre 219 × 10⁶ pour l'acier nu, donc la poutre mixte totale est environ 3,3 fois plus rigide. Ce multiplicateur depasse le gain de resistance.

L'interaction partielle ne donne pas tout cela. Comme l'interface glisse un peu, l'AISC calcule un moment d'inertie effectif (borne inferieure) qui croit avec la racine carree du degre d'interaction : I_eff = I_s + √(ΣQ_n/V') (I_tr − I_s). Au calcul partiel ci-dessus il vaut environ 424 × 10⁶ mm⁴, bien au-dessus de l'acier nu mais en deca de la valeur totale. C'est la tension de tout le probleme : la resistance dit d'arreter tot, la fleche dit de continuer. Le bon nombre de goujons est celui qu'exige la limite gouvernante, alors verifiez les deux avant de fixer un compte.

Un nombre de goujons ne veut dire quelque chose que si les goujons peuvent etre poses. L'AISC 360 section I8 pose les regles : un espacement longitudinal minimal de six diametres (environ 114 mm pour des goujons de 19 mm), un espacement maximal de huit fois l'epaisseur de la dalle ou 900 mm, au moins 25 mm d'enrobage lateral de beton, et une longueur d'au moins quatre diametres apres soudage. Sur une dalle pleine les goujons vont en une ligne ou par paires ; sur bac acier la geometrie de la nervure fixe combien tiennent par nervure et introduit les facteurs R_g et R_p qui ont abaisse Q_n plus haut.

Le compte doit aussi tenir physiquement dans le zone de cisaillement. Soixante goujons sur une demi de 5 m a 114 mm minimum, c'est confortable ; les memes 60 sur une poutre courte et tres chargee peuvent ne pas tenir, une autre raison pour laquelle l'interaction totale n'est pas toujours disponible meme si vous la payiez. Et les goujons doivent etre repartis selon le diagramme de cisaillement : uniformes ou l'effort tranchant est uniforme, mais resserres pres des appuis ou une charge concentree fait culminer le cisaillement horizontal. Disposez-les d'apres le diagramme, pas a l'oeil.

Toute la chaine part du moment que la poutre doit porter, et c'est lui qui fixe jusqu'ou sur la courbe mixte il faut monter. Changez la portee ou la charge et M_u bouge, le degre d'interaction requis bouge avec, et le nombre de goujons aussi. Utilisez le calculateur de poutre ci-dessous pour lancer votre propre poutre sur appuis ou continue, lisez le moment pondere qu'il renvoie, puis reportez-le sur la courbe ci-dessus : d'abord l'acier nu, ensuite les goujons qui vous menent de la a votre sollicitation, et seulement jusqu'ou la sollicitation atteint vraiment.

L'exemple est en AISC 360, mais l'interaction mixte ne depend pas de la norme. L'Eurocode 4 (EN 1994-1-1) construit la meme section plastique, appelle les goujons connecteurs de cisaillement, et ecrit la resistance du connecteur comme la plus petite entre P_Rd = 0,8 f_u (πd²/4) / γ_V et un terme beton 0,29 α d² √(f_ck E_cm) / γ_V, exactement les deux memes limites avec un coefficient partiel au lieu de φ. Il fixe aussi un degre minimal de connexion qui depend de la portee, dans le role du plancher de 25 pour cent.

L'ABNT NBR 8800 suit de pres le format LRFD de l'AISC, avec des facteurs de resistance sur le connecteur et sur la section mixte, et la meme comptabilite de ΣQ_n pour l'interaction partielle. Dans les trois l'histoire est identique : les goujons transferent un cisaillement horizontal, le moment de calcul monte selon une courbe concave, et il sature quand les connecteurs peuvent reprendre tout le V'. Ce qui change entre normes est la formule exacte du connecteur et la limite d'interaction minimale, pas le mecanisme.

• Prescrire l'interaction totale par defaut. Sur cette poutre l'interaction totale, c'est 60 goujons pour une section qui n'en demande que 16. Les goujons sont bon marche a l'unite et chers par centaines ; lisez la courbe avant de remplir la semelle.
• Croire que plus de goujons aident toujours. Passe V', le moment de calcul est plat. Les goujons ajoutes au-dela de l'interaction totale ne reprennent aucun cisaillement et n'ajoutent aucune resistance ; c'est souder pour rien.
• Calculer pour la resistance et oublier la fleche. Le compte optimal en resistance peut etre bien trop souple. Une poutre mixte echoue souvent d'abord en service, et la rigidite demande un degre d'interaction plus eleve que la resistance.
• Utiliser la mauvaise largeur efficace. b_eff entre directement dans 0,85 f'c A_c et dans le bras de levier. Prenez-la comme portee/4 ou l'entraxe des poutres selon la norme, pas la dalle tributaire entiere, sinon la force dans le beton et le moment ressortent trop eleves.
• Ignorer la phase de construction. Avant la prise du beton, l'acier nu porte seul la dalle fraiche et les ouvriers, sans aide mixte. Une poutre correcte en mixte peut etre surcontrainte ou trop souple sous charge de chantier ; verifiez ce cas a part.