Formule de la déformation de cisaillement : la théorie et où elle apparaît sur une ossature en acier réelle

Demandez à un ingénieur la formule de la déformation et vous obtiendrez presque toujours ε = σ / E, la déformation normale issue d'une contrainte normale. C'est la déformation qu'une éprouvette ressent quand on la tire, la déformation qu'une semelle de poutre ressent quand elle fléchit. Mais ce n'est que la moitié de l'histoire. Chaque fois qu'une force tente de faire glisser une couche de matière sur sa voisine, le matériau répond par un autre type de déformation : la déformation de cisaillement, et sa formule est γ = τ / G.

La déformation de cisaillement est plus discrète que sa cousine axiale parce qu'elle est généralement plus petite et qu'elle ne gouverne pas une poutre élancée. Pourtant, elle est partout dans une ossature en acier : dans l'âme de chaque poutre chargée, dans le fût de chaque boulon, dans le panneau d'âme de chaque assemblage rigide, et dans la flèche supplémentaire que reprennent les éléments courts et hauts. Cet article construit γ à partir des premiers principes, relie son module G au E familier, puis fait passer une poutre IPE 300 réelle dans le moteur EF CalcSteel pour montrer précisément quelle déformation de cisaillement vit dans son âme, et comment cela se compare à la déformation de flexion dans la section même.

Voici la définition à retenir : la déformation de cisaillement est la variation d'un angle droit à l'intérieur du matériau, mesurée en radians. Imaginez un minuscule carré dessiné sur le flanc de l'âme d'une poutre chargée. Appliquez une contrainte de cisaillement et ce carré bascule en parallélogramme ; les coins qui faisaient 90 degrés sont maintenant un peu plus grands ou un peu plus petits. L'ampleur de cette variation, en radians, est la déformation de cisaillement γ.

Géométriquement, si la face supérieure glisse d'une distance Δx par rapport à la face inférieure située à une hauteur L, alors γ = Δx / L. Pour les petits angles que les structures subissent réellement, ce rapport est égal à tan γ, lui-même égal à γ en radians, si bien que les trois sont interchangeables. C'est pourquoi γ est sans dimension : c'est une longueur divisée par une longueur, ou de façon équivalente un angle. Les ingénieurs l'expriment de trois manières, exactement comme la déformation normale : en décimal (0,000366), en pourcentage (0,0366%), ou en microradians (366 µrad), où un microradian est un millionième de radian.

Deux conséquences en découlent immédiatement. D'abord, γ n'a rien à voir avec une variation de volume ou un allongement ; un corps en cisaillement pur conserve son volume et ne fait que distordre sa forme. Ensuite, comme c'est un angle, un γ d'un radian complet serait énorme, environ 57 degrés de basculement. Les déformations de cisaillement structurelles réelles ne sont que de quelques centaines de microradians, et c'est pourquoi la distorsion est invisible à l'œil même lorsque le matériau travaille dur.

La formule elle-même est la loi de Hooke écrite pour le cisaillement. Dans le domaine élastique, la contrainte de cisaillement et la déformation de cisaillement sont proportionnelles, τ = G·γ, donc en réarrangeant la formule de la déformation de cisaillement est γ = τ / G. C'est l'analogue structurel exact de ε = σ / E : remplacez la contrainte normale σ par la contrainte de cisaillement τ et le module d'élasticité E par le module de cisaillement G, et vous l'avez.

Chaque grandeur a un sens clair. τ est la contrainte de cisaillement sur le plan qui vous intéresse, en MPa. G est le module de cisaillement, aussi appelé module de rigidité, en MPa ou GPa. Et γ est la déformation de cisaillement résultante en radians. Lisez la formule à voix haute et elle dit quelque chose d'intuitif : un matériau plus rigide (G plus grand) se distord moins pour la même contrainte de cisaillement, et une contrainte de cisaillement plus élevée distord davantage pour le même matériau.

Une mise en garde qui fait trébucher les étudiants et revient dans les sujets d'examen : il existe deux définitions de la déformation de cisaillement en circulation. La déformation de cisaillement d'ingénieur γ utilisée dans toutes les formules de dimensionnement est la variation totale de l'angle droit. La déformation de cisaillement tensorielle ε_xy qui apparaît en mécanique des milieux continus et dans les sorties d'éléments finis en est exactement la moitié, ε_xy = γ / 2. Elles diffèrent d'un facteur deux, et les confondre est une erreur classique. Quand vous utilisez γ = τ / G, vous utilisez la définition d'ingénieur, celle qui va de pair avec G.

Le module de cisaillement n'est pas un nombre libre et indépendant que l'on va chercher isolément. Pour un matériau isotrope comme l'acier de construction, il est verrouillé aux deux propriétés que vous connaissez déjà, le module d'élasticité E et le coefficient de Poisson ν, par G = E / 2(1+ν). L'acier a E = 200 GPa et ν = 0,3, donc G = 200 / (2 · 1,3) = 76,9 GPa. C'est la valeur exacte que le moteur CalcSteel retient pour chaque nuance laminée à chaud (G = 7692 kN/cm²), et c'est pourquoi vous avez rarement besoin de tabuler G séparément : il découle de E et de ν.

Cette relation porte une intuition de dimensionnement utile. Comme 1 / 2(1+ν) vaut 0,385, le module de cisaillement ne représente qu'environ 38,5% du module d'élasticité. L'acier est nettement plus souple en cisaillement qu'en traction. Mettez les deux lois de Hooke côte à côte à la même contrainte et la déformation de cisaillement vaut E / G = 2,6 fois la déformation normale : une contrainte donnée produit 2,6 fois plus de distorsion angulaire que d'allongement. Le hic, que l'exemple étudié ci-dessous rend concret, est que l'âme voit généralement bien moins de contrainte que la semelle, de sorte que la déformation de cisaillement réelle finit tout de même par être plus petite que la déformation de flexion réelle, même si le cisaillement est le mode le plus souple.

Une note pour les tenants des normes : l'Eurocode 3 adopte E = 210 GPa, ce qui porte G à 80,8 GPa (la valeur des nuances S du moteur, 8077 kN/cm²). Même physique, un écart de 5% sur le nombre, et un rappel que G, comme la déformation à la limite d'élasticité que nous abordons dans un article complémentaire, hérite du E que votre norme déclare.

Il est temps de rendre γ concret sur un acier que vous spécifieriez vraiment. Prenons la même poutre que nous avons mesurée pour la déformation de flexion dans la déformation à la limite d'élasticité : un IPE 300 sur appuis simples de portée L = 6 m sous une charge uniforme w = 20 kN/m, une poutre de plancher courante. Nous la modélisons dans le moteur EF CalcSteel, le même solveur qui équipe les calculateurs, et nous lisons l'effort tranchant au lieu de le supposer.

Le moteur renvoie un effort tranchant maximal V_max = 60,0 kN à chaque appui, ce qui correspond exactement à la valeur manuelle wL/2 = 20·6/2 = 60,0 kN. L'effort tranchant est maximal aux appuis et décroît linéairement jusqu'à zéro à mi-portée, image miroir du moment de flexion, qui culmine là où l'effort tranchant passe par zéro (la relation que nous détaillons dans les diagrammes d'effort tranchant et de moment de flexion). Dans une section en I, cet effort tranchant est repris presque entièrement par l'âme, donc l'aire de cisaillement est Aw = d·t_w = 30,0 · 0,71 = 21,3 cm², la hauteur totale multipliée par l'épaisseur de l'âme, la même définition que l'AISC utilise pour les profils en I.

Transformons maintenant cet effort tranchant en déformation de cisaillement avec la formule. La contrainte de cisaillement moyenne dans l'âme est τ = V / Aw. En unités cohérentes, τ = 60 kN / 21,3 cm² = 2,817 kN/cm² = 28,2 MPa. Appliquez la formule de la déformation de cisaillement : γ = τ / G = 28,2 / 76900 = 0,000366 rad, soit 0,0366%, ou 366 µrad, un basculement angulaire de 0,021 degré.

La distribution n'est pas uniforme. La contrainte de cisaillement dans une section en I est minuscule dans les semelles et concentrée dans l'âme, culminant à l'axe neutre. En calculant τ = VQ/(I·t_w) à l'axe neutre avec les propriétés de section du moteur (I_x = 8097 cm⁴), on obtient un pic de 31,4 MPa, soit environ 1,12 fois la moyenne, donc la déformation de cisaillement de la fibre au pic est γ_peak = 0,000409 rad (409 µrad). C'est la raison physique pour laquelle les poutres en acier ne rompent presque jamais par cisaillement de l'âme avant de rompre en flexion : la demande de cisaillement se répartit sur toute l'âme, tandis que la flexion s'accumule sur la fibre extrême.

La comparaison qui fait mouche est celle avec la flexion de la même poutre. Dans l'article sur la déformation à la limite d'élasticité, cet IPE 300 exact sous cette charge exacte atteignait une contrainte de flexion en fibre extrême de 166,7 MPa et une déformation normale de ε = 0,000834. Donc sur un même élément, sous une même charge, la déformation de flexion de la semelle est de 0,000834 tandis que la déformation de cisaillement de l'âme est de 0,000366 : la déformation de cisaillement ne représente que 44% de la déformation de flexion. Le cisaillement est le mode le plus souple par unité de contrainte, mais l'âme n'est tout simplement pas aussi sollicitée que la semelle, donc elle se déforme moins. Cette seule phrase résume l'essentiel de ce qu'il faut savoir sur les cas où le cisaillement gouverne ou non.

Vous pouvez reproduire les valeurs étudiées dans le calculateur ci-dessous. Définissez une portée sur appuis simples avec une charge uniforme et lisez l'effort tranchant V qu'il indique à l'appui. Ensuite, la déformation de cisaillement n'est plus qu'à deux courtes étapes : divisez V par l'aire de l'âme Aw = d·t_w pour obtenir la contrainte de cisaillement moyenne τ, puis divisez τ par 76 900 MPa pour obtenir γ. Changez la portée ou la charge et regardez V, et donc γ, évoluer avec elle.

Essayez l'expérience qui fait comprendre la théorie : gardez la charge fixe et raccourcissez la portée. L'effort tranchant change à peine, mais le moment de flexion diminue en L², de sorte que la poutre passe d'un régime gouverné par la flexion vers un régime gouverné par le cisaillement. C'est le point de bascule que la section suivante quantifie. C'est le même moteur EF qui a produit les chiffres ci-dessus, gratuit, sans identification pour les calculs.

Une déformation n'a de sens que rapportée à la déformation à laquelle le matériau cède. L'acier n'a pas de limite d'élasticité au cisaillement mesurée séparément ; elle est déduite de la limite d'élasticité en traction par le critère de von Mises, τ_y = f_y / √3. Pour le MR250 (f_y = 250 MPa), cela fait 144,3 MPa, et les normes de dimensionnement l'arrondissent à 0,6·f_y = 150 MPa. La déformation de cisaillement à la limite d'élasticité est γ_y = τ_y / G = 144,3 / 76900 = 0,001876 rad (0,1876%).

Face à cela, l'âme étudiée à 28,2 MPa se situe à seulement 28,2 / 144,3 = 19,5% de la limite d'élasticité au cisaillement. Comparez cela à la flexion de la même poutre, qui atteignait 67% de sa déformation à la limite d'élasticité dans l'article sur la déformation à la limite d'élasticité, et le message est clair : cette poutre est plus de trois fois plus loin de céder en cisaillement qu'en flexion. Augmentez la charge et le moteur le confirme, l'âme n'atteint la première plastification au cisaillement qu'à w = 102 kN/m (V = 307 kN), alors que la semelle atteint la première plastification en flexion dès w = 30 kN/m. La flexion gouverne, confortablement, exactement comme il se doit pour une poutre élancée de L/d = 20. La déformation de cisaillement est ici le partenaire secondaire, et les vérifications au cisaillement de l'âme passent si facilement sur les poutres laminées que beaucoup de concepteurs oublient de les faire, ce qui n'est pas grave jusqu'à ce que l'élément devienne court et haut.

La déformation de cisaillement ne menace pas seulement la résistance ; elle s'ajoute discrètement à la flèche d'une poutre. Une analyse classique d'Euler-Bernoulli, celle que le moteur utilise pour la flèche indiquée, suppose que les sections planes restent planes et ignore la distorsion de cisaillement. La réalité ajoute une composante de cisaillement par-dessus celle de flexion, parce que chaque tranche d'âme bascule de son propre petit γ.

Pour la poutre étudiée, la répartition est la suivante : la flèche de flexion est de 2,084 cm (le L/288 que le moteur indique), et la flèche de cisaillement due à tout ce γ d'âme est de 0,055 cm, soit environ 2,6% en plus. Faible, et négligeable sans risque ici. Mais la part de cisaillement varie en 1/(L/d)², donc elle grimpe vite à mesure que la poutre devient plus trapue : divisez la portée par deux et elle quadruple. À L/d = 8, elle est d'environ 16%, et pour une poutre de transfert haute ou une poutre de couplage à L/d = 4, elle approche la moitié de la flèche totale. C'est pourquoi les éléments courts et hauts, les poutres reconstituées et similaires sont analysés avec la théorie des poutres de Timoshenko qui porte explicitement la déformation de cisaillement, tandis que les poutres de plancher élancées de l'ossature courante peuvent se permettre de l'ignorer. Voir les limites de flèche pour savoir comment la flèche totale est ensuite vérifiée.

Au-delà des âmes de poutre, la déformation de cisaillement est toute l'histoire dans les parties d'une ossature qui existent pour transférer la charge latéralement.

• Boulons et soudures. Un boulon dans un recouvrement est chargé presque purement en cisaillement ; le fût se distord de γ = τ / G jusqu'à rester élastique ou plastifier sur le plan de cisaillement. Le dimensionnement d'un groupe de boulons est un problème de déformation de cisaillement déguisé en vérification de capacité.
• Panneaux d'âme des assemblages rigides. L'âme du poteau entre les semelles de la poutre d'un assemblage rigide est un carré d'acier chargé en cisaillement quasi pur. Son γ est souvent assez grand pour compter, et le dimensionnement sismique laisse délibérément le panneau d'âme plastifier en cisaillement pour dissiper de l'énergie, dépensant la déformation de cisaillement comme le dimensionnement ductile dépense le palier plastique.
• Goujons et connecteurs de cisaillement. Les goujons qui font travailler une poutre en acier de façon mixte avec une dalle en béton travaillent en cisaillement à l'interface, se déformant de γ pour forcer les deux matériaux à coopérer.
• Torsion. Faites tordre une section ouverte ou fermée et les parois reprennent une contrainte de cisaillement et une déformation de cisaillement ; l'angle de torsion n'est rien d'autre que le γ accumulé autour de la section.

Dans chacun de ces cas, la formule de la déformation de cisaillement γ = τ / G est le pont entre la force que vous pouvez calculer et la distorsion que le détail subit réellement.

Confondre déformation de cisaillement d'ingénieur et tensorielle. Le γ de dimensionnement est la variation totale de l'angle ; le ε_xy tensoriel des sorties d'éléments finis en est la moitié. Un facteur deux d'écart si vous les mélangez.

Utiliser E au lieu de G. La déformation de cisaillement utilise le module de cisaillement, γ = τ / G, pas γ = τ / E. Comme G ne vaut que 38,5% de E, cette erreur sous-estime γ d'un facteur 2,6.

Moyenner le cisaillement sur toute l'aire. Pour une section en I, le cisaillement est repris par l'âme, pas par les semelles, donc divisez par Aw = d·t_w, pas par l'aire brute A. Utiliser A sous-estimerait gravement la contrainte dans l'âme.

Lire γ comme un allongement. γ est un angle, en radians. Ce n'est pas une variation de longueur et, à lui seul, il ne change pas la longueur de l'élément.

La formule de la déformation de cisaillement est-elle la même pour tous les matériaux ? γ = τ / G est valable pour tout matériau isotrope linéairement élastique ; seul G change. Pour l'acier G ≈ 76,9 GPa, pour l'aluminium environ 26 GPa, pour le béton autour de 10 à 15 GPa.

Pourquoi G est-il toujours plus petit que E ? Parce que G = E / 2(1+ν) et que ν est positif (0,3 pour l'acier), le dénominateur dépasse deux, donc G est toujours bien en dessous de E. Aucun matériau isotrope n'est plus rigide en cisaillement qu'en traction.

Quelle est une déformation de cisaillement typique dans une poutre en acier ? Quelques centaines de microradians en service, comme l'a montré l'âme étudiée (366 µrad), montant vers les ~1900 µrad de la limite d'élasticité au cisaillement seulement dans les âmes et les assemblages fortement chargés.

La déformation de cisaillement est la moitié angulaire de la loi de Hooke, et une fois la formule en main, elle est aussi routinière que sa cousine axiale.

• La formule de la déformation de cisaillement est γ = τ / G, un angle en radians, la variation d'un angle droit à l'intérieur du matériau.
• G n'est pas indépendant : G = E / 2(1+ν) = 0,385·E pour l'acier, donc G ≈ 76,9 GPa et une contrainte donnée produit 2,6 fois la déformation de cisaillement d'une déformation normale.
• IPE 300 étudié (L = 6 m, w = 20 kN/m) : le moteur donne Vmax = 60,0 kN, donc l'âme reprend τ = 28,2 MPa et γ = 0,000366 rad, soit 44% de la déformation de flexion et 20% de la limite d'élasticité au cisaillement.
• La déformation de cisaillement entraîne aussi la flèche, le glissement de boulon et la distorsion du panneau d'âme ; elle représente 2,6% de la flèche sur cette poutre élancée mais croît en 1/(L/d)² et gouverne les éléments courts et hauts ainsi que les assemblages.
• Le γ d'ingénieur vaut le double du ε_xy tensoriel, et il utilise toujours G, jamais E : les deux façons les plus courantes de se tromper sur la déformation de cisaillement.