Centre de cisaillement et torsion : pourquoi une section ouverte se vrille sans qu'on le demande

Prenez un profilé en U en acier ordinaire, disposez-le comme une poutre, et suspendez la charge soigneusement au-dessus de l'âme, exactement au milieu du dos du C, là où toute personne raisonnable la placerait. Maintenant, observez. Le profilé ne fait pas que fléchir. Il bascule en fléchissant, les ailes sortant du plan, toute la section tournant sur sa longueur. Vous n'avez appliqué aucune torsion. La charge était verticale et vous l'avez dirigée vers l'âme. Et pourtant la section se vrille.

Ce n'est pas un défaut de l'acier ni une erreur dans votre chargement. C'est le fait le plus surprenant à propos des sections ouvertes, et il prend au dépourvu les étudiants, ainsi que bon nombre d'ingénieurs en exercice. Une charge transversale fléchit un élément sans le vriller uniquement si la charge passe par un point particulier de la section, le centre de cisaillement. Pour les formes à double symétrie que l'on rencontre en premier, le profilé en I, le tube carré, le centre de cisaillement se situe sur le centre de gravité et vous n'avez jamais à y penser. Pour un profilé en U, une cornière, un profilé en T, un profilé en Z, toute section ouverte, à simple symétrie ou asymétrique, il se déplace. Pour un profilé en U, il se déplace franchement en dehors de la section, dans le vide derrière l'âme.

Cet article traite le tout sur un seul profilé en U, et chaque nombre qui y figure a été produit par le moteur CalcSteel en production et vérifié par rapport à la théorie classique des parois minces à trois décimales. Nous trouvons où se situe le centre de cisaillement, nous transformons l'excentrement en le couple qu'il est réellement, et nous laissons la section se vriller pour le mesurer. Si vous avez lu notre guide sur les diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant, voici la troisième action interne que ces diagrammes laissent de côté, et celle qui décide si une section ouverte survit à un chargement décentré.

Le centre de cisaillement est le point d'une section par lequel une charge transversale doit passer pour provoquer une flexion sans torsion. De façon équivalente, c'est le point autour duquel les contraintes de cisaillement internes ont un moment résultant nul. Appliquez votre charge en ce point et l'élément fléchit en flexion pure ; appliquez-la ailleurs et la charge est statiquement équivalente à la même charge déplacée au centre de cisaillement plus un couple égal à la charge multipliée par l'excentrement. La torsion n'est pas une action supplémentaire que vous ajoutez. C'est ce que devient une charge transversale dès l'instant où elle manque le centre de cisaillement.

Deux faits sur sa position font presque tout le travail. Premièrement, le centre de cisaillement se situe toujours sur tout axe de symétrie, car les contraintes de cisaillement sont symétriques par rapport à cet axe. Un profilé en U chargé verticalement est symétrique par rapport à son axe horizontal, donc son centre de cisaillement se trouve quelque part sur cette ligne horizontale, à gauche ou à droite de l'âme. Deuxièmement, pour une section constituée de plaques minces qui se rejoignent toutes en un point, une cornière ou un profilé en T, le flux de cisaillement de chaque plaque passe par ce point de rencontre, de sorte que le centre de cisaillement se situe exactement au coin, ou à la jonction de l'aile et de l'âme. Pour ces deux formes, le centre de cisaillement est facile à repérer. Pour un profilé en U, cela demande un court calcul, et la réponse est véritablement contre-intuitive : il n'est pas entre les ailes, il est derrière l'âme.

Suivez le cisaillement, et l'excentrement en découle. Lorsqu'un profilé en U porte un effort tranchant vertical V, un flux de cisaillement parcourt ses parois, et dans les deux ailes ce flux est horizontal. Il croît de zéro à l'extrémité de chaque aile jusqu'à un maximum au niveau de l'âme, et en l'intégrant on obtient une force horizontale dans chaque aile, F_f, l'une pointant vers l'intérieur, l'autre vers l'extérieur. Ces deux forces d'aile sont égales, opposées et séparées par la hauteur de l'âme, de sorte qu'ensemble elles forment un couple. L'âme elle-même porte l'effort tranchant vertical V. Pour que la section soit en équilibre sans se vriller, la charge appliquée V doit produire autour de l'âme un moment qui équilibre exactement ce couple d'ailes, et cette condition la place à une distance horizontale précise e de l'âme :

e = b_f² h_o² t / (4 I_x)

où b_f est la largeur d'aile jusqu'à l'axe de l'âme, h_o la distance entre les axes des ailes, t l'épaisseur, et I_x le moment quadratique par rapport à l'axe de flexion. Le couple d'ailes se situe entièrement du côté des ailes de l'âme, si bien que la charge d'équilibrage doit se situer de l'autre côté, derrière l'âme, ce qui explique pourquoi le centre de cisaillement se retrouve en dehors de la matière. Pour notre profilé en U, b_f = 72 mm, h_o = 194 mm, t = 6 mm et I_x = 1178 cm⁴, ce qui donne e = 24,84 mm derrière l'âme. Les ailes ne font que 75 mm de large, de sorte que le centre de cisaillement se situe à environ un tiers de largeur d'aile au-delà du dos de la section, en plein air.

Tout ce qui suit, le couple, la rotation, la comparaison avec une section fermée, repose sur les caractéristiques de la section, nous les fixons donc d'abord avec le véritable moteur. L'élément est un profilé en U ordinaire, âme de 200 mm, ailes de 75 mm, épaisseur 6 mm, sans bords tombés, l'exemple de torsion des manuels. Le moteur de sections CalcSteel renvoie, et la théorie des parois minces en forme fermée confirme à trois décimales :

• Aire A = 20,28 cm²
• Inertie de l'axe fort I_x = 1178 cm⁴, de l'axe faible I_y = 101,9 cm⁴
• Centre de gravité à 15,3 mm devant l'âme (vers les ailes)
• Constante de torsion de Saint-Venant J = 2,43 cm⁴
• Constante de gauchissement C_w = 6777 cm⁶

Relisez cette constante de torsion. Pour une section ouverte à parois minces, J vaut simplement J = t³ L_m / 3, le cube de l'épaisseur multiplié par la longueur développée des parois, divisé par trois. Ici, cela fait 0,6³ multiplié par 33,8 cm divisé par 3, soit 2,43 cm⁴. Comparez-la à l'inertie de flexion I_x de 1178 : la section est environ cinq cents fois plus rigide en flexion qu'en torsion. Ce seul nombre, J = 2,43 cm⁴, est la raison pour laquelle la suite de cet article est une mise en garde. Notez également que J n'est pas le moment d'inertie polaire I_x + I_y ; utiliser le moment polaire pour la torsion d'une section ouverte surestime la rigidité de plusieurs ordres de grandeur et constitue une erreur classique et coûteuse.

Chargeons-le maintenant. Une charge de service transversale modérée, V = 5 kN, appliquée dans le plan de l'âme, exactement là où vous boulonneriez une poutre ou poseriez une charge sur le dos du profilé en U. La ligne de l'âme se situe à une distance e = 24,84 mm du centre de cisaillement. Selon la définition donnée deux sections plus haut, cette charge est statiquement identique aux mêmes 5 kN appliqués au centre de cisaillement, ce qui provoque une flexion pure, plus un couple autour du centre de cisaillement :

T = V · e = 5 kN · 24,84 mm = 124 N·m

Cent vingt-quatre newtons mètres, à partir d'une charge que vous pensiez purement verticale, purement centrée, parfaitement inoffensive. Et voici le piège qui fait de ceci un problème de conception plutôt qu'une curiosité : votre modèle d'analyse ne vous le dira pas. Un élément de poutre ou de portique unidimensionnel, le type d'élément sur lequel est bâti tout solveur de structures, porte ses charges sur la ligne de référence de l'élément et maintient la flexion et la torsion dans des canaux séparés et découplés. Il n'a aucune idée que le centre de cisaillement de la section réelle est à 24,84 mm sur le côté. Donnez-lui une charge verticale et il renvoie un résultat de flexion net avec une torsion nulle, d'apparence parfaitement saine. L'excentrement du centre de cisaillement est une propriété de la section transversale, et c'est à vous, et non au solveur, de convertir la charge excentrée en la force et le couple que l'élément subit réellement. Réussissez cette conversion et le couple apparaît ; omettez-la et il se cache.

Pour voir clairement les deux moitiés, nous traitons le profilé en U comme une poutre en console de 3 m dans le moteur EF CalcSteel, encastrée à une extrémité, et nous chargeons l'extrémité libre de deux façons. Le cas A est la référence : la charge de 5 kN appliquée par le centre de cisaillement, le point qui produit de la flexion et rien d'autre.

Le moteur renvoie exactement ce que la définition promet. La rotation en extrémité est nulle. L'élément est en flexion pure, avec une flèche de 19,1 mm à l'extrémité sous la charge de 5 kN, fléchissant autour de son axe fort avec I_x = 1178 cm⁴, et chaque fibre ne porte rien d'autre que la contrainte de flexion que l'on attendrait d'après le diagramme de moment fléchissant. C'est l'état dans lequel vous pensiez être lorsque vous avez placé la charge au-dessus de l'âme. Il est réalisable, mais seulement en dirigeant la charge vers un point situé à 24,84 mm derrière l'âme, ce qui pour un cheminement de charge réel implique généralement d'ajouter un corbeau, une plaque de coiffe ou un second profilé en U pour la reprendre. Chargez un profilé en U nu ailleurs et ce n'est pas le cas A que vous obtenez.

Le cas B conserve la même charge de 5 kN et la même console, mais applique la charge par l'âme, là où elle atterrit réellement. Par l'équivalence, cela correspond à la charge au centre de cisaillement du cas A plus le couple T = 124 N·m parcourant toute la longueur de l'élément. La flexion est inchangée ; le nouvel ingrédient est la torsion.

Le moteur CalcSteel fait tourner l'extrémité de 11,40 degrés. Le couple interne est constant à 124 N·m sur toute la console, et la réaction à la base encastrée est un couple égal et opposé de 124 N·m, qui referme l'équilibre. Chacun de ces nombres concorde avec le résultat de Saint-Venant en forme fermée φ = T L / (G J) à trois décimales, en utilisant le J = 2,43 cm⁴ propre au moteur et le module de cisaillement de l'acier G = 76,9 GPa. Onze degrés. À partir de cinq kilonewtons, appliqués au milieu de l'âme, sur un élément que vous aviez dimensionné confortablement pour la flexion. Mettez la flèche de l'axe fort de 19,1 mm à côté d'une rotation de onze degrés et vous comprenez pourquoi un profilé en U non maintenu, chargé hors de son centre de cisaillement, n'est pas une simple gêne de service mais un problème de stabilité et de contrainte : la rotation projette les ailes sur le côté, le cheminement de la charge se désaligne, et les contraintes de flexion pour lesquelles vous avez dimensionné se superposent désormais aux contraintes de torsion.

La torsion n'est pas vraiment une affaire de centre de cisaillement. L'excentrement a créé le couple, mais ce qui a transformé un petit couple en onze degrés, c'est la faiblesse en torsion de la section, et c'est une propriété du fait d'être ouverte. Une section ouverte ne résiste à la torsion que par la torsion de Saint-Venant, les parois minces cisaillant sur leur longueur, et sa constante J = t³ L_m / 3 varie comme le cube d'une petite épaisseur, elle est donc toujours minuscule. Une section fermée résiste à la torsion en faisant circuler un flux de cisaillement continu autour de la cellule, le mécanisme de Bredt, et son J varie comme le carré de l'aire enclose, ce qui est énorme en comparaison.

Chiffrons cela. Prenez un profil creux carré de même poids que notre profilé en U, un tube 90x6 avec essentiellement les mêmes 20 cm² d'acier. Le moteur lui attribue J = 356 cm⁴, contre 2,43 pour le profilé en U. C'est environ 146 fois plus rigide en torsion pour le même acier. Sous le même couple de 124 N·m, le tube se vrillerait non pas de onze degrés mais de moins d'un dixième de degré. Voici toute la leçon pratique en un seul rapport : si un élément doit reprendre de la torsion, fermez-le. Lorsque vous ne pouvez pas le fermer, les gestes de conception deviennent familiers pour exactement cette raison, charger par le centre de cisaillement à l'aide d'un corbeau, ajouter une plaque pour caissonner la section ouverte, ou la maintenir contre la rotation à des intervalles suffisamment rapprochés pour qu'elle n'accumule jamais une torsion comme celle-ci. C'est aussi pourquoi le déversement, la ruine par déplacement latéral et torsion d'une poutre non entretoisée, est une histoire de sections ouvertes et presque jamais de tubes.

Une réserve maintient les onze degrés honnêtes. La formule φ = T L / (G J), et le moteur de portiques CalcSteel qui la reproduit, modélisent la torsion de Saint-Venant pure, dans laquelle chaque section est libre de gauchir hors de son plan en se vrillant. Bridez ce gauchissement, en soudant l'extrémité, en la boulonnant à un appui rigide, tout ce qui empêche les ailes de coulisser le long de l'axe de l'élément, et un second mécanisme, plus rigide, s'enclenche : la torsion de gauchissement, où les ailes fléchissent dans leur propre plan et résistent à la torsion par leur rigidité de flexion E C_w. Un élément réel présente généralement un certain bridage du gauchissement, de sorte que sa torsion réelle est inférieure à la valeur à gauchissement libre.

De combien inférieure, cela est fixé par une longueur, la constante de torsion-flexion a = √(E C_w / G J). Pour notre profilé en U, elle vaut 0,85 m. Le bridage du gauchissement s'estompe sur environ cette distance à partir de l'extrémité bridée, de sorte que si l'élément est plusieurs fois plus long que a, Saint-Venant domine et le nombre à gauchissement libre est proche ; s'il ne fait que quelques fois a, le gauchissement réduit sensiblement la torsion. Notre console fait 3 m, donc L / a = 3,5, et en résolvant la solution à gauchissement bridé, la rotation en extrémité atteint environ 8,2 degrés, 72 pour cent des 11,4 à gauchissement libre. Une rotation encore importante et inacceptable, mais nettement plus faible, et la différence est réelle. C'est le critère derrière la norme : la torsion d'une section ouverte est traitée comme Saint-Venant plus gauchissement, et les normes de calcul vous donnent le terme de gauchissement explicitement. L'AISC Design Guide 9, Torsional Analysis of Structural Steel Members, est entièrement construit autour de cette décomposition ; l'Eurocode EN 1993-1-1 avec l'EN 1993-1-3, et l'ABNT NBR 8800 avec la NBR 14762 pour les sections formées à froid, portent la même torsion en deux parties. Le moteur de portiques vous donne la borne supérieure de Saint-Venant contre laquelle dimensionner ; le terme de gauchissement de la norme est la façon de récupérer le reste lorsque l'extrémité est véritablement bridée.

Le calculateur ci-dessous utilise le même moteur de sections que chaque nombre ci-dessus. Construisez le profilé en U ordinaire 200x75x6, ou n'importe quel profilé en U de votre choix, et lisez son aire, ses inerties fortes et faibles, son module de flexion et son centre de gravité, dessinés à l'échelle et comparés en direct à la base de données de profils CalcSteel. Observez ce qu'il advient de la constante de torsion J lorsque vous changez l'épaisseur : comme J varie en t³, retirer un millimètre à la paroi anéantit la rigidité en torsion bien plus vite qu'il ne touche à l'inertie de flexion. Comparez un profilé en U ouvert à un tube fermé de taille similaire et vous verrez le même écart d'un facteur cent sur J que nous avons trouvé ci-dessus.

C'est gratuit et sans inscription. Une fois la section devant vous, l'excentrement du centre de cisaillement et le couple T = V e ne sont qu'à un pas, et la torsion découle de T L / (G J) avec le J que l'outil vient de vous fournir.

Vous ne résoudrez pas à la main chaque élément, mais sur toute section ouverte portant une charge transversale, quatre vérifications dans l'ordre attrapent la torsion avant qu'elle n'atteigne le plan.

1. La section est-elle ouverte et non à double symétrie ? Les profilés en I et les tubes placent le centre de cisaillement sur le centre de gravité, si bien qu'une charge centroïdale est sûre. Les profilés en U, les cornières, les profilés en T, les profilés en Z et toute forme ouverte à simple symétrie ou asymétrique déplacent le centre de cisaillement, et un profilé en U le déplace en dehors de la section. Si la forme figure sur cette liste, le centre de cisaillement n'est pas là où vous le pensez, alors trouvez-le.

2. La ligne de charge manque-t-elle le centre de cisaillement ? Mesurez l'excentrement e depuis la ligne d'action réelle jusqu'au centre de cisaillement, et non jusqu'au centre de gravité. Pour notre profilé en U, une charge sur la ligne de l'âme est décalée de 24,84 mm. Excentrement nul, pas de torsion ; excentrement quelconque, poursuivez.

3. Transformez l'excentrement en un couple et une torsion. T = V e est le couple, constant le long d'un élément à chargement simple, et φ = T L / (G J) est la torsion à gauchissement libre, votre borne supérieure. Utilisez le J réel de la section, J = t³ L_m / 3, jamais le moment polaire. Si le nombre est alarmant, c'est qu'il est censé l'être.

4. Ajoutez la vérification du gauchissement, et la contrainte de gauchissement. Si les extrémités sont bridées, calculez a = √(E C_w / G J) et réduisez la torsion en conséquence, en suivant l'AISC Design Guide 9 ou l'Eurocode EN 1993. La torsion d'une section ouverte ajoute aussi une contrainte normale de gauchissement dans les ailes qui se cumule avec la flexion, tout comme un effort axial se cumule avec la flexion dans la vérification combinée d'effort axial et de flexion. Ajoutez-la avant de déclarer la section adéquate.

Supposer qu'une charge passant par le centre de gravité ne provoque aucune torsion. L'erreur la plus courante, et toute la raison d'être de cet article. La flexion se mesure par rapport au centre de gravité ; la torsion se mesure par rapport au centre de cisaillement. Pour une section ouverte, ce sont des points différents, et une charge centroïdale se vrille.

Chercher le centre de cisaillement du profilé en U entre les ailes. Il est derrière l'âme, en dehors de la section, du côté opposé aux ailes. Rien de visible ne marque l'endroit, ce qui est précisément pourquoi on le manque.

Utiliser le moment d'inertie polaire pour la torsion. Pour une section pleine ou fermée, la constante de torsion est proche du moment polaire ; pour une section ouverte, elle ne l'est pas, elle vaut t³ L_m / 3, plus petite de plusieurs ordres de grandeur. Substituez le moment polaire et vous prédirez un élément cent fois plus rigide en torsion qu'il ne l'est.

Faire confiance à la torsion nulle du modèle de portique. Un élément de poutre 1D maintient la flexion et la torsion découplées et ne sait rien de l'excentrement du centre de cisaillement, il renvoie donc une torsion nulle pour une charge verticale quelle que soit la section réelle. La torsion est à vous de l'ajouter, et non au solveur de la trouver.

Où se trouve le centre de cisaillement d'une cornière ou d'un profilé en T ? Au coin de la cornière, ou à la jonction de l'aile et de l'âme du profilé en T, car le flux de cisaillement de chaque plaque passe par ce point. Cela rend aussi ces deux formes mauvaises pour résister à toute charge qui manque le coin.

La torsion dépend-elle de la nuance d'acier ? Non. J, C_w et la torsion dépendent de la géométrie et des constantes élastiques E et G, qui sont essentiellement les mêmes pour tous les aciers de construction. Une nuance plus résistante ne se vrille pas moins ; seule une section plus rigide ou fermée le fait.

11 degrés est-il réaliste, ou une exagération de manuel ? C'est la vraie réponse de Saint-Venant pour cette console nue, et la valeur à gauchissement bridé est encore d'environ 8. En pratique, vous ne le laissez jamais en arriver là, précisément parce que les sections ouvertes se vrillent aussi facilement. Le grand nombre est l'avertissement, pas une erreur.

• Une charge transversale fléchit sans se vriller uniquement par le centre de cisaillement. Pour une section ouverte, ce n'est pas le centre de gravité ; pour un profilé en U, il est en dehors de la section, derrière l'âme, à 24,84 mm pour notre 200x75x6 ordinaire, confirmé dans le moteur CalcSteel.
• Manquez le centre de cisaillement de e et la charge devient un couple T = V e. Notre charge de 5 kN sur la ligne de l'âme donne 124 N·m, et un modèle de portique 1D ne vous préviendra pas, car il porte la charge sur la ligne de référence et maintient la torsion découplée.
• Les sections ouvertes sont faibles en torsion : J = t³ L_m / 3 = 2,43 cm⁴ ici, de sorte que la console de 3 m se vrille de 11,40 degrés, calculé par le moteur EF et concordant avec T L / (G J) à trois décimales. Chargée par le centre de cisaillement, sa rotation est nulle.
• Fermez la section et le problème disparaît : un tube carré de même poids a J = 356 cm⁴, environ 146 fois plus rigide. Si un élément doit reprendre de la torsion, caissonnez-le, coiffez-le ou maintenez-le.
• La torsion de Saint-Venant est une borne supérieure. Le bridage du gauchissement la réduit, ici à environ 8,2 degrés sur une longueur de torsion-flexion a = 0,85 m, et ce terme de gauchissement est exactement ce que l'AISC Design Guide 9 et l'Eurocode EN 1993 ajoutent pour dimensionner la torsion des sections ouvertes.