Ferme de Toiture pour une Portée de 15 m : Efforts dans les Barres et le Cas de Charge Dominant

Une ferme de toiture en acier est l'une des structures les plus satisfaisantes à dimensionner, parce que presque tout se ramène à une seule grandeur par barre : l'effort axial. Idéalisez les noeuds comme des articulations, chargez la ferme à ses noeuds de panneau, et chaque barre devient une barre à deux forces reprenant de la traction pure ou de la compression pure, sans flexion. Dimensionnez chacune pour cet effort et vous avez fait l'essentiel du chemin vers un jeu de plans.

Le piège se cache dans le mot effort. Il y a en réalité deux questions, et non une. La première est quel est l'effort dans chaque barre, à laquelle la statique répond proprement. La seconde est quelle combinaison de charge y produit l'effort le plus défavorable, et pour une ferme de toiture cette réponse n'est pas la même pour toutes les barres. Une barre confortablement en traction sous la gravité peut être mise en compression par le soulèvement au vent, et la compression est une vérification différente, plus sévère. Manquez le cas dominant pour cette barre et vous la dimensionnerez sur le mauvais nombre.

Cet article déroule une ferme concrète de bout en bout : une ferme de toiture à deux versants de 15 m de portée, résolue sur le moteur aux éléments finis de CalcSteel pour les charges permanentes, de neige et de vent, avec chaque effort recoupé par la statique à la main. Puis il aligne les combinaisons de charge et, barre par barre, trouve celle qui gouverne. La surprise, comme toujours, c'est le cas de charge le plus facile à oublier.

Voici la structure que nous suivons tout au long de l'article. C'est une ferme symétrique à deux versants (triangulaire) de portée L = 15,0 m entre appuis, articulée à l'égout gauche et sur un appui glissant à droite. La membrure inférieure est découpée en six panneaux de 2,5 m ; la membrure supérieure monte de chaque égout vers un faîtage situé 3,0 m au-dessus des appuis, une pente de 1:2,5 soit environ 21,8 degrés. Les noeuds intérieurs de la membrure supérieure sont à l'aplomb de chaque noeud intérieur de la membrure inférieure, et chaque panneau est triangulé par un montant et une diagonale.

Comptons les éléments : 12 noeuds, 21 barres, 3 réactions. Comme barres + réactions (21 + 3 = 24) égale le double des noeuds (2 x 12 = 24), la ferme est isostatique : ses efforts découlent du seul équilibre, indépendamment des sections. C'est précisément pour cela qu'une ferme est une bonne structure pédagogique, et que le résultat du moteur peut être vérifié à la main jusqu'au dernier chiffre.

Les fermes sont espacées de 5,0 m d'axe en axe le long du bâtiment, si bien que chacune reprend une bande de toiture large de 5,0 m. Les pannes livrent cette bande à la ferme sous forme de charges ponctuelles aux noeuds de panneau de la membrure supérieure, où toutes nos charges sont appliquées.

Trois cas de charge atteignent cette toiture, et ils n'agissent pas à pleine valeur ensemble : on les garde donc séparés et on les combine ensuite. Sur l'entraxe de 5,0 m des fermes et le panneau de 2,5 m, chaque noeud intérieur de la membrure supérieure collecte la charge d'une zone de toiture de 2,5 m x 5,0 m ; les noeuds d'égout collectent un demi-panneau.

• Charge permanente D, la couverture, les pannes et la ferme elle-même, environ 0,50 kN/m2. Par noeud intérieur, cela fait 0,50 x 2,5 x 5,0 = 6,25 kN vers le bas.
• Charge de neige (ou d'exploitation) S, environ 1,20 kN/m2, soit 15,0 kN vers le bas par noeud intérieur.
• Charge de vent W, qui sur une toiture à faible pente est dominée par la succion : la pression nette tire vers le haut. Prise à environ 0,96 kN/m2 de soulèvement net, elle vaut 12,0 kN vers le haut par noeud intérieur, le seul cas qui soulève.

Ces cas sont mélangés par les combinaisons de charge à l'état limite ultime (LRFD). D'après l'ASCE 7, quatre d'entre elles comptent pour cette toiture : 1,4D ; 1,2D + 1,6S, le maximum de gravité ; 1,2D + 1,0W + 0,5S ; et 0,9D + 1,0W, la combinaison de soulèvement qui associe la charge permanente minimale au vent complet, de sorte que rien ne vienne aider le vent. Retenez bien cette dernière. C'est la raison pour laquelle les réponses ci-dessous divergent.

Commençons par le tableau de gravité. Déposez la ferme dans le moteur CalcSteel, libérez les extrémités des barres pour que chacune soit une vraie barre à deux forces articulée, et lancez les cas permanent et de neige. Le moteur retourne des barres purement axiales, flexion nulle, et le schéma familier apparaît :

• La membrure inférieure est en traction. Sous 1,2D + 1,6S, le panneau d'extrémité reprend 196,9 kN, retombant à 118,1 kN dans les panneaux centraux.
• La membrure supérieure est en compression, maximale près des appuis à 212,0 kN et décroissant à 169,6 kN aux panneaux de faîtage.
• Les diagonales sont en traction (jusqu'à 61,5 kN) et les montants en compression (jusqu'à 47,3 kN).
• Le montant central ne reprend aucun effort, une barre à effort nul classique : sans charge suspendue au noeud inférieur central, il n'a rien à reprendre.

Chacun de ces nombres peut être vérifié par la méthode des noeuds, et cela vaut la peine de le faire une fois. En résolvant la même ferme par la seule statique, sans référence au moteur, on reproduit les efforts axiaux du moteur à 5e-5 kN près, un écart qui n'est que du bruit de virgule flottante. Les réactions concordent aussi : 18,75 kN à chaque appui sous charge permanente, 45,0 kN sous neige. La sollicitation sur laquelle vous dimensionnez n'est pas une estimation, c'est de l'équilibre.

Avant le retournement du soulèvement, prenez la mesure de la façon dont les combinaisons se mélangent. Le calculateur ci-dessous est l'outil de combinaisons de charge de CalcSteel. Saisissez l'effort d'une barre sous chaque cas de charge, permanente, neige et vent, avec le vent négatif pour le soulèvement, et il applique les coefficients de l'ASCE 7 et retourne la combinaison dominante et sa valeur.

Essayez le panneau d'extrémité de la membrure inférieure : D = +39,1, S = +93,8, W = moins 75,0 kN. Vous verrez 1,2D + 1,6S donner +196,9 kN de traction, et 0,9D + 1,0W donner moins 39,8 kN, une compression que la combinaison de gravité ne montre jamais. Faites ensuite la membrure supérieure (D = moins 42,1, S = moins 101,0, W = +80,8) et regardez le signe basculer dans l'autre sens. L'outil fait exactement ce que les deux sections suivantes font à la main.

Lancez maintenant le cas de vent. Parce que le vent net est une succion, chaque charge de noeud de panneau pointe vers le haut au lieu du bas, et tout le diagramme des efforts s'inverse. Sous le vent seul, la membrure inférieure passe en compression et la membrure supérieure en traction, exactement l'inverse de la gravité. Les combinaisons qui incluent le vent transmettent cette inversion, et celle qui la montre le plus crûment est 0,9D + 1,0W, où la charge permanente réduite ne peut masquer le soulèvement.

Alignez les deux combinaisons dominantes pour quelques barres et l'inversion est indéniable :

Chaque barre chargée change de signe. Ce n'est pas une bizarrerie de cette ferme ; c'est ce que fait le soulèvement net à toute structure de toiture dont les sollicitations de gravité et de vent s'opposent. La conséquence pratique est nette : une barre que vous dimensionneriez purement comme une barre de traction cache une vraie sollicitation de compression dans un cas de charge que vous n'aviez pas à inclure pour la gravité, et vous ne la voyez que si vous lancez réellement la combinaison de soulèvement.

Confrontez les quatre combinaisons à chaque barre et notez deux choses pour chacune : la plus grande traction qu'elle voit jamais, et la plus grande compression. La combinaison dominante pour ces deux extrêmes est rarement le même cas.

Lisez cela comme une règle empirique pour une ferme de toiture symétrique. La combinaison de gravité 1,2D + 1,6S gouverne le sens naturel de chaque barre : elle maximise la traction dans la membrure inférieure et les diagonales, et la compression dans la membrure supérieure et les montants. La combinaison de soulèvement 0,9D + 1,0W gouverne le sens inverse : elle met la compression maximale dans la membrure inférieure et les diagonales, et la traction maximale dans la membrure supérieure et les montants.

L'histoire de la membrure supérieure est donc simple : c'est une barre comprimée et la gravité lui donne sa pire compression, terminé. C'est l'histoire de la membrure inférieure qui fait réellement basculer le dimensionnement, parce que sa pire traction et sa pire compression proviennent de cas de charge différents, et la compression et la traction se vérifient de façons complètement différentes.

Dimensionnons le panneau d'extrémité de la membrure inférieure. Sa pire traction est de 196,9 kN sous gravité, sa pire compression de 39,8 kN sous soulèvement. La traction semble être le grand nombre, il est donc tentant de dimensionner en traction et de s'arrêter là. Suivez cet instinct avec un tube carré léger, un HSS 76x76x4,8 (aire 13,7 cm2, rayon de giration 2,92 cm, acier Grade 50).

Vérification en traction. La plastification de la section brute donne une résistance de phi x Fy x Ag = 0,9 x 345 x 1370 = 424 kN. Face à 196,9 kN, cela fait un taux de travail de 0,46. Confortable.

Vérification en compression. Maintenant les mêmes 39,8 kN, mais en compression ils sont limités par le flambement, et le flambement dépend de la longueur non tenue. Une membrure inférieure de ferme est maintenue dans le plan de la ferme à chaque noeud de panneau, mais hors plan elle n'est tenue que là où un tirant longitudinal ou un contreventement de membrure inférieure l'atteint. Prenons un détail réaliste avec contreventement latéral aux tiers de portée, si bien que la longueur non tenue vaut 5,0 m. Alors KL/r = 5000 / 29,2 = 171, bien dans le domaine élastique (Euler), et l'AISC 360 donne Fcr = 59,1 MPa et une résistance phi x Pn = 72,7 kN. Face à 39,8 kN, cela fait un taux de travail de 0,55.

Lisez ces deux taux de travail ensemble. En traction la barre est à 0,46 ; en compression de soulèvement elle est à 0,55. Le cas de soulèvement gouverne la section, même si son effort vaut un cinquième de l'effort de traction, parce que la traction est reprise par toute l'aire plastifiée tandis que la compression est étranglée par l'élancement. Dimensionnez cette barre pour la seule traction, tamponnez-la à 0,46, et vous avez manqué la vérification qui la décide réellement.

La membrure inférieure illustre un point général. Qu'un cas de charge gouverne une barre ne se décide pas par la seule amplitude de l'effort ; cela se décide par l'amplitude rapportée à la résistance qui s'y oppose, et ces résistances sont radicalement différentes pour la traction et la compression. Une barre de traction s'appuie sur toute la limite d'élasticité de sa section. Une barre comprimée de même section, sur toute longueur non tenue réelle, n'en mobilise qu'une fraction, parce qu'elle peut flamber d'abord. Ainsi une petite compression issue d'un cas de charge que vous pourriez sauter peut l'emporter sur une grande traction issue du cas que vous lancez toujours.

Deux leviers en découlent, et un concepteur de fermes utilise les deux :

• Contreventez les barres inversées. Le correctif le moins cher pour la membrure inférieure n'est pas plus d'acier, c'est une file de contreventement de membrure inférieure qui réduit la longueur non tenue. Passer de mi-portée seule (7,5 m, KL/r = 257, même pas admissible) au contreventement aux tiers de portée (5,0 m, KL/r = 171), c'est ce qui rend le tube léger légal tout court, et aller plus loin jusqu'au contreventement à chaque noeud de panneau (2,5 m, KL/r = 86) fait tomber le taux de travail en compression à 0,16 et rend la barre à la traction.
• Respectez la limite d'élancement. L'AISC plafonne KL/r à 200 pour les barres comprimées pour de bonnes raisons. Une logique en traction seule ne calcule jamais KL/r, elle ne remarque donc jamais quand une barre franchit 200 sous soulèvement. Le cas de soulèvement impose le calcul.

Le montant central à effort nul est la leçon en miroir. Il ne reprend rien sous aucun cas symétrique ici, mais appliquez une charge de neige déséquilibrée (partielle) ou un vrai vent asymétrique sur un seul versant et il se réveille. Effort nul sous les cas que vous avez dessinés n'est pas la même chose qu'effort nul sous les cas que le bâtiment verra.

Le flux de travail, efforts dans les barres puis combinaisons puis une vérification de résistance ou de stabilité, est le même partout ; c'est l'emballage qui diffère.

• États-Unis (ASCE 7 + AISC 360). L'ASCE 7 fournit les combinaisons LRFD, dont le cas de soulèvement 0,9D + 1,0W utilisé ici, et l'AISC 360 chapitre D vérifie la traction (phi = 0,90 sur la limite d'élasticité) tandis que le chapitre E vérifie la compression avec la courbe de flambement Fcr et la recommandation KL/r <= 200.
• Europe (EN 1990 + EN 1993-1-1). L'EN 1990 construit les combinaisons à partir des actions caractéristiques avec des coefficients partiels (grossièrement 1,35G + 1,5Q pour la gravité) et, point crucial, une combinaison avec le vent comme action dominante et un coefficient favorable de charge permanente de 1,0 ou moins pour le cas de soulèvement. L'EN 1993-1-1 vérifie ensuite les barres : N,Rd pour la traction et la résistance au flambement N,b,Rd = chi x A x fy / gamma,M1 pour la compression, avec chi issu des courbes de flambement.
• Brésil (NBR 8681 + NBR 8800). La NBR 8681 fixe les combinacoes ultimas, dont celle où la charge permanente est favorable et le vent dominant, et la NBR 8800 vérifie la tracao et la résistance en compression N,c,Rd = chi x Q x A x fy / gamma,a1. La combinaison de soulèvement et la limite d'élancement lambda <= 200 y sont aussi.

Des symboles différents, une seule idée : la norme qui vous donne la combinaison de gravité vous donne aussi la combinaison de soulèvement, et c'est à vous de la lancer. Le moteur ici vérifie la barre selon l'AISC 360, l'Eurocode 3 et la NBR 8800 à partir des mêmes efforts, si bien que le cas dominant est trouvé pour vous plutôt que retenu de mémoire.

"La membrure inférieure est un tirant, vérifiez juste la traction." Seulement si la ferme ne voit jamais de soulèvement net. Sur toute toiture exposée, elle en voit, et la compression de soulèvement, limitée par le flambement, peut gouverner la section. Sur notre panneau d'extrémité, c'est le cas : taux de travail 0,55 en compression contre 0,46 en traction.

"Le soulèvement au vent est plus petit que la gravité, donc la gravité gouverne toujours." Plus petit en effort, oui, mais il agit sur une barre dans son sens faible. Une barre est gouvernée par le cas qui la pousse le plus près de sa résistance, et la résistance en compression est bien inférieure à la résistance en traction pour la même section. L'amplitude seule ne vous dit pas quel cas l'emporte.

"Je peux modéliser les noeuds comme rigides et lire les efforts axiaux." Vous le pouvez, mais un portique à noeuds rigides développe une flexion secondaire et ses efforts axiaux s'écartent des valeurs articulées (de quelques kN ici). Pour les efforts dans les barres, modélisez de vraies articulations pour que les efforts axiaux soient les valeurs propres de la statique ; n'ajoutez le raffinement du moment secondaire que si les assemblages le justifient vraiment.

"Le montant central est une barre à effort nul, donc supprimez-le." Il n'est nul que sous les cas symétriques que vous avez dessinés. Une neige partielle sur un versant, ou un vent sur une face, et il reprend de la charge ; il contrevente aussi la membrure inférieure et fixe la longueur de flambement des barres voisines. Effort nul n'est pas fonction nulle.

"Une barre plus grosse pour la membrure inférieure, problème résolu." Souvent le mauvais levier. Parce que la vérification de soulèvement est une vérification de flambement, une file de contreventement de membrure inférieure qui divise par deux la longueur non tenue achète plus de résistance, à moindre coût, qu'une section plus lourde. Corrigez la longueur avant d'ajouter de l'acier.

Une ferme de toiture de 15 m se résout par la statique en une après-midi, et les efforts sont aussi fiables que l'équilibre lui-même : sur cette ferme, le moteur a coïncidé avec la méthode des noeuds à la main à 5e-5 kN près. Mais les efforts ne sont que la moitié du travail. L'autre moitié consiste à demander, pour chaque barre, quelle combinaison de charge est la plus défavorable, et la réponse honnête est que cela dépend de la barre. La gravité gouverne la membrure supérieure et le sens naturel de chaque barre ; le soulèvement au vent, le cas avec lequel on peut mener tout un dimensionnement de gravité sans jamais l'écrire, gouverne le sens inverse, et par le flambement il peut dimensionner une barre que vous pensiez être un simple tirant.

CalcSteel lance les cas de charge, forme les combinaisons ASCE 7, Eurocode et NBR, et retourne l'effort dominant et la vérification de traction ou de compression pour chaque barre en une seule fois, si bien que le cas décisif est calculé, non retenu de mémoire. Modélisez votre propre ferme dans l'éditeur, ajoutez la combinaison de soulèvement, et laissez-le vous montrer quelles barres s'inversent. Si vous voulez le socle sous les efforts dans les barres, notre guide sur les diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant couvre l'action de poutre qu'une ferme remplace par de l'effort purement axial.