Cercle de Mohr : états de contrainte de l'élément au FEM

Sollicitez une poutre en acier et quelque chose se produit à l'intérieur que votre intuition trahit discrètement. Une fibre proche de l'aile, le métal autour d'un trou de boulon, la gorge d'une soudure, une tranche d'âme reprenant flexion et cisaillement à la fois — aucune d'elles ne ressent une simple contrainte « vers le haut ou vers le bas ». Chacune se trouve dans un état de contrainte bidimensionnel complet qui change selon l'angle du plan que vous choisissez d'observer. Tournez le plan et la contrainte normale augmente tandis que le cisaillement diminue ; tournez-le davantage et le cisaillement disparaît totalement. Le matériau ne se soucie pas de vos axes de coordonnées — il rompt sur le plan qui travaille le plus dur, et ce plan n'est presque jamais celui que vous avez dessiné en premier.

Le cercle de Mohr est la figure vieille de 140 ans qui permet à un ingénieur de voir cet état et de lire directement le pire plan. Portez la contrainte normale sur un axe et le cisaillement sur l'autre, et chaque plan passant par un point s'effondre sur un unique cercle. Les deux endroits où il croise l'axe horizontal sont les contraintes principales σ₁ et σ₂ — les plans à cisaillement nul — et le rayon est le cisaillement maximal que le point ressentira jamais. Un seul dessin répond à toute la question « quelle direction est dangereuse ».

Ce texte se veut le guide définitif, et il va jusqu'au bout : de la définition σ_x/σ_y/τ_xy d'un élément de contrainte, en passant par un cercle tracé à la main en cinq étapes, jusqu'à une fibre réelle de barre au FEM et la vérification réglementaire qui décide si elle passe. Chaque nombre travaillé ici a été produit par le moteur d'éléments finis de CalcSteel — le même solveur qui équipe l'application — et recoupé avec l'algèbre analytique à trois décimales près. Un cercle de Mohr en direct et déplaçable est intégré plus bas sur la page pour que vous puissiez reproduire chaque résultat vous-même.

Nous l'avons écrit pour trois lecteurs à la fois. Si vous êtes étudiant, traitez-le comme le chapitre de transformation des contraintes que votre cours survole en une seule séance. Si vous êtes ingénieur en exercice, allez directement à la transmission au FEM et au bâtiment en acier réel, où le cercle cesse d'être un jouet de manuel et commence à peindre les couleurs de vérification sur un modèle 3-D. Et si vous êtes simplement curieux de savoir comment un logiciel sait qu'une barre est sûre, suivez l'histoire — elle se termine à l'intérieur d'un portique en fonctionnement.

Le calculateur de cercle de Mohr de CalcSteel est gratuit, fonctionne dans votre navigateur sans connexion pour les calculs, et dessine chaque cercle de cet article au fil de votre lecture.

Le cercle de Mohr est une forme graphique des équations de transformation des contraintes bidimensionnelles : portez la contrainte normale σ sur l'axe horizontal et la contrainte de cisaillement τ sur l'axe vertical, et chaque plan passant par un point se projette exactement sur un point d'un unique cercle. Là où le cercle croise l'axe σ — où le cisaillement est nul — se trouvent les contraintes principales, et son rayon est le cisaillement maximal dans le plan.

C'est toute l'idée en un paragraphe. L'état de contrainte en un point n'est pas un seul nombre ; ce sont trois nombres — σ_x, σ_y et τ_xy — et ces trois déterminent entièrement ce qui se passe sur tout autre plan passant par ce point. Les équations de transformation donnent la contrainte normale et de cisaillement sur un plan tourné d'un angle θ quelconque. L'intuition de Mohr fut que si l'on reporte ces équations sur un graphique σ-contre-τ, le lieu de tous les plans possibles n'est pas une courbe quelconque et confuse — c'est un cercle parfait, centré sur l'axe σ à la moyenne de σ_x et σ_y.

Une fois le cercle tracé, les réponses s'obtiennent par simple inspection. Les deux intersections avec l'axe horizontal sont les contraintes principales σ₁ (la plus grande contrainte normale au point) et σ₂ (la plus petite), et sur ces deux plans le cisaillement est exactement nul. Le sommet et le bas du cercle donnent le cisaillement maximal dans le plan τ_max, égal au rayon. Le centre ne bouge jamais quand vous tournez, parce que la somme σ_x + σ_y est un invariant — un fait sur lequel nous allons nous appuyer fortement comme autovérification.

La chose la plus importante à retenir pour la section suivante est la relation d'angles. Tourner physiquement le plan d'observation d'un angle θ vous fait parcourir deux fois plus loin — un 2θ complet — autour du cercle de Mohr. Tournez le plan réel de 45° et vous parcourez 90° sur le cercle, ce qui explique exactement pourquoi le plan de cisaillement maximal se trouve à 45° du plan de contrainte normale maximale. Maîtrisez ce doublement et le reste de la figure se lit tout seul.

Le cercle de Mohr paraît intemporel, mais presque chaque idée qu'il contient a une date et un nom. Il a fallu la meilleure partie d'un siècle pour passer de la première définition rigoureuse de la contrainte sur un plan à l'élégant cercle que les ingénieurs esquissent aujourd'hui de mémoire — et seulement quelques décennies de plus avant qu'un solveur puisse construire ce cercle à chaque fibre d'une structure automatiquement.

• 1822 — Augustin-Louis Cauchy place la contrainte sur une base mathématique solide, introduisant le tenseur des contraintes et la traction (force par surface) agissant sur un plan arbitraire passant par un point. Tout ce qui suit n'est qu'une façon de visualiser le tenseur de Cauchy.
• 1858 — William Rankine nomme et formalise la contrainte principale — les plans sur lesquels le cisaillement s'annule et la contrainte normale est extrême — donnant leur sens aux deux intersections avec l'axe σ.
• 1866 — Karl Culmann, travaillant en statique graphique, dessine le premier cercle de contraintes : une construction géométrique pour transformer la contrainte, et l'ancêtre direct du diagramme que nous utilisons aujourd'hui.
• 1882 — Otto Mohr généralise la construction de Culmann en le cercle complet qui porte aujourd'hui son nom, montrant comment lire tout plan, les deux contraintes principales et le cisaillement maximal à partir d'un seul dessin — et soutenant que c'est la contrainte de cisaillement qui gouverne la rupture des matériaux ductiles.
• ~1900 — August Föppl et d'autres popularisent la méthode dans les grands manuels allemands d'ingénierie, et elle devient un classique de l'enseignement de la résistance des matériaux dans le monde entier.
• 1950-60 — l'analyse matricielle des structures et la méthode des éléments finis transforment l'analyse des contraintes en algèbre linéaire qu'un ordinateur peut exécuter, évaluant le tenseur de Cauchy en chaque point d'un maillage sans une seule construction manuelle.

Aujourd'hui, toute cette lignée s'exécute à l'instant où vous appuyez sur un bouton. Un solveur moderne calcule le tenseur des contraintes à chaque fibre et construit le cercle de Mohr correspondant en quelques millisecondes — la même construction que Mohr a tracée à la main en 1882, reproduite des milliers de fois avant que vous ne terminiez de lire cette phrase. Quand le calculateur de CalcSteel dessine un cercle, il compresse un siècle de mécanique en quelques millisecondes, et c'est gratuit.

Tout commence par un petit carré découpé dans le corps chargé — l'élément de contrainte. Imaginez un zoom sur un unique point jusqu'à ce que le matériau autour de lui ressemble à un petit carré (en trois dimensions, un cube) aligné avec vos axes x et y. Sur ses deux faces verticales agit la contrainte normale σ_x ; sur ses deux faces horizontales, σ_y ; et le long de ses arêtes, la contrainte de cisaillement τ_xy. Ces trois nombres sont l'état de contrainte 2-D en ce point. Choisissez toute autre orientation et le même état physique apparaît avec des valeurs différentes de σ et τ — ce qui est exactement ce que le cercle organise.

Avant de dessiner quoi que ce soit, fixez une convention de signes et ne la lâchez jamais. Tout au long de ce guide :

• La traction est positive, la compression est négative pour la contrainte normale σ. Une fibre étirée se lit à droite sur le cercle ; une fibre écrasée se lit à gauche.
• Le cisaillement est reporté de façon qu'une rotation physique antihoraire du plan devienne un balayage antihoraire sur le cercle. Concrètement, nous portons la face X au point (σ_x, −τ_xy) et la face Y en (σ_y, +τ_xy). Ces deux points sont toujours diamétralement opposés — ce sont les extrémités d'un diamètre — et la droite qui les relie passe par le centre.

La convention que vous choisissez importe bien moins que de l'utiliser de façon cohérente du premier au dernier point. Choisissez celle-ci, gardez-la, et l'angle que vous lirez sur le cercle tournera toujours dans le même sens que le plan que vous faites tourner sur l'élément réel.

Le cercle n'est qu'une figure des équations de transformation des contraintes. Pour un plan tourné d'un angle θ par rapport à l'axe x, les contraintes normale et de cisaillement sont :

• σ_x'(θ) = (σ_x + σ_y)/2 + (σ_x − σ_y)/2 · cos 2θ + τ_xy · sin 2θ
• σ_y'(θ) = (σ_x + σ_y)/2 − (σ_x − σ_y)/2 · cos 2θ − τ_xy · sin 2θ
• τ_x'y'(θ) = −(σ_x − σ_y)/2 · sin 2θ + τ_xy · cos 2θ

Remarquez le 2θ partout : c'est l'algèbre derrière le doublement « angle réel θ, angle du cercle 2θ » de la section précédente. La première équation est la coordonnée horizontale d'un point se déplaçant autour d'un cercle de centre (σ_x + σ_y)/2 ; la troisième est sa coordonnée verticale. C'est tout ce qu'est le cercle de Mohr — ces deux équations, dessinées.

Voici la recette canonique en cinq étapes pour construire le cercle à partir de n'importe quel (σ_x, σ_y, τ_xy) :

1. Trouvez le centre. Il se situe sur l'axe σ à la moyenne σ_moy = (σ_x + σ_y)/2 — sans cisaillement, parce que le centre est l'endroit où les deux contributions de contrainte normale s'équilibrent.
2. Trouvez le rayon. R = √[ ((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy² ]. C'est le cisaillement maximal dans le plan que le point peut ressentir.
3. Portez les deux points de face. X = (σ_x, −τ_xy) et Y = (σ_y, +τ_xy) ; la droite qui les traverse est un diamètre et confirme votre centre et votre rayon.
4. Lisez les contraintes principales. σ₁ = σ_moy + R et σ₂ = σ_moy − R, les deux intersections avec l'axe σ, où τ = 0. L'angle du plan principal est θ_p = ½·atan2(2τ_xy, σ_x − σ_y), mesuré jusqu'à σ₁.
5. Lisez le cisaillement maximal. τ_max = R, au sommet et au bas du cercle, sur un plan à 45° du plan principal (θ_s = θ_p − 45°).

Chaque exemple travaillé qui suit utilise exactement ces cinq étapes — tout comme le calculateur, en plus rapide. Si vous voulez voir d'où viennent les σ et τ qui alimentent l'étape 1 dans une barre réelle, les guides complémentaires sur la flexion composée avec effort axial et le moment fléchissant retracent les efforts internes jusqu'à la section.

La théorie s'ancre au moment où l'on en dessine un. Prenons le même état général de contrainte plane que vous rencontrerez dans le calculateur en direct une section plus loin, et construisons son cercle de Mohr à la main, étape par étape. Les données d'entrée sont le cas canonique : σ_x = 80 MPa (traction), σ_y = 20 MPa (traction) et τ_xy = 30 MPa. C'est exactement le préréglage par défaut du calculateur, donc lorsque vous atteindrez l'embed vous pourrez reproduire chaque nombre ci-dessous sans rien taper.

Étape 1 — Portez les deux points de face

En utilisant la convention de report de la section précédente, la face X se place en (σ_x, −τ_xy) = (80, −30) et la face Y en (σ_y, +τ_xy) = (20, +30). Ces deux points sont diamétralement opposés sur le cercle — tracez la droite qui les relie et vous avez déjà le diamètre.

Étape 2 — Trouvez le centre

Le centre se situe toujours sur l'axe σ à la contrainte normale moyenne :

• σ_moy = (σ_x + σ_y) / 2 = (80 + 20) / 2 = 50 MPa.

Le centre est donc C = (50, 0). Remarquez que la coordonnée de cisaillement du centre est toujours nulle — c'est ce qui fait de l'axe σ l'axe principal.

Étape 3 — Trouvez le rayon

Le rayon est la distance du centre à l'un ou l'autre point de face. Horizontalement cette distance est (σ_x − σ_y)/2 = 30 MPa ; verticalement c'est τ_xy = 30 MPa. Donc :

• R = √[((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²] = √(30² + 30²) = √1800 = 42,43 MPa.

Étape 4 — Lisez les contraintes principales

Les contraintes principales se situent là où le cercle croise l'axe σ — le centre plus ou moins le rayon :

• σ₁ = σ_moy + R = 50 + 42,43 = 92,43 MPa,
• σ₂ = σ_moy − R = 50 − 42,43 = 7,57 MPa.

Le cisaillement maximal dans le plan est simplement le rayon, τ_max = R = 42,43 MPa, situé tout en haut et tout en bas du cercle.

Étape 5 — Trouvez l'angle jusqu'au plan principal

L'angle de la face X jusqu'à σ₁ — mesuré sur le cercle, donc double de la rotation physique — vient directement de la géométrie :

• θ_p = ½ · atan2(2τ_xy, σ_x − σ_y) = ½ · atan2(60, 60) = ½ · 45° = 22,5°.

Faire tourner l'élément physique de 22,5° vous amène donc sur le plan principal où le cisaillement s'annule et σ₁ = 92,43 MPa agit seule. Une vérification rapide qui ne manque jamais : σ₁ + σ₂ = 92,43 + 7,57 = 100 MPa = σ_x + σ_y — la somme des contraintes normales est invariante à tout angle de rotation, donc si le compte n'y est pas, un nombre est faux.

Cinq étapes, un cercle, et chaque grandeur dont une vérification de calcul a besoin est désormais lisible sur le dessin. Dans la section suivante, nous parcourrons le cercle lui-même pour voir exactement où loge chacune de ces valeurs — et dans celle d'après vous pourrez reconstruire toute cette figure en direct dans le calculateur de cercle de Mohr de CalcSteel.

Une fois tracé, le cercle devient un tableau de bord — chaque grandeur dont une vérification de contrainte a besoin y a une place fixe. Gardez en tête l'état travaillé (σ_x = 80, σ_y = 20, τ_xy = 30 MPa, centre 50, rayon 42,43) et parcourons la géométrie.

Les deux intersections avec l'axe σ sont les contraintes principales

Là où le cercle coupe l'axe horizontal, la coordonnée de cisaillement est nulle — pas de cisaillement sur ce plan — donc ces intersections sont par définition les contraintes principales. L'intersection de droite est σ₁ = 92,43 MPa, celle de gauche est σ₂ = 7,57 MPa. Physiquement, σ₁ est la plus grande traction que tout plan passant par le point puisse ressentir, et elle agit sur une face tournée de θ_p = 22,5° par rapport à la face X d'origine.

Le sommet et le bas sont le cisaillement maximal dans le plan

Les points les plus haut et les plus bas du cercle se situent à un rayon entier au-dessus et en dessous de l'axe, donc le cisaillement maximal dans le plan est égal au rayon, τ_max = R = 42,43 MPa. Comme un diamètre sous-tend 180° sur le cercle et que 180° sur le cercle valent 90° dans l'élément réel, le sommet du cercle se trouve à 90° d'arc de l'intersection principale — soit 45° physiques. C'est la règle à graver : le plan de cisaillement maximal est toujours à 45° du plan principal, ici à θ_s = θ_p − 45° = −22,5°. Sur ce plan le cisaillement est à son pic et la contrainte normale vaut exactement σ_moy = 50 MPa.

L'invariant qui vérifie votre travail

Faites tourner l'élément à n'importe quel angle et les deux lectures de contrainte normale s'additionnent toujours au même nombre : σ_x' + σ_y' = σ_x + σ_y = σ₁ + σ₂ = 100 MPa. Géométriquement, c'est évident — les deux points restent diamétralement opposés, donc leurs coordonnées σ ont toujours pour moyenne le centre. C'est l'autovérification la plus rapide qui soit.

Le cercle hors plan qu'il ne faut pas oublier

L'état de contrainte plane n'est pas vraiment bidimensionnel — la troisième contrainte principale est σ₃ = 0, hors du plan. Tracez le cercle entre σ₁ = 92,43 et ce σ₃ = 0, et son rayon est plus grand que celui du plan. Le cisaillement maximal absolu est donc τ_abs,max = σ₁/2 = 46,21 MPa, et non la valeur de 42,43 MPa dans le plan. Ce nombre plus grand — et non le τ_max dans le plan — est ce qu'une vérification de Tresca utilise réellement, et c'est l'erreur la plus commune que commettent les ingénieurs lorsqu'ils traitent un problème de contrainte plane comme si le troisième cercle n'existait pas.

Ainsi, d'un seul dessin vous lisez la pire traction (σ₁), la pire compression (σ₂), le pire cisaillement dans le plan (R), le pire cisaillement de tous (τ_abs,max), et les angles vers chacun. C'est tout l'intérêt du cercle — et ensuite vous le ferez vous-même avec une version déplaçable.

Vous avez construit le cercle à la main et parcouru chacun de ses points remarquables. Le moyen le plus rapide de le rendre permanent est de le saisir et de le déplacer — le voici donc, en direct et intégré sur cette page.

Chargez l'état travaillé — σ_x = 80, σ_y = 20, τ_xy = 30 MPa (c'est le préréglage par défaut, il est donc peut-être déjà là) — et confirmez les nombres que vous venez de déduire : centre 50, rayon 42,43, σ₁ = 92,43, σ₂ = 7,57, θ_p = 22,5°. Puis commencez à faire glisser. Augmentez τ_xy et regardez le cercle gonfler, σ₁ et σ₂ s'écarter, et θ_p tourner vers 45° ; ramenez-le à zéro et le cercle s'effondre sur l'axe jusqu'à ce que σ_x et σ_y deviennent les contraintes principales. Faire tourner le plan parcourt le double de distance autour du cercle — vous pouvez voir la relation 2θ se produire en temps réel.

C'est l'outil réel, pas un aperçu : exécutions illimitées, entièrement gratuit, et sans connexion requise pour les calculs. Quand vous serez prêt à aller plus loin, vous pourrez charger une section réelle résolue au FEM, passer de la contrainte plane à un état triaxial 3-D complet avec les trois cercles, et partager un lien permanent vers l'état exact que vous observez. S'il s'ouvre dans son propre onglet, voici le lien direct vers le calculateur de cercle de Mohr de CalcSteel.

Amusez-vous ici avec l'état de manuel, car dans les sections qui suivent les contraintes cessent de venir d'entrées bien rangées et commencent à provenir d'une barre réelle — une poutre-poteau puis un bâtiment en acier complet — où le moteur d'éléments finis fournit automatiquement au cercle ses σ et τ. Si vous voulez d'abord voir d'où viennent ces efforts internes, le guide complémentaire sur les diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant est l'échauffement parfait.

Une fois que vous avez tracé quelques cercles à la main, une poignée d'états de contrainte commencent à ressembler à de vieilles connaissances. Leurs cercles ont des formes si distinctives que vous lisez la réponse avant même de terminer le calcul. Mémorisez ces trois-là et vous vérifierez presque n'importe quel résultat réel en quelques secondes.

Traction (ou compression) uniaxiale

Tirez une barre le long de son axe et une seule contrainte normale subsiste : σ_x = σ, σ_y = 0, τ_xy = 0. Le cercle est centré en σ/2 avec un rayon σ/2, il passe donc nettement par l'origine. Les deux intersections avec l'axe σ sont les contraintes principales : σ₁ = σ et σ₂ = 0. Le sommet du cercle se situe à τ_max = σ/2, sur un plan à 45° de l'axe de la barre — ce qui explique exactement pourquoi une éprouvette ductile en traction se strie et cisaille le long de plans de glissement à 45°, et pourquoi une craie fragile en traction se rompt net. Ce n'est pas qu'un jouet de manuel : la fibre extrême en flexion d'une barre réelle est un état uniaxial, et vous la retrouverez comme véritable résultat FEM dans la section suivante.

Cisaillement pur

Chargez maintenant un groupe de boulons ou une âme de poutre de sorte qu'il n'y ait que du cisaillement : σ_x = σ_y = 0, τ_xy = τ. Le centre tombe à l'origine et le rayon vaut τ, donc le cercle est centré sur zéro et symétrique. Les contraintes principales ressortent égales et opposées : σ₁ = +τ et σ₂ = −τ. Autrement dit, un état de cisaillement pur est aussi un état de traction et de compression égales tourné de 45°. Ces 45° expliquent pourquoi un arbre en torsion fait d'un matériau fragile se rompt le long d'une surface hélicoïdale à 45° plutôt qu'à angle droit — c'est la diagonale de traction, et non le cisaillement lui-même, qui le déchire.

États biaxiaux égaux et hydrostatiques

Enfin, chargez un point également dans les deux directions : σ_x = σ_y = σ, τ_xy = 0. Le rayon R = √[((σ − σ)/2)² + 0²] est exactement nul, donc le cercle s'effondre en un unique point sur l'axe σ. Un cercle-point porte un message direct : il n'y a de contrainte de cisaillement sur aucun plan, quel qu'il soit, et toute direction est une direction principale. La paroi mince d'un réservoir sous pression sphérique s'approche de cet état biaxial égal ; un état véritablement hydrostatique (égal dans les trois directions) est ce que ressent un fluide, et il produit une distorsion nulle — le fait qui sous-tend tout le critère de von Mises que nous atteindrons bientôt.

Ces trois silhouettes — un cercle passant par l'origine, un cercle chevauchant l'origine, et un cercle réduit à un point — sont le vocabulaire de tout ce qui suit. Chargez l'une d'elles dans le calculateur de cercle de Mohr gratuit et regardez la forme se mettre en place avant de faire confiance à un seul nombre.

Les cercles de manuel partent de σ_x, σ_y et τ_xy déjà donnés. Le calcul réel ne procède jamais ainsi. Un solveur d'éléments finis vous donne les efforts internes à une section — un effort axial N, un effort tranchant V et un moment fléchissant M — et c'est à vous (ou au moteur) de les transformer en contraintes qui construisent le cercle. Le pont, c'est la mécanique des matériaux élémentaire :

• Contrainte normale due à l'axial plus la flexion : σ = N/A ± M/S_x, maximale à la fibre extrême la plus éloignée de l'axe neutre.
• Contrainte de cisaillement due à l'effort transversal : τ ≈ V/A_w, maximale à l'axe neutre où la contrainte de flexion s'annule.

Le retournement de signe est tout l'enjeu : les deux contraintes culminent en des endroits différents. Ainsi, une même section transversale n'a pas un seul cercle de Mohr — elle en a un différent à chaque fibre, et les deux qui comptent se trouvent aux extrémités opposées de l'âme.

La barre : une poutre-poteau IPE 330

Prenez une console de 3 m en IPE 330 (aire A = 62,6 cm², module élastique S_x = 685,9 cm³, aire de cisaillement de l'âme A_w = 24,75 cm²), acier S355. Chargez l'extrémité libre avec un axial F_x = −150 kN (compression) et un transversal F_y = 20 kN. En passant par le moteur FEM de CalcSteel qui équipe l'application (le même run_analysis qui pilote l'éditeur 3-D), la base encastrée renvoie N = −150 kN, V = 20 kN, M = 60 kN·m. Examinons maintenant deux fibres de cette même section.

Fibre 1 — la fibre extrême (la flexion gouverne, τ = 0)

À la fibre la plus externe, la contrainte de flexion est maximale et le cisaillement transversal est nul. En cumulant axial et flexion : σ_x = N/A − M/S_x = (−150/62,6 − 6000/685,9) × 10 = −111,4 MPa, avec τ = 0. C'est un état uniaxial, donc le cercle est le cas particulier de la section précédente — il passe par l'origine : σ₁ = 0, σ₂ = −111,4 MPa, τ_max = 55,7 MPa, angle principal θ_p = 90°, et von Mises σ_vM = 111,4 MPa (utilisation η = 0,35 selon la NBR 8800). Compression pure, cercle dégénéré, un seul nombre à vérifier.

Fibre 2 — l'axe neutre (un véritable état 2-D)

Glissez jusqu'à l'axe neutre et l'histoire s'inverse : la contrainte de flexion y est nulle, mais la contrainte axiale agit toujours et le cisaillement transversal est désormais à son maximum. Donc σ_x = N/A = −23,96 MPa et τ_xy = V/A_w = 8,08 MPa agissent ensemble — un véritable état combiné. Le cercle est centré en −11,98 MPa avec un rayon de 14,45 MPa, donnant σ₁ = +2,47 MPa, σ₂ = −26,43 MPa, τ_max = 14,45 MPa et θ_p = 73,0°. Remarquez ce qu'une vue uniaxiale aurait complètement manqué : même sous compression nette, cette fibre porte une petite traction, σ₁ = +2,47 MPa, parce que le cisaillement incline les directions principales.

Le point marquant : la même section IPE 330 a produit deux cercles de Mohr totalement différents — un uniaxial dégénéré à la fibre extrême et un combiné réel à l'axe neutre. Une vérification correcte examine les deux, car vous ne pouvez pas savoir à l'avance quelle fibre gouverne la barre. C'est exactement l'interaction axial-flexion combinée détaillée dans flexion composée avec effort axial, et elle découle directement des efforts internes que vous lisez sur un diagramme d'effort tranchant et de moment fléchissant. Chargez une section résolue dans le calculateur de cercle de Mohr et vous pourrez basculer entre les fibres vous-même.

Le cercle de Mohr indique les pires contraintes et les plans sur lesquels elles agissent — mais, à lui seul, il ne dit pas si l'acier plastifie. Pour cela, vous alimentez ses contraintes principales dans un critère de plastification, et les deux qui comptent pour l'acier de construction se lisent directement sur le cercle.

Tresca — le critère du cisaillement maximal

Tresca est le critère honnête et conservateur : la plastification commence quand la contrainte de cisaillement maximale atteint la limite d'élasticité en cisaillement du matériau. Sur le cercle, ce cisaillement maximal est simplement le rayon du plus grand des trois cercles principaux, donc le critère est τ_max = (σ₁ − σ₃)/2, c'est-à-dire que la mesure de rupture est σ₁ − σ₃. C'est géométriquement littéral — vous lisez le sommet du plus grand cercle — ce qui explique exactement pourquoi il pèche du côté sécuritaire.

von Mises — le critère de l'énergie de distorsion

Le calcul de l'acier utilise presque toujours von Mises, parce qu'il correspond davantage aux données d'essai des métaux ductiles. Pour un état de contrainte plane, il se réduit à une formule nette dans les deux contraintes principales du plan :

σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)

Il capture l'idée que c'est la distorsion, et non le simple changement de volume, qui provoque la plastification — ce qui explique pourquoi un cercle-point hydrostatique (toutes les contraintes principales égales) a un von Mises nul, quelle que soit la pression en jeu. Une mise en garde qui piège souvent : von Mises est un critère tridimensionnel. Dans un état de contrainte plane véritable, la troisième contrainte principale est σ₃ = 0, et elle appartient toujours à la figure — c'est le cercle hors plan σ₃ = 0 qui fixe le véritable τ_abs,max, et l'omettre en silence est l'une des erreurs les plus fréquentes avec le cercle de Mohr.

La vérification réglementaire

Le calcul transforme cette contrainte en un unique taux d'utilisation η, comparant la sollicitation à la résistance de calcul à l'écoulement f_yd :

• NBR 8800 : f_yd = f_y/γ_a1, avec γ_a1 = 1,10.
• AISC 360 (LRFD) : f_yd = φ·f_y, avec φ = 0,90.

Faites passer l'état canonique travaillé au travers — σ_x = 80, σ_y = 20, τ_xy = 30 MPa, donnant σ₁ = 92,43 MPa et σ₂ = 7,57 MPa. Sa contrainte de von Mises est σ_vM = √(92,43² − 92,43·7,57 + 7,57²) = 88,88 MPa. Pour l'acier S355, la vérification NBR 8800 donne η = 88,88 / (355/1,10) = 88,88 / 322,7 = 0,28. La barre est à 28 % de la limite d'élasticité — confortablement sûre. Remarquez à quel point les nombres diffèrent : σ₁ = 92,43 MPa mais σ_vM = 88,88 MPa. La contrainte principale n'est pas von Mises — le critère combine σ₁ et σ₂, et seule la valeur de von Mises entre dans la vérification réglementaire.

C'est exactement le nombre que le moteur de CalcSteel calcule à chaque fibre, et dans la section suivante vous verrez cette même valeur de von Mises peindre les couleurs de vérification sur un bâtiment en acier 3-D réel. Vous pouvez reproduire vous-même les 88,88 MPa dans le calculateur de cercle de Mohr gratuit — il rapporte à la fois σ₁/σ₂ et l'utilisation von Mises côte à côte.

La poutre-poteau de la section précédente était une barre isolée. Passons maintenant à l'échelle d'un bâtiment — parce que toute la raison d'être d'un solveur qui construit un cercle de Mohr à chaque fibre est de pouvoir vous dire quelle fibre, dans quelle barre, de tout un portique, est la plus proche de plastifier. C'est ce nombre qui décide si l'acier est sûr.

Prenons un portique réel, en IPE 330 sur toute sa longueur : une portée de 12 m, des poteaux de 6 m au faîtage, portant une gravité w = 12 kN/m sur l'arbalétrier plus une poussée latérale de vent de 15 kN, sur des bases encastrées. C'est un portique déplaçable statiquement hyperstatique — les nœuds rigides et les pieds encastrés donnent plus de liaisons que l'équilibre seul ne peut résoudre, si bien qu'il n'existe pas de formule fermée de manuel. Seule une solution par éléments finis donne la réponse, et le moteur de CalcSteel renvoie des réactions d'appui nettes comme première vérification de bon sens : verticale ΣF_y = 144 kN (exactement w·L = 12 × 12) et horizontale ΣF_x = −15 kN (équilibrant précisément le vent).

La fibre gouvernante

Le moteur balaye chaque barre et trouve la fibre la plus sollicitée à mi-portée de l'arbalétrier : un axial N = −15,3 kN combiné à un moment fléchissant M = 184,7 kN·m. Passé par σ = N/A − M/S_x sur l'IPE 330 (A = 62,6 cm², S_x = 685,9 cm³), cette fibre extrême atteint :

• σ_x = −271,7 MPa — une compression presque uniaxiale, si bien que le cercle de Mohr passe pour l'essentiel par l'origine.
• von Mises σ_vM = 271,7 MPa — pour une contrainte uniaxiale, la valeur de von Mises égale la magnitude de la contrainte elle-même.
• Utilisation η = 271,7 / (355 / 1,10) = 0,842 selon la NBR 8800 (γ_a1 = 1,10), ou η = 271,7 / (0,90 × 355) = 0,850 selon l'AISC 360 (φ = 0,90).

La barre passe, mais tout juste — à environ 84 % d'utilisation, c'est une section orange, bien exploitée, exactement le type que l'on souhaite dans un calcul efficace : pas d'acier gaspillé, une marge réelle encore en main.

Pourquoi l'effet de portique compte

Voici l'histoire que raconte le cercle. Si ce même arbalétrier de 12 m était une poutre simplement appuyée sous w = 12 kN/m, son moment à mi-portée serait le classique wL²/8 = 12 × 12² / 8 = 216 kN·m. Intégré dans un portique rigide, les nœuds rigides extraient du moment de la portée et le répartissent dans les angles, si bien que le moment gouvernant de l'arbalétrier tombe à 184,7 kN·m. Cette redistribution — la raison pour laquelle les portiques sont si efficaces, et la raison pour laquelle ils nécessitent un solveur — est détaillée fibre par fibre dans notre pilier sur l'effort tranchant et le moment fléchissant.

Le point d'aboutissement qui relie tout ce guide : le moteur transforme cette unique fibre gouvernante en un cercle de Mohr, lit ses contraintes principales, calcule σ_vM = 271,7 MPa, et cette valeur exacte de von Mises est ce qui peint les couleurs de vérification sur le modèle 3-D dans l'éditeur de CalcSteel — vert pour confortable, orange pour bien utilisé, rouge pour surchargé. Le cercle que vous avez appris à dessiner à la main est le même que celui qui colore chaque barre d'un bâtiment en acier réel.

La construction est nette, mais la même poignée de faux pas piège aussi bien les étudiants que les ingénieurs en exercice. Parcourez cette liste de vérification avant de faire confiance à un cercle que vous dessinez — ou que vous lisez sur un solveur.

• Confondre l'angle : c'est 2θ sur le cercle, pas θ. Faire tourner le plan physique d'un angle θ parcourt le double de cet angle autour du cercle. Une rotation de 45° de l'élément est un trajet de 180° sur le diagramme — ce qui explique exactement pourquoi le plan de cisaillement maximal et le plan principal se trouvent à 45° dans l'espace mais à 90° sur le cercle.
• Se tromper de signe pour reporter le cisaillement. Pour qu'une rotation physique antihoraire se lise comme un balayage antihoraire sur le cercle, portez la face X en (σ_x, −τ_xy) et la face Y en (σ_y, +τ_xy). Inversez ce signe et vos angles sortiront avec le mauvais sens de rotation, même si σ₁ et σ₂ paraissent encore corrects.
• Placer τ_max sur le plan principal. Le cisaillement maximal dans le plan agit sur un plan à 45° du plan principal (θ_s = θ_p − 45°), au sommet et au bas du cercle — jamais là où résident σ₁ et σ₂. Sur les plans principaux, le cisaillement est exactement nul.
• Oublier le cercle hors plan σ₃ = 0. Pour un état de contrainte plane, le véritable cisaillement maximal absolu est souvent fixé par le troisième cercle passant par σ₃ = 0, et non par celui du plan. Dans notre état travaillé, τ_max dans le plan vaut 42,43 MPa, mais τ_abs,max = σ₁/2 = 46,21 MPa — et c'est cette valeur plus grande qu'une vérification de Tresca utilise réellement.
• Traiter la contrainte principale comme le nombre de rupture. σ₁ est la plus grande contrainte normale, mais l'acier ductile plastifie par énergie de distorsion : la vérification s'appuie sur von Mises σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), pas sur σ₁ seule. Dans notre exemple σ₁ = 92,43 MPa mais σ_vM = 88,88 MPa — ce sont simplement des grandeurs différentes.
• S'attendre à du cisaillement quelque part sur un cercle-point. Un état biaxial égal (hydrostatique dans le plan) réduit le cercle à un unique point de rayon nul. Tout plan porte alors la même contrainte normale et un cisaillement nul — il n'existe aucune orientation produisant le moindre cisaillement.

Le cercle de Mohr est-il encore utilisé aujourd'hui ?

Oui — constamment, même si rarement au crayon et au compas. La construction est la grammaire visuelle derrière toute vérification de contrainte : un solveur calcule le tenseur des contraintes à chaque fibre et le réduit exactement comme le fait le cercle, en contraintes principales et en valeur de von Mises. Les ingénieurs continuent de recourir au cercle pour raisonner sur des états combinés, vérifier un logiciel, et enseigner la géométrie de la contrainte. Dessinez-en un vous-même dans le calculateur de cercle de Mohr gratuit et la figure vieille de 140 ans apparaît en temps réel.

Que sont physiquement les contraintes principales ?

Ce sont les plus grandes et les plus petites contraintes normales en un point, et elles agissent sur les deux plans où la contrainte de cisaillement s'annule totalement. Faites tourner votre coupe imaginaire jusqu'à ce que rien ne cherche à faire glisser les faces l'une contre l'autre — il ne reste qu'une pure poussée ou traction — et ces valeurs purement normales sont σ₁ et σ₂. Sur le cercle, ce sont simplement les deux points où il croise l'axe σ. Elles importent parce que les fissures ont tendance à s'ouvrir perpendiculairement à σ₁, et les critères de plastification sont construits à partir d'elles.

Pourquoi l'angle est-il doublé sur le cercle ?

Parce que les équations de transformation des contraintes pour σ et τ sont des fonctions de 2θ — elles contiennent cos 2θ et sin 2θ, pas cos θ et sin θ. Le cercle de Mohr n'est que la figure géométrique de ces équations, donc une rotation physique de θ se projette nécessairement sur un arc de 2θ. Ce n'est pas une convention que l'on pourrait choisir différemment ; cela découle directement de l'algèbre de la rotation d'un tenseur symétrique.

Existe-t-il un cercle de Mohr pour la déformation ?

Oui. La même construction fonctionne avec la déformation normale ε sur l'axe horizontal et la moitié de la distorsion angulaire (γ/2) sur l'axe vertical. Elle donne les déformations principales et la distorsion maximale exactement de la même façon, ce qui est précisément la manière dont une rosette extensométrique est réduite à des valeurs principales. La géométrie est identique — seules les étiquettes des axes changent.

Vous avez parcouru tout le chemin — d'un petit élément carré avec σ_x, σ_y et τ_xy sur ses faces, jusqu'à la fibre gouvernante d'un portique en acier réel et la vérification réglementaire qui le maintient debout. Voici ce qu'il faut retenir.

• Un point subit un état 2-D, pas une seule contrainte. Chaque plan qui le traverse se projette sur un point d'un cercle centré en σ_moy avec un rayon R = τ_max. Lire le cercle révèle le pire plan d'un seul coup d'œil.
• Le cercle livre directement les nombres de calcul. Les deux intersections avec l'axe σ sont les contraintes principales (σ₁ = 92,43, σ₂ = 7,57 MPa dans notre état travaillé) ; le sommet du cercle est le τ_max dans le plan = 42,43 MPa ; et la somme σ₁ + σ₂ = σ_x + σ_y est invariante à toute rotation.
• Les angles doublent, et le pic de cisaillement est décalé. Faire tourner le plan de θ parcourt 2θ sur le cercle, et le plan de cisaillement maximal se trouve à 45° du plan principal — jamais sur celui-ci. N'oubliez pas le cercle hors plan σ₃ = 0 quand vous avez besoin de τ_abs,max.
• Une même section peut donner deux cercles différents. Dans une poutre-poteau, la fibre extrême donne un cercle uniaxial dégénéré (σ₂ = −111,4 MPa, von Mises 111,4) tandis que l'axe neutre donne un cercle combiné réel (σ₁ = 2,47, σ₂ = −26,43 MPa). Une vérification correcte examine les deux.
• Le cercle se termine par une vérification de rupture. Ses contraintes principales alimentent von Mises σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), et η = σ_vM / f_yd décide du sort de la barre — 0,842 selon la NBR 8800, 0,850 selon l'AISC 360 pour la fibre gouvernante du portique réel.

Alors arrêtez de lire et commencez à dessiner. Chargez vos propres σ_x, σ_y et τ_xy dans le calculateur de cercle de Mohr gratuit — illimité, sans connexion pour les calculs — faites glisser le cisaillement et regardez σ₁, σ₂ et θ_p répondre, puis chargez une section réelle résolue au FEM et passez au triaxial. Quand vous serez prêt pour la barre entière, la solution CalcSteel exécute le même moteur FEM réel sur des poutres-poteaux et des portiques complets directement dans votre navigateur, sur un plan véritablement gratuit, colorant chaque barre selon la valeur exacte de von Mises que produit le cercle. Les étudiants ont tout débloqué via CalcSteel Education, gratuit pour les comptes vérifiés. La preuve n'est pas un compte à rebours — c'est l'outil lui-même, entre vos mains dès aujourd'hui.