Escalera de Zanca Central en Acero: El Criterio Detrás de la Norma, con una Verificación Resuelta

La escalera de zanca central es la que buscan los arquitectos cuando la escalera tiene que parecer que flota: una sola zanca de acero recorriendo el centro del tramo, con las huellas en voladizo hacia cada lado, sin estructura en los bordes que interrumpa la línea. Es una idea limpia, y esconde una trampa concreta de ingeniería, porque esa única viga central debe hacer a la vez dos cosas que una escalera convencional de dos zancas reparte y suaviza.

La primera es la flexión. Con una zanca central en lugar de dos, todo el ancho del tramo, cada huella, cada persona, cae sobre ese único elemento. Su demanda de flexión no es un poco mayor que la de un brazo de doble zanca; es aproximadamente el doble, porque soporta el ancho completo donde cada brazo de la doble soportaba la mitad.

La segunda, y la que realmente pilla a la gente, es la torsión. Las huellas se proyectan desde la zanca central como voladizos. Cárguelas por igual a ambos lados y los giros se cancelan. Pero las normas no permiten suponer una carga uniforme: una escalera debe verificarse para una multitud agolpada a un lado, y en el momento en que la carga se desequilibra, actúa fuera del eje de la zanca central y la retuerce. Una doble zanca nunca siente esto, porque sus huellas se apoyan entre dos soportes; una zanca central lo siente en cada tramo.

Equivoque cualquiera de las dos y la sección estará mal. Esta guía dimensiona un tramo público real de zanca central desde la carga hasta la verificación combinada, con cada fuerza interna producida por el motor de elementos finitos de CalcSteel y contrastada a mano con la teoría hasta el decimal. La calculadora de vigas gratuita de CalcSteel resuelve la mitad de flexión en su navegador, y va incrustada a mitad de la página para que dimensione su propia zanca central mientras lee.

Una escalera de zanca central soporta el tramo en una sola viga, la zanca central, que recorre el centro bajo las huellas, las cuales quedan en voladizo hacia cada lado. En acero la zanca central es casi siempre una sección cerrada, un perfil hueco rectangular o cuadrado (RHS o cajón), y cada huella es un pequeño voladizo soldado a ella.

Para el análisis la zanca central es la misma viga inclinada simplemente apoyada que cualquier zanca: articulada en el descanso inferior, sobre un apoyo móvil en el superior, libre de girar en ambos extremos, salvando el tramo con el ángulo de la escalera. Eso lo comparte con una doble zanca. Dos cosas la convierten en un problema distinto.

Primero, el área tributaria. Una doble zanca toma la mitad del ancho del tramo; la zanca central toma todo. Cada carga por metro cuadrado que pide la norma se multiplica por el ancho completo, no la mitad, al convertirse en una carga lineal sobre la zanca central.

Segundo, el recorrido de carga hacia la zanca central. En una escalera de doble zanca las huellas se apoyan entre las dos zancas y entregan reacciones verticales limpias. En una de zanca central las huellas son voladizos, y un voladizo entrega su carga al soporte como una fuerza vertical y un momento. Cuando los dos lados están equilibrados, los momentos se oponen y se cancelan; cuando no lo están, el momento neto es un par torsor respecto al propio eje de la zanca central. Así que el modelo honesto de una zanca central es una viga en flexión y torsión, y ambas deben verificarse juntas en una sola sección.

Tomamos un tramo público recto, de piso a piso, y diseñamos su zanca central.

• Huella total en planta (recorrido horizontal) a = 3.60 m, la distancia que la escalera cubre en planta.
• Altura H = 2.10 m, lo que asciende.
• Así que el ángulo es theta = arctan(2.10 / 3.60) = 30.3 grados, cos(theta) = 0.864, una pendiente pública normal y cómoda.
• La longitud inclinada de la zanca central es s = sqrt(a^2 + H^2) = 4.17 m, la longitud real de acero.
• El tramo tiene 1.20 m de ancho, y todo él descansa sobre la única zanca central. Cada huella queda, por tanto, en voladizo 0.60 m hacia cada lado.

La carga es una carga de escalera pública: una carga viva uniforme de 4.0 kN/m2 en planta (dentro de la categoría C del Eurocódigo y de las bandas públicas de la NBR, justo por debajo del valor de 4.79 de ASCE 7) y una carga muerta de aproximadamente 1.5 kN/m2 para huellas de acero, un acabado ligero y una previsión de barandilla. Como la zanca central soporta todo el ancho, las cargas lineales referidas al recorrido horizontal son la presión por los 1.20 m completos, no la mitad:

• Viva: w_live = 4.0 kN/m2 x 1.20 m = 4.80 kN/m.
• Muerta: w_dead = 1.5 x 1.20 + peso propio de la zanca central (0.22 kN/m) = 2.02 kN/m.
• Mayorada para resistencia (EN 1990: 1.35 muerta + 1.5 viva): w_Ed = 1.35 x 2.02 + 1.5 x 4.80 = 9.93 kN/m.

Tenga presente ese 1.20 m. Es toda la razón por la que una zanca central es un elemento a flexión más pesado que un brazo de doble zanca, y la sección siguiente muestra exactamente cuánto más pesado.

El momento flector de una viga inclinada bajo carga vertical es igual al de una viga plana que salva el recorrido horizontal, un resultado que se cumple para cualquier zanca: el cos(theta) de descomponer la carga perpendicular al elemento y el 1/cos(theta) del vano inclinado más largo se cancelan, dejando la fórmula plana escrita con el recorrido horizontal.

M_Ed = w_Ed a² / 8

Para nuestra zanca central en resistencia: M_Ed = 9.93 x 3.60² / 8 = 16.09 kN.m, con un cortante de apoyo V_Ed = w_Ed a / 2 = 17.88 kN. Construimos el tramo en el motor FEM de CalcSteel como un elemento simplemente apoyado de vano 3.60 m bajo 9.93 kN/m; devuelve M = 16.091 kN.m y V = 17.879 kN, coincidiendo con la fórmula a mano.

Ahora la comparación que justifica toda la elección de sección. Resuelva la misma escalera como una doble zanca convencional, con cada uno de los dos elementos tomando la mitad del ancho de 1.20 m. La carga lineal mayorada por zanca baja a 5.12 kN/m y el motor devuelve 8.29 kN.m por brazo. La zanca central soporta, por tanto, 1.94 veces el momento de un brazo de doble zanca, esencialmente el doble, exactamente como predijo el ancho tributario. Ese es el primer coste de la zanca única, y solo por flexión ya buscaría una sección más profunda y pesada. Pero la flexión por sí sola no es la verificación que decide una zanca central.

Aquí está la demanda que una doble zanca nunca tiene que responder. En una zanca central cada huella es un voladizo que se proyecta desde la zanca. La carga vertical sobre ese voladizo, en su centro de área, se sitúa a una distancia real del eje de la zanca central, y una fuerza vertical que actúa fuera del eje es un par torsor. Cargue ambos lados por igual y los dos pares se oponen y se cancelan. El truco es que no se le permite suponer que ambos lados están cargados por igual.

Toda norma de cargas exige verificar una escalera para carga viva desequilibrada y en damero, porque una multitud real sí se agolpa a un lado, en un descanso, en un giro, junto a una barandilla. El peor caso realista para la zanca central es la carga viva completa en un voladizo de 0.60 m y nada en el otro. Esa mitad desequilibrada actúa en el centroide de su propia área, a 0.30 m del eje de la zanca central, y su carga lineal mayorada (1.5 x 4.0 x 0.60) es 3.60 kN/m. El resultado es un par torsor distribuido a lo largo de todo el tramo:

t = 3.60 kN/m x 0.30 m = 1.08 kN.m por metro

Un elemento sujeto a torsión en ambos descansos (el detalle estándar, una horquilla o una placa de momento en cada extremo) transmite ese par torsor distribuido a sus extremos igual que una viga transmite una carga distribuida, y el par torsor de apoyo es T = t a / 2 = 1.08 x 3.60 / 2 = 1.94 kN.m por estática. En el motor introdujimos la torsión de la forma honesta, como lo hacen las huellas, colgando la carga excéntrica de voladizos cortos soldados a la zanca central en lugar de inventar un momento. El motor devuelve un par torsor en la zanca central de 1.82 kN.m, coincidiendo con la estática discretizada de los voladizos aplicados hasta la última cifra. El par torsor es real, lo exige la norma, y es el número que la sección ahora debe soportar.

Ahora el par torsor se encuentra con la sección, y aquí es donde la elección que una zanca central le impone se vuelve tajante. La torsión se transmite de dos maneras completamente distintas según la sección sea abierta (un perfil U, una I, cualquier cosa que pudiera desenrollarse en una tira plana) o cerrada (un cajón hueco o un tubo). Una sección cerrada transmite la torsión como un flujo cortante continuo alrededor de todo su perímetro, lo cual es enormemente eficiente. Una sección abierta no tiene un lazo cerrado por el que fluir, así que resiste la torsión solo con cada placa delgada girando por su cuenta, lo cual es débil. La medida de esa eficiencia es la constante de torsión J, y la brecha entre las dos familias no es un porcentaje, es de órdenes de magnitud.

Póngale números con dos secciones de la misma resistencia a flexión. Nuestra zanca central cerrada, un RHS 150x100x6, tiene un módulo elástico S_x = 118 cm3 y una constante de torsión J = 924 cm4. Un perfil abierto igualado a la misma flexión, un UPN 160 con S_x = 118 cm3, tiene una constante de torsión de apenas J = 7.2 cm4. La sección cerrada es 128 veces más rígida a torsión para el mismo acero haciendo el mismo trabajo de flexión. Introduzca el par torsor de 1.82 kN.m en cada una y la consecuencia se sigue directamente:

El perfil abierto no solo falla, falla por un amplio margen, y los 266 MPa son solo la parte de St Venant de su tensión de torsión; las tensiones de alabeo que un perfil abierto también desarrolla bajo esta sujeción lo empujarían aún más alto. Además giraría 16.5 grados en un solo tramo, lo cual no es un problema de tensión, es una escalera por la que no se puede caminar. Este es el criterio que recogen las normas, AISC 360 Sección H3 para elementos HSS bajo torsión y EN 1993-1-1 Sección 6.2.7 para flexión y torsión combinadas: no es en realidad un número a perseguir, es una familia de sección a elegir. Para una zanca central, cierre la sección.

Con la familia de sección resuelta, dimensione la zanca central y demuéstrela contra todo a la vez. Nuestro RHS 150x100x6 en S275 (f_y = 275 MPa) tiene S_x = 118 cm3, J = 924 cm4 y un espesor de pared t = 6 mm. Tres tensiones actúan sobre él bajo las cargas mayoradas, y la verificación de norma (EN 1993-1-1 6.2.1, la verificación elástica) consiste en combinarlas en el punto más desfavorable y mantener la tensión de von Mises por debajo del límite elástico.

• Flexión. sigma = M_Ed / S_x = 16.09 kN.m / 118 cm3 = 136 MPa, máxima en las caras superior e inferior.
• Cortante de torsión. Una sección cerrada transmite el par torsor como un flujo cortante, y la fórmula de Bredt da el cortante en la pared como tau = T / (2 A_m t), con A_m el área encerrada por la línea media de la pared. Para nuestro RHS, A_m = 144 x 94 = 13 536 mm2, así que tau = 1.82 x 10⁶ / (2 x 13 536 x 6) = 11 MPa, uniforme alrededor del perímetro.
• Cortante vertical. Las dos almas soportan el cortante de 17.88 kN, tau = V / (2 h t) = 10 MPa, máximo a media altura de las almas.

Combínelas donde cada una es máxima. En el ala la tensión de flexión se encuentra con el cortante de torsión (el cortante en el alma es casi cero allí): sigma_vm = sqrt(136² + 3 x 11²) = 138 MPa. A media altura del alma el cortante vertical y el de torsión se suman en una pared pero hay poca tensión de flexión: sigma_vm = sqrt(3) x (10 + 11) = 37 MPa. El punto del ala gobierna con 138 MPa, que es el 50% del límite elástico de 275 MPa. La zanca central pasa con la mitad de su resistencia en reserva, y el par torsor que aniquiló al perfil abierto es aquí una contribución de 11 MPa, que apenas mueve el resultado. Esa reserva es deliberada: una escalera es tanto un problema de servicio como de resistencia, y la sección siguiente es donde la sección realmente se gana.

Una escalera que pasa resistencia puede seguir siendo una mala escalera. Dos movimientos deciden si la zanca central se siente firme, y la inclinación cambia uno de ellos de una forma que pilla a la gente.

Flecha vertical. A diferencia del momento, la flecha no sigue el recorrido horizontal. La componente de carga perpendicular actúa sobre la longitud inclinada más larga s, y la flecha perpendicular se proyecta luego a vertical, y los dos factores cos(theta) no se cancelan: la flecha vertical real es 1/cos(theta) mayor que la de una viga plana del mismo recorrido. En el motor el modelo plano flecta 5.93 mm bajo la carga viva de servicio y la zanca central inclinada real 6.87 mm, una relación de 1.158 que coincide exactamente con 1/cos(30.3 grados) = 1.158. Frente al límite habitual L/360 tomado sobre la longitud inclinada s = 4.17 m, el tope es 11.6 mm, así que la zanca central se sitúa en s/607, usando el 59% de la flecha admisible. La flecha es la más ajustada de las tres verificaciones, lo cual es típico en una escalera, pero aquí aún pasa.

Giro. El par torsor desequilibrado también hace girar la zanca central, y una zanca central que gira visiblemente bajo una multitud a un solo lado resulta alarmante incluso cuando es segura. Esta es la otra mitad de por qué la sección tenía que ser cerrada. El RHS cerrado gira apenas 0.13 grados a lo largo de todo el tramo bajo el par torsor de diseño, imperceptible; el perfil abierto habría girado 16.5 grados, un factor de 128 que es simplemente la relación de las dos constantes de torsión. El modelo de pórtico del motor devuelve el mismo giro despreciable de 0.14 grados para el cajón. Con la sección cerrada, el giro deja de ser una preocupación de diseño; con una abierta, habría sido lo primero en fallar.

Reproduzca la mitad de flexión de esta verificación en la calculadora de abajo. Configure una viga simplemente apoyada, introduzca el vano como su recorrido horizontal a (aquí 3.60 m), y aplique su carga lineal mayorada w_Ed como carga uniformemente distribuida. Para una zanca central esa carga lineal usa el ancho completo del tramo (aquí 9.93 kN/m sobre 1.20 m), que es el paso que la mayoría de la gente hace mal al llevar la mitad del ancho por hábito de doble zanca. La herramienta devuelve el momento, el cortante y la flecha y verifica la sección contra NBR 8800 y AISC 360; verá M_Ed caer en 16.1 kN.m y V_Ed en 17.9 kN.

Dos cosas que la calculadora no hace por usted, porque son lo que hace de una zanca central una zanca central. Primero, para la flecha, multiplique el valor plano reportado por 1/cos(theta) para obtener la flecha inclinada real antes de compararla con su límite L/360 sobre la longitud inclinada. Segundo, y sobre todo, resuelva la torsión a mano: tome su carga viva desequilibrada, multiplique por su excentricidad respecto al eje de la zanca central para obtener el par torsor distribuido, obtenga T = t a / 2 en los apoyos, y sume el cortante de Bredt T / (2 A_m t) a la tensión de flexión en una verificación de von Mises. Haga la flexión en la herramienta, la torsión en papel, y tendrá la zanca central completa.

El tramo resuelto cubre la mecánica; una zanca central construible necesita unas cuantas decisiones que el dimensionamiento supuso en silencio, y cada una es donde el recorrido de la torsión puede perderse.

• Las conexiones de extremo deben resistir de verdad la torsión. Toda la verificación de torsión supone que la zanca central está sujeta contra el giro en ambos descansos, una horquilla de torsión o una placa de momento de extremo. Una zanca central apoyada sobre dos simples cartelas de asiento que le permitan girar sobre su eje no tiene ninguna sujeción a torsión, y el giro se desboca. Este es el único detalle que hace o deshace el diseño, y es el que una doble zanca nunca tiene que considerar.
• La soldadura huella a zanca central introduce el par torsor. Cada huella en voladizo entrega su carga y su momento a la zanca central a través de su soldadura. En una zanca central esa soldadura es una conexión estructural primaria que transmite el par torsor, no una simple soldadura de punto; dimensiónela para la reacción de la huella y el momento del voladizo juntos.
• El pandeo lateral-torsional deja de ser una preocupación. Una zanca central pierde el arriostramiento de las huellas del que depende una doble zanca, lo que normalmente haría del pandeo lateral-torsional una verificación seria. Elegir una sección cerrada para la torsión resuelve esto gratis: las secciones cerradas son tan rígidas a torsión que efectivamente no pandean lateralmente en flexión, así que la misma decisión que responde al par torsor también responde al pandeo.
• Zancas centrales conformadas en frío. Una escalera más ligera puede usar un RHS conformado en frío. El método es idéntico y la sección sigue siendo cerrada, pero verifique la pared contra el pandeo local según EN 1993-1-3 o AISI, y recuerde que los radios de esquina reducen ligeramente el área encerrada A_m en la fórmula de Bredt.
• Peso propio y acabados. Incluimos acero y un acabado ligero en 1.5 kN/m2. Una escalera con huellas de piedra o de madera gruesa es más pesada, y en una zanca central esa carga muerta se soporta a ancho completo y alimenta directamente tanto la flexión como el giro, así que reestímela antes de dimensionar.

Usar un perfil abierto o un perfil I para la zanca central. El error definitorio. Una sección abierta de amplia resistencia a flexión puede aun así fallar la verificación de torsión por un factor de dos o más, y girar visiblemente bajo una carga a un solo lado. La zanca central es una sección cerrada, punto.

Verificar solo la carga equilibrada. Con la carga viva simétrica, el par torsor es cero y la zanca central parece correcta. El caso de norma es la carga desequilibrada, y es la que gobierna. Sáltela y nunca habrá verificado la acción que en realidad dimensiona la sección.

Cargar la zanca central como un brazo de doble zanca o como un forjado. La zanca central toma el ancho completo del tramo, no la mitad, y una carga de escalera, no una de forjado. Lleve la mitad del ancho por hábito y habrá subdimensionado la flexión por un factor de dos antes de empezar.

Detallar los extremos sin sujeción a torsión. El cálculo más limpio no vale nada si la conexión deja que la zanca central gire sobre su eje. Los descansos deben ahorquillar o fijar la zanca central contra el giro.

¿Por qué no usar simplemente dos zancas? A menudo debería, y es el elemento más barato y sencillo. La zanca central es una elección arquitectónica para el aspecto flotante, y el precio de ese aspecto es exactamente este: el doble de flexión y una verificación de torsión real, ambas soportadas por una sola sección cerrada.

¿Importa la pequeña fuerza axial de la inclinación? La zanca central inclinada también soporta una fuerza axial de unos 9 kN de la componente de la reacción de apoyo. Combinada con la flexión mueve la utilización un punto o dos y no gobierna con una pendiente normal, aunque crece en una escalera industrial empinada.

¿Sección hueca cuadrada o rectangular? Un rectángulo con su lado largo vertical es eficiente para la flexión, y cualquier sección cerrada sobra para la torsión. Elija el canto por flexión y flecha; la torsión no será lo que lo decida una vez que la sección esté cerrada.

Una escalera de zanca central concentra todo el tramo en una sola zanca, y ese único gesto añade dos demandas que una doble zanca suaviza o nunca siente. Responda a ambas con una decisión, una sección cerrada, y el resto es una verificación combinada de rutina.

• La zanca central soporta el ancho completo, así que su flexión es aproximadamente el doble que la de un brazo de doble zanca: 16.09 kN.m frente a 8.29 kN.m en la misma escalera, del motor, un factor de 1.94.
• La carga viva desequilibrada sobre las huellas en voladizo retuerce la zanca central: un par torsor distribuido de 1.08 kN.m por metro y un par torsor de apoyo de 1.82 kN.m, ajustado por el motor a la estática.
• Ese par torsor fuerza la familia de sección. Un RHS 150x100x6 cerrado (J = 924 cm4) lo transmite como un cortante de 11 MPa; un perfil abierto de la misma resistencia a flexión (J = 7.2 cm4, 128 veces menos) alcanza 266 MPa y falla.
• La zanca central cerrada resuelta pasa con un von Mises de 138 MPa (50% del límite elástico del S275), una flecha inclinada de s/607 (59% de L/360) y un giro de 0.13 grados. El perfil abierto alcanza el 175% y gira 16.5 grados.
• El criterio detrás de la norma (AISC 360 H3, EN 1993-1-1 6.2.7) es una familia de sección, no un número: cierre la zanca central, y el par torsor que destruye un perfil abierto se convierte en un detalle marginal.