Fórmula de la deformación cortante: la teoría y dónde aparece en un pórtico de acero real

Pídele a un ingeniero la fórmula de la deformación y casi siempre obtendrás ε = σ / E, la deformación normal a partir de una tensión normal. Esa es la deformación que siente una probeta cuando la traccionas, la deformación que siente el ala de una viga cuando flexiona. Pero es solo la mitad de la historia. Cada vez que una fuerza intenta deslizar una capa de material sobre su vecina, el material responde con un tipo distinto de deformación: la deformación cortante, y su fórmula es γ = τ / G.

La deformación cortante es más discreta que su prima axial porque suele ser menor y no es lo que gobierna una viga esbelta. Sin embargo, está en todas partes en un pórtico de acero: en el alma de cada viga cargada, en el vástago de cada perno, en la zona de panel de cada conexión de momento y en la flecha adicional que captan los elementos cortos y peraltados. Este artículo construye γ desde los primeros principios, conecta su módulo G con el familiar E y luego pasa una viga IPE 300 real por el motor FEM de CalcSteel para mostrar con precisión cuánta deformación cortante vive en su alma y cómo se compara con la deformación por flexión en esa misma sección.

Esta es la definición que vale la pena memorizar: la deformación cortante es el cambio de un ángulo recto dentro del material, medido en radianes. Imagina un pequeño cuadrado dibujado en el costado del alma de una viga cargada. Aplica una tensión cortante y ese cuadrado se distorsiona hasta convertirse en un paralelogramo; las esquinas que tenían 90 grados ahora tienen un poco más o un poco menos. La magnitud de ese cambio, en radianes, es la deformación cortante γ.

Geométricamente, si la cara superior se desliza una distancia Δx respecto de la cara inferior situada a una altura L, entonces γ = Δx / L. Para los ángulos pequeños que las estructuras experimentan realmente, esa razón es igual a tan γ, que es igual a la propia γ en radianes, de modo que las tres son intercambiables. Por eso γ es adimensional: es una longitud dividida por una longitud o, de forma equivalente, un ángulo. Los ingenieros la expresan de tres maneras, igual que con la deformación normal: como decimal (0,000366), como porcentaje (0,0366%) o en microradianes (366 µrad), donde un microradián es una millonésima de radián.

De aquí se desprenden dos consecuencias inmediatas. Primera, γ no tiene nada que ver con el cambio de volumen ni con el estiramiento; un cuerpo en cortante puro conserva su volumen y solo distorsiona su forma. Segunda, como es un ángulo, una γ de un radián completo sería enorme, unos 57 grados de distorsión. Las deformaciones cortantes estructurales reales son de unos pocos cientos de microradianes, y por eso la distorsión es invisible a simple vista aun cuando el material trabaja mucho.

La fórmula en sí es la ley de Hooke escrita para el cortante. En el rango elástico la tensión cortante y la deformación cortante son proporcionales, τ = G·γ, de modo que, reordenada, la fórmula de la deformación cortante es γ = τ / G. Es la análoga estructural exacta de ε = σ / E: cambia la tensión normal σ por la tensión cortante τ y el módulo elástico E por el módulo de cortante G, y ya la tienes.

Cada magnitud tiene un significado claro. τ es la tensión cortante en el plano que te interesa, en MPa. G es el módulo de cortante, también llamado módulo de rigidez, en MPa o GPa. Y γ es la deformación cortante resultante en radianes. Lee la fórmula en voz alta y dice algo intuitivo: un material más rígido (G mayor) se distorsiona menos para la misma tensión cortante, y una tensión cortante mayor distorsiona más para el mismo material.

Una advertencia que hace tropezar a los estudiantes y aparece en las preguntas de examen: circulan dos definiciones de deformación cortante. La deformación cortante de ingeniería γ que se usa en cada fórmula de diseño es el cambio total del ángulo recto. La deformación cortante tensorial ε_xy que aparece en la mecánica del continuo y en la salida de los elementos finitos es exactamente la mitad, ε_xy = γ / 2. Difieren en un factor de dos, y mezclarlas es un error clásico. Cuando usas γ = τ / G estás usando la definición de ingeniería, que es la que se empareja con G.

El módulo de cortante no es un número libre e independiente que consultas por separado. Para un material isótropo como el acero estructural está atado a las dos propiedades que ya conoces, el módulo elástico E y el coeficiente de Poisson ν, mediante G = E / 2(1+ν). El acero tiene E = 200 GPa y ν = 0,3, de modo que G = 200 / (2 · 1,3) = 76,9 GPa. Ese es el valor exacto que el motor de CalcSteel lleva para cada grado laminado en caliente (G = 7692 kN/cm²), y por eso rara vez necesitas tabular G por separado: sale de E y ν.

Esa relación aporta una intuición de diseño útil. Como 1 / 2(1+ν) resulta 0,385, el módulo de cortante es solo un 38,5% del módulo elástico. El acero es notablemente más blando en cortante que en tracción. Coloca las dos leyes de Hooke una junto a la otra a la misma tensión y la deformación cortante es E / G = 2,6 veces la deformación normal: una tensión dada compra 2,6 veces más distorsión angular que estiramiento. El detalle, que el ejemplo resuelto de más abajo hace concreto, es que el alma suele ver mucha menos tensión que el ala, así que la deformación cortante real termina siendo menor que la deformación por flexión real aun cuando el cortante es el modo más blando.

Una nota para quienes cuidan la norma: el Eurocódigo 3 adopta E = 210 GPa, lo que lleva G a 80,8 GPa (el valor de grado S del motor, 8077 kN/cm²). La misma física, un cambio del 5% en el número y un recordatorio de que G, como la deformación de fluencia que tratamos en un artículo compañero, hereda el E que declare tu norma.

Es hora de hacer γ concreta sobre un acero que realmente especificarías. Toma la misma viga que medimos para la deformación por flexión en deformación de fluencia: una IPE 300 simplemente apoyada que salva L = 6 m bajo una carga uniforme w = 20 kN/m, una viga de piso corriente. La modelamos en el motor FEM de CalcSteel, el mismo solver detrás de las calculadoras, y leemos el cortante en lugar de suponerlo.

El motor devuelve una fuerza cortante máxima V_max = 60,0 kN en cada apoyo, que coincide exactamente con el valor a mano wL/2 = 20·6/2 = 60,0 kN. El cortante es máximo en los apoyos y cae linealmente hasta cero en el centro del vano, la imagen especular del momento flector, que alcanza su máximo donde el cortante cruza el cero (la relación que desglosamos en diagramas de fuerza cortante y momento flector). En una sección I ese cortante lo soporta casi por completo el alma, de modo que el área de cortante es Aw = d·t_w = 30,0 · 0,71 = 21,3 cm², la altura total por el espesor del alma, la misma definición que usa AISC para las secciones I.

Ahora convierte esa fuerza cortante en una deformación cortante con la fórmula. La tensión cortante media del alma es τ = V / Aw. En unidades consistentes, τ = 60 kN / 21,3 cm² = 2,817 kN/cm² = 28,2 MPa. Aplica la fórmula de la deformación cortante: γ = τ / G = 28,2 / 76900 = 0,000366 rad, es decir 0,0366%, o 366 µrad, una distorsión angular de 0,021 grados.

La distribución no es uniforme. La tensión cortante a lo largo de una sección I es diminuta en las alas y se concentra en el alma, con su máximo en el eje neutro. Al correr τ = VQ/(I·t_w) en el eje neutro con las propiedades de sección del motor (I_x = 8097 cm⁴) se obtiene un máximo de 31,4 MPa, unas 1,12 veces la media, de modo que la deformación cortante de la fibra pico es γ_peak = 0,000409 rad (409 µrad). Esta es la razón física por la que las vigas de acero casi nunca fallan por cortante en el alma antes de fallar por flexión: la demanda de cortante se reparte por toda el alma, mientras que la flexión se acumula en la fibra extrema.

La comparación que deja clara la idea es con la flexión de esa misma viga. En el artículo de deformación de fluencia, esta IPE 300 exacta bajo esta carga exacta alcanzó una tensión de flexión en la fibra externa de 166,7 MPa y una deformación normal de ε = 0,000834. Así que en un mismo elemento, con una misma carga, la deformación por flexión del ala es 0,000834 mientras que la deformación cortante del alma es 0,000366: la deformación cortante es apenas el 44% de la deformación por flexión. El cortante es el modo más blando por unidad de tensión, pero el alma simplemente no está tan solicitada como el ala, así que se deforma menos. Esa sola frase es casi todo lo que necesitas saber sobre dónde gobierna el cortante y dónde no.

Puedes reproducir los números resueltos en la calculadora de abajo. Configura un vano simplemente apoyado con una carga uniforme y lee la fuerza cortante V que reporta en el apoyo. Entonces la deformación cortante está a dos pasos cortos: divide V por el área del alma Aw = d·t_w para obtener la tensión cortante media τ, y luego divide τ por 76 900 MPa para obtener γ. Cambia el vano o la carga y observa cómo V, y por lo tanto γ, se mueven con ello.

Prueba el experimento que hace encajar la teoría: mantén la carga fija y acorta el vano. La fuerza cortante apenas cambia, pero el momento flector cae con L², de modo que la viga pasa de estar gobernada por la flexión hacia estar gobernada por el cortante. Ese es el cruce que la próxima sección cuantifica. Es el mismo motor FEM que produjo los números de arriba, gratis y sin necesidad de iniciar sesión para las cuentas.

Una deformación solo tiene sentido frente a la deformación a la que el material se rinde. El acero no tiene una fluencia por cortante medida por separado; se deriva de la fluencia a tracción por el criterio de von Mises, τ_y = f_y / √3. Para el MR250 (f_y = 250 MPa) eso es 144,3 MPa, y las normas de diseño lo redondean a 0,6·f_y = 150 MPa. La deformación cortante en la fluencia es γ_y = τ_y / G = 144,3 / 76900 = 0,001876 rad (0,1876%).

Frente a eso, el alma resuelta a 28,2 MPa se ubica en apenas 28,2 / 144,3 = 19,5% de la fluencia por cortante. Compáralo con la flexión de esa misma viga, que alcanzó el 67% de su deformación de fluencia en el artículo de deformación de fluencia, y el mensaje es claro: esta viga está más de tres veces más lejos de fluir en cortante que en flexión. Sube la carga y el motor lo confirma: el alma alcanza la primera fluencia por cortante recién en w = 102 kN/m (V = 307 kN), mientras que el ala alcanza la primera fluencia por flexión con apenas w = 30 kN/m. La flexión gobierna, con holgura, exactamente como debe ser para una viga esbelta de L/d = 20. La deformación cortante es aquí el socio menor, y las verificaciones de cortante en el alma pasan con tanta facilidad en las vigas laminadas que muchos proyectistas se olvidan de correrlas, lo cual está bien hasta que el elemento se vuelve corto y peraltado.

La deformación cortante no solo amenaza la resistencia; también suma en silencio a cuánto flecha una viga. Un análisis clásico de Euler-Bernoulli, el que el motor usa para la flecha reportada, supone que las secciones planas se mantienen planas e ignora la distorsión por cortante. La realidad agrega una componente de cortante sobre la de flexión, porque cada rebanada de alma se distorsiona a través de su propia γ.

Para la viga resuelta la división es: la flecha por flexión es 2,084 cm (el L/288 que el motor reporta), y la flecha por cortante de toda esa γ del alma es 0,055 cm, alrededor de un 2,6% adicional. Pequeña, y despreciable con seguridad aquí. Pero la porción de cortante escala como 1/(L/d)², así que sube rápido a medida que la viga se vuelve más rechoncha: reduce el vano a la mitad y se cuadruplica. Para L/d = 8 ronda el 16%, y para una viga de transferencia peraltada o una viga de acople con L/d = 4 se acerca a la mitad de la flecha total. Por eso los elementos cortos y peraltados, las vigas armadas y similares se analizan con la teoría de vigas de Timoshenko, que carga la deformación cortante de forma explícita, mientras que las vigas de piso esbeltas de la estructuración cotidiana se salen con la suya ignorándola. Consulta límites de flecha para ver cómo se verifica luego la flecha total.

Más allá de las almas de las vigas, la deformación cortante es toda la historia en las partes de un pórtico que existen para transferir carga lateralmente.

• Pernos y soldaduras. Un perno en un empalme a solape está cargado casi puramente en cortante; el vástago se distorsiona a través de γ = τ / G hasta que se mantiene elástico o fluye en el plano de cortante. El diseño de grupos de pernos es un problema de deformación cortante disfrazado de verificación de capacidad.
• Zonas de panel de conexiones de momento. El alma de la columna entre las alas de la viga de una conexión de momento es un cuadrado de acero cargado casi en cortante puro. Su γ suele ser lo bastante grande como para importar, y el diseño sísmico deja que la zona de panel fluya deliberadamente en cortante para disipar energía, gastando deformación cortante como el diseño dúctil gasta la meseta plástica.
• Conectores de cortante. Los conectores que hacen que una viga de acero trabaje de forma compuesta con una losa de hormigón trabajan en cortante en la interfaz, deformándose a través de γ para arrastrar a los dos materiales a cooperar.
• Torsión. Retuerce una sección abierta o cerrada y las paredes soportan tensión cortante y deformación cortante; el ángulo de giro no es otra cosa que γ acumulada alrededor de la sección.

En cada uno de estos, la fórmula de la deformación cortante γ = τ / G es el puente entre la fuerza que puedes calcular y la distorsión que el detalle experimenta realmente.

Confundir la deformación cortante de ingeniería con la tensorial. La γ de diseño es el cambio total del ángulo; la tensorial ε_xy en la salida de EF es la mitad. Te equivocas por un factor de dos si las mezclas.

Usar E en lugar de G. La deformación cortante usa el módulo de cortante, γ = τ / G, no γ = τ / E. Como G es solo el 38,5% de E, ese error subestima γ por un factor de 2,6.

Promediar el cortante sobre toda el área. Para una sección I el cortante lo soporta el alma, no las alas, así que divide por Aw = d·t_w, no por el área bruta A. Usar A subestimaría gravemente la tensión del alma.

Leer γ como un estiramiento. γ es un ángulo, en radianes. No es un cambio de longitud y, por sí sola, no cambia la longitud del elemento.

¿La fórmula de la deformación cortante es la misma para todos los materiales? γ = τ / G vale para cualquier material lineal-elástico isótropo; solo cambia G. Para el acero G ≈ 76,9 GPa, para el aluminio unos 26 GPa, para el hormigón alrededor de 10 a 15 GPa.

¿Por qué G es siempre menor que E? Porque G = E / 2(1+ν) y ν es positivo (0,3 para el acero), el denominador supera a dos, de modo que G está siempre muy por debajo de E. Ningún material isótropo es más rígido en cortante que en tracción.

¿Cuál es una deformación cortante típica en una viga de acero? Unos pocos cientos de microradianes en servicio, como mostró el alma resuelta (366 µrad), que suben hacia los ~1900 µrad de la fluencia por cortante solo en almas y conexiones muy cargadas.

La deformación cortante es la mitad angular de la ley de Hooke y, una vez que tienes la fórmula, es tan rutinaria como su prima axial.

• La fórmula de la deformación cortante es γ = τ / G, un ángulo en radianes, el cambio de un ángulo recto dentro del material.
• G no es independiente: G = E / 2(1+ν) = 0,385·E para el acero, de modo que G ≈ 76,9 GPa y una tensión dada compra 2,6 veces la deformación cortante de una deformación normal.
• IPE 300 resuelta (L = 6 m, w = 20 kN/m): el motor da Vmax = 60,0 kN, de modo que el alma soporta τ = 28,2 MPa y γ = 0,000366 rad, el 44% de la deformación por flexión y el 20% de la fluencia por cortante.
• La deformación cortante también impulsa la flecha, el deslizamiento de pernos y la distorsión de la zona de panel; es el 2,6% de la flecha en esta viga esbelta, pero crece como 1/(L/d)² y gobierna en elementos cortos y peraltados y en las conexiones.
• La γ de ingeniería es el doble de la ε_xy tensorial, y siempre usa G, nunca E: las dos maneras más comunes de equivocarse con la deformación cortante.