Centro de cortante y torsión: por qué una sección abierta se retuerce sin que se lo pidas

Toma un perfil U de acero simple, disponlo como una viga y cuelga la carga con cuidado sobre el alma, justo por el centro de la espalda de la C, donde cualquier persona razonable la pondría. Ahora obsérvalo. El perfil no solo se flexiona. Se voltea a medida que flexiona, con las alas saliendo del plano y toda la sección girando a lo largo de su longitud. No aplicaste ninguna torsión. La carga era vertical y la apuntaste al alma. Y aun así la sección se está retorciendo.

Esto no es un defecto del acero ni un error en tu forma de cargar. Es el hecho más sorprendente de las secciones abiertas, y toma por sorpresa a los estudiantes, y a muchos ingenieros en ejercicio. Una carga transversal flexiona un miembro sin retorcerlo solo si la carga pasa por un punto particular de la sección, el centro de cortante. En las formas doblemente simétricas que conoces primero, el perfil I, el tubo cuadrado, el centro de cortante coincide con el centroide y nunca tienes que pensar en él. En un perfil U, un angular, un perfil T, un perfil Z, cualquier sección abierta, con una sola simetría o asimétrica, se desplaza. En un perfil U se desplaza limpiamente fuera de la sección, al aire detrás del alma.

Este artículo resuelve todo sobre un solo perfil U, y cada número que contiene lo produjo el motor de CalcSteel en producción y se verificó contra la teoría clásica de pared delgada con tres decimales. Encontramos dónde está el centro de cortante, convertimos la excentricidad en el par torsor que realmente es, y dejamos que la sección se retuerza para medirlo. Si leíste nuestra guía sobre diagramas de fuerza cortante y momento flector, esta es la tercera acción interna que esos diagramas dejan fuera, y la que decide si una sección abierta sobrevive al ser cargada fuera de su centro.

El centro de cortante es el punto de una sección transversal por el que debe pasar una carga transversal para causar flexión sin torsión. De forma equivalente, es el punto respecto al cual las tensiones cortantes internas tienen momento neto nulo. Aplica tu carga ahí y el miembro flexiona en flexión pura; aplícala en cualquier otro lugar y la carga es estáticamente equivalente a la misma carga trasladada al centro de cortante más un par torsor igual a la carga por la excentricidad. La torsión no es una acción extra que agregas. Es en lo que se convierte una carga transversal en el momento en que no pasa por el centro de cortante.

Dos hechos sobre su ubicación hacen casi todo el trabajo. Primero, el centro de cortante siempre se sitúa sobre cualquier eje de simetría, porque las tensiones cortantes son simétricas respecto a ese eje. Un perfil U cargado verticalmente es simétrico respecto a su eje horizontal, así que su centro de cortante está en algún punto de esa línea horizontal, a la izquierda o a la derecha del alma. Segundo, en una sección formada por placas delgadas que se encuentran todas en un punto, un angular o un perfil T, el flujo de cortante de cada placa pasa por ese punto de encuentro, así que el centro de cortante se ubica justo en la esquina, o en la unión del ala y el alma. En esas dos formas el centro de cortante es fácil de ver. En un perfil U hace falta un cálculo corto, y la respuesta es genuinamente contraintuitiva: no está entre las alas, está detrás del alma.

Sigue el cortante y la excentricidad aparece sola. Cuando un perfil U soporta un cortante vertical V, un flujo de cortante recorre sus paredes, y en las dos alas ese flujo es horizontal. Crece desde cero en la punta de cada ala hasta un máximo en el alma, e integrarlo da una fuerza horizontal en cada ala, F_f, una apuntando hacia adentro y otra hacia afuera. Esas dos fuerzas de las alas son iguales, opuestas y están separadas por la altura del alma, así que juntas forman un par de fuerzas. El alma en sí soporta el cortante vertical V. Para que la sección esté en equilibrio sin retorcerse, la carga aplicada V debe producir un momento respecto al alma que equilibre exactamente ese par de las alas, y esa condición la ubica a una distancia horizontal específica e del alma:

e = b_f² h_o² t / (4 I_x)

donde b_f es el ancho del ala hasta la línea media del alma, h_o la distancia entre las líneas medias de las alas, t el espesor e I_x el momento de inercia respecto al eje de flexión. El par de las alas se sitúa por completo del lado de las alas respecto al alma, así que la carga que lo equilibra tiene que situarse en el otro lado, detrás del alma, y por eso el centro de cortante queda fuera del material. Para nuestro perfil U, b_f = 72 mm, h_o = 194 mm, t = 6 mm e I_x = 1178 cm⁴, lo que da e = 24,84 mm detrás del alma. Las alas miden solo 75 mm de ancho, así que el centro de cortante está aproximadamente a un tercio del ancho de un ala más allá de la espalda de la sección, al aire libre.

Todo lo que viene después, el par torsor, el giro, la comparación con una sección cerrada, depende de las propiedades de la sección, así que primero las fijamos con el motor real. El miembro es un perfil U simple, alma de 200 mm, alas de 75 mm, 6 mm de espesor, sin labios, el ejemplo de torsión de los libros de texto. El motor de secciones de CalcSteel devuelve, y la teoría de pared delgada en forma cerrada confirma con tres decimales:

• Área A = 20,28 cm²
• Inercia respecto al eje fuerte I_x = 1178 cm⁴, respecto al eje débil I_y = 101,9 cm⁴
• Centroide 15,3 mm por delante del alma (hacia las alas)
• Constante de torsión de St. Venant J = 2,43 cm⁴
• Constante de alabeo C_w = 6777 cm⁶

Lee de nuevo esa constante de torsión. Para una sección abierta de pared delgada, J es simplemente J = t³ L_m / 3, el cubo del espesor por la longitud desarrollada de las paredes, dividido entre tres. Aquí eso es 0,6³ por 33,8 cm entre 3, o sea 2,43 cm⁴. Compárala con la inercia de flexión I_x de 1178: la sección es aproximadamente quinientas veces más rígida en flexión que en torsión. Ese único número, J = 2,43 cm⁴, es la razón por la que el resto de este artículo es una advertencia. Ten en cuenta también que J no es el momento polar de inercia I_x + I_y; usar el momento polar para la torsión de una sección abierta sobreestima la rigidez en órdenes de magnitud y es un error clásico y costoso.

Ahora cárgalo. Una carga de servicio transversal modesta, V = 5 kN, aplicada en el plano del alma, exactamente donde apernarías una viga o apoyarías una carga sobre la espalda del perfil U. La línea del alma está a una distancia e = 24,84 mm del centro de cortante. Por la definición de dos secciones atrás, esa carga es estáticamente idéntica a los mismos 5 kN aplicados en el centro de cortante, lo que causa flexión pura, más un par torsor respecto al centro de cortante:

T = V · e = 5 kN · 24,84 mm = 124 N·m

Ciento veinticuatro newton metro, a partir de una carga que creías puramente vertical, puramente central, puramente inofensiva. Y aquí está la trampa que convierte esto en un problema de diseño y no en una curiosidad: tu modelo de análisis no te lo dirá. Un elemento de barra o de pórtico unidimensional, del tipo con el que está construido todo solver estructural, lleva sus cargas sobre la línea de referencia del miembro y mantiene la flexión y la torsión en canales separados y desacoplados. No tiene idea de que el centro de cortante de la sección real está 24,84 mm hacia un lado. Aliméntalo con una carga vertical y devuelve un resultado de flexión limpio con torsión nula, con aspecto perfectamente sano. La excentricidad del centro de cortante es una propiedad de la sección transversal, y es tu responsabilidad, no la del solver, convertir la carga excéntrica en la fuerza más el par torsor que el miembro realmente siente. Haz bien esa conversión y el par torsor aparece; sáltatela y se esconde.

Para ver las dos mitades con claridad, corremos el perfil U como una viga en voladizo de 3 m en el motor de elementos finitos de CalcSteel, empotrada en un extremo, y cargamos la punta de dos maneras. El Caso A es la referencia: la carga de 5 kN aplicada a través del centro de cortante, el punto que produce flexión y nada más.

El motor devuelve exactamente lo que promete la definición. El giro en la punta es nulo. El miembro está en flexión pura, con una flecha de 19,1 mm en la punta bajo la carga de 5 kN, flexionando respecto a su eje fuerte con I_x = 1178 cm⁴, y cada fibra no soporta más que la tensión de flexión que esperarías de el diagrama de momento flector. Este es el estado en el que supusiste que estabas cuando dibujaste la carga sobre el alma. Es alcanzable, pero solo apuntando la carga a un punto 24,84 mm detrás del alma, lo que para una trayectoria de carga real suele significar agregar una ménsula, una placa de tapa o un segundo perfil U para soportarla. Carga un perfil U desnudo en cualquier otro lugar y el Caso A no es lo que obtienes.

El Caso B mantiene la misma carga de 5 kN y la misma viga en voladizo, pero aplica la carga a través del alma, donde realmente cae. Por la equivalencia, eso es la carga en el centro de cortante del Caso A más el par torsor T = 124 N·m que recorre toda la longitud del miembro. La flexión no cambia; el ingrediente nuevo es la torsión.

El motor de CalcSteel gira la punta 11,40 grados. El par torsor interno es constante en 124 N·m a lo largo de todo el voladizo, y la reacción en la base empotrada es un par torsor igual y opuesto de 124 N·m, que cierra el equilibrio. Cada uno de esos números coincide con el resultado de St. Venant en forma cerrada φ = T L / (G J) con tres decimales, usando la propia J = 2,43 cm⁴ del motor y el módulo de cortante del acero G = 76,9 GPa. Once grados. A partir de cinco kilonewtons, aplicados por el centro del alma, sobre un miembro que dimensionaste con holgura para flexión. Pon la flecha de eje fuerte de 19,1 mm junto a un vuelco de once grados y verás por qué un perfil U sin arriostrar cargado fuera de su centro de cortante no es una molestia de servicio sino un problema de estabilidad y tensión: la rotación lanza las alas de lado, la trayectoria de carga se sesga, y las tensiones de flexión para las que diseñaste ahora cabalgan sobre las de torsión.

La torsión no tiene que ver realmente con el centro de cortante. La excentricidad creó el par torsor, pero lo que convirtió un par torsor pequeño en once grados fue la debilidad torsional de la sección, y eso es una propiedad de ser abierta. Una sección abierta resiste la torsión solo mediante la torsión de St. Venant, las paredes delgadas cortando a lo largo de su longitud, y su constante J = t³ L_m / 3 escala con el cubo de un espesor pequeño, así que siempre es diminuta. Una sección cerrada resiste la torsión haciendo circular un flujo de cortante continuo alrededor de la celda, el mecanismo de Bredt, y su J escala con el cuadrado del área encerrada, que es enorme en comparación.

Ponle números. Toma una sección tubular cuadrada del mismo peso que nuestro perfil U, un tubo 90x6 con esencialmente los mismos 20 cm² de acero. El motor le da J = 356 cm⁴, frente a los 2,43 del perfil U. Eso es unas 146 veces más rígido en torsión con el mismo acero. Bajo el mismo par torsor de 124 N·m el tubo giraría no once grados sino menos de una décima de grado. Esta es toda la lección práctica en una sola relación: si un miembro tiene que soportar torsión, ciérralo. Cuando no puedes cerrarlo, las decisiones de diseño se vuelven familiares por exactamente esta razón: carga a través del centro de cortante con una ménsula, agrega una placa para encajonar la sección abierta, o arriostra contra la rotación a intervalos suficientemente cortos para que nunca acumule una torsión como esta. Es también por lo que el pandeo lateral-torsional, el fallo por desplazamiento lateral más torsión de una viga sin arriostrar, es una historia sobre secciones abiertas y casi nunca sobre tubos.

Una salvedad mantiene honestos los once grados. La fórmula φ = T L / (G J), y el motor de pórticos de CalcSteel que la reproduce, modelan la torsión pura de St. Venant, en la que cada sección transversal es libre de alabearse fuera del plano al retorcerse. Restringe ese alabeo, soldando el extremo, apernándolo a un apoyo rígido, cualquier cosa que impida que las alas deslicen a lo largo del eje del miembro, y se activa un segundo mecanismo, más rígido: la torsión de alabeo, donde las alas flexionan en su propio plano y resisten la torsión mediante su rigidez a flexión E C_w. Un miembro real suele tener algo de restricción al alabeo, así que su torsión real es menor que el valor de alabeo libre.

Cuánto menor lo fija una longitud, la constante de torsión-flexión a = √(E C_w / G J). Para nuestro perfil U eso es 0,85 m. La restricción al alabeo se extingue en aproximadamente esa distancia desde el extremo restringido, así que si el miembro es muchas veces más largo que a, domina St. Venant y el valor de alabeo libre queda cerca; si es solo unas pocas veces a, el alabeo recorta la torsión de forma notable. Nuestro voladizo mide 3 m, así que L / a = 3,5, y al resolver la solución de alabeo restringido la torsión en la punta resulta de unos 8,2 grados, el 72 por ciento de los 11,4 de alabeo libre. Sigue siendo una rotación grande e inaceptable, pero notablemente menor, y la diferencia es real. Este es el criterio detrás de la norma: la torsión de una sección abierta se trata como St. Venant más alabeo, y las normas de diseño te dan el término de alabeo de forma explícita. La AISC Design Guide 9, Torsional Analysis of Structural Steel Members, está construida por completo en torno a esta división; el Eurocódigo EN 1993-1-1 con EN 1993-1-3, y la ABNT NBR 8800 con NBR 14762 para secciones conformadas en frío, cargan la misma torsión en dos partes. El motor de pórticos te da la cota superior de St. Venant contra la cual dimensionar; el término de alabeo de la norma es cómo recuperas el resto cuando el extremo está genuinamente restringido.

La calculadora de abajo es el mismo motor de secciones usado para cada número de arriba. Construye el perfil U simple 200x75x6, o cualquier perfil U que quieras, y lee su área, sus inercias fuerte y débil, su módulo resistente y su centroide, dibujados a escala y contrastados en vivo contra la base de datos de perfiles de CalcSteel. Observa qué le pasa a la constante de torsión J cuando cambias el espesor: como J va con t³, quitar un milímetro de la pared destroza la rigidez torsional mucho más rápido de lo que afecta a la inercia de flexión. Compara un perfil U abierto con un tubo cerrado de tamaño similar y verás la misma diferencia de cien veces en J que encontramos arriba.

Es gratis y no necesita inicio de sesión. Una vez que tienes la sección delante, la excentricidad del centro de cortante y el par torsor T = V e están a un paso corto, y la torsión se sigue de T L / (G J) con la J que la herramienta acaba de darte.

No resolverás a mano cada miembro, pero en cualquier sección abierta que soporte una carga transversal, cuatro verificaciones en orden atrapan la torsión antes de que llegue al plano.

1. ¿Es la sección abierta y no doblemente simétrica? Los perfiles I y los tubos ponen el centro de cortante en el centroide, así que una carga sobre el centroide es segura. Los perfiles U, los angulares, los perfiles T, los perfiles Z y cualquier forma abierta con una sola simetría o asimétrica desplazan el centro de cortante, y un perfil U lo desplaza fuera de la sección. Si la forma está en esa lista, el centro de cortante no está donde crees, así que encuéntralo.

2. ¿La línea de carga no pasa por el centro de cortante? Mide la excentricidad e desde la línea de acción real hasta el centro de cortante, no hasta el centroide. Para nuestro perfil U, una carga en la línea del alma está a 24,84 mm. Excentricidad nula, sin torsión; cualquier excentricidad, sigue adelante.

3. Convierte la excentricidad en un par torsor y una torsión. T = V e es el par torsor, constante a lo largo de un miembro con carga simple, y φ = T L / (G J) es la torsión de alabeo libre, tu cota superior. Usa la J real de la sección J = t³ L_m / 3, nunca el momento polar. Si el número es alarmante, se supone que lo sea.

4. Agrega la verificación de alabeo, y la tensión de alabeo. Si los extremos están restringidos, calcula a = √(E C_w / G J) y reduce la torsión en consecuencia, siguiendo la AISC Design Guide 9 o el Eurocódigo EN 1993. La torsión de una sección abierta también agrega una tensión normal de alabeo en las alas que se suma a la de flexión, igual que una fuerza axial se suma a la flexión en la verificación combinada de axial y flexión. Inclúyela antes de dar la sección por adecuada.

Suponer que una carga a través del centroide no causa torsión. El error más común, y toda la razón de este artículo. La flexión se mide respecto al centroide; la torsión se mide respecto al centro de cortante. En una sección abierta son puntos distintos, y una carga sobre el centroide retuerce.

Buscar el centro de cortante del perfil U entre las alas. Está detrás del alma, fuera de la sección, en el lado opuesto a las alas. Nada visible marca el punto, y por eso exactamente se pasa por alto.

Usar el momento polar de inercia para la torsión. En una sección maciza o cerrada la constante de torsión está cerca del momento polar; en una sección abierta no lo está, es t³ L_m / 3, menor en órdenes de magnitud. Sustituye el momento polar y predecirás un miembro cien veces más rígido en torsión de lo que es.

Confiar en la torsión nula del modelo de pórtico. Un elemento de barra 1D mantiene la flexión y la torsión desacopladas y no sabe nada sobre la excentricidad del centro de cortante, así que devuelve torsión nula para una carga vertical sea cual sea la sección real. La torsión es tu responsabilidad de agregar, no la del solver de encontrar.

¿Dónde está el centro de cortante de un angular o un perfil T? En la esquina del angular, o en la unión del ala y el alma del perfil T, porque el flujo de cortante de cada placa pasa por ese punto. Eso también hace que ambas formas sean malas para resistir cualquier carga que no pase por la esquina.

¿La torsión depende del grado del acero? No. J, C_w y la torsión dependen de la geometría y de las constantes elásticas E y G, que son esencialmente las mismas para todos los aceros estructurales. Un grado más resistente no se retuerce menos; solo lo hace una sección más rígida o cerrada.

¿Son 11 grados realistas, o una exageración de libro de texto? Es la respuesta real de St. Venant para este voladizo desnudo, y el valor con alabeo restringido sigue siendo de unos 8. En la práctica nunca dejas que llegue ahí, precisamente porque las secciones abiertas se retuercen con esta facilidad. El número grande es la advertencia, no un error.

• Una carga transversal flexiona sin retorcer solo a través del centro de cortante. En una sección abierta no es el centroide; en un perfil U está fuera de la sección, detrás del alma, 24,84 mm afuera para nuestro 200x75x6 simple, confirmado en el motor de CalcSteel.
• Si no pasas por el centro de cortante por una distancia e, la carga se convierte en un par torsor T = V e. Nuestra carga de 5 kN en la línea del alma da 124 N·m, y un modelo de pórtico 1D no te avisará, porque lleva la carga sobre la línea de referencia y mantiene la torsión desacoplada.
• Las secciones abiertas son débiles en torsión: J = t³ L_m / 3 = 2,43 cm⁴ aquí, así que la viga en voladizo de 3 m gira 11,40 grados, calculado por el motor de elementos finitos y coincidiendo con T L / (G J) con tres decimales. Cargada a través del centro de cortante gira cero.
• Cierra la sección y el problema desaparece: un tubo cuadrado del mismo peso tiene J = 356 cm⁴, unas 146 veces más rígido. Si un miembro debe soportar torsión, encajónalo, tápalo o arrióstralo.
• La torsión de St. Venant es una cota superior. La restricción al alabeo la reduce, aquí a unos 8,2 grados a lo largo de una longitud de torsión-flexión a = 0,85 m, y ese término de alabeo es exactamente lo que AISC Design Guide 9 y el Eurocódigo EN 1993 agregan para dimensionar la torsión de una sección abierta.