Círculo de Mohr: estados tensionales del elemento al FEM

Empuja una viga de acero y en su interior ocurre algo que tu intuición discretamente malinterpreta. Una fibra cerca del ala, el metal alrededor de un agujero de perno, la garganta de una soldadura, una rebanada de alma que carga flexión y cortante a la vez — ninguna de ellas siente una única tensión de "arriba o abajo". Cada una se asienta en un estado tensional bidimensional completo que cambia según el ángulo del plano que elijas mirar. Gira el plano y la tensión normal sube mientras el cortante baja; gíralo más y el cortante se anula por completo. Al material no le importan tus ejes coordenados — falla en cualquiera que sea el plano que más esté trabajando, y ese plano casi nunca es el que dibujaste primero.

El círculo de Mohr es la imagen de 140 años que le permite a un ingeniero ver ese estado y leer el peor plano directamente en él. Grafica la tensión normal en un eje y el cortante en el otro, y todo plano que pasa por un punto colapsa sobre un único círculo. Los dos lugares donde cruza el eje horizontal son las tensiones principales σ₁ y σ₂ — los planos con cortante cero — y el radio es el cortante máximo que el punto jamás sentirá. Un solo dibujo responde toda la pregunta de "qué dirección es peligrosa".

Este texto pretende ser el recorrido definitivo, y va hasta el final: desde la definición σ_x/σ_y/τ_xy de un elemento tensional, pasando por un círculo dibujado a mano en cinco pasos, hasta la fibra de un miembro real en FEM y la verificación normativa que decide si pasa. Cada número resuelto aquí fue producido por el motor de elementos finitos de CalcSteel — el mismo solver que viene en la app — y contrastado con álgebra de forma cerrada a tres decimales. Más abajo en la página hay un círculo de Mohr interactivo y arrastrable para que reproduzcas cada resultado por ti mismo.

Lo escribimos para tres lectores a la vez. Si eres estudiante, tómalo como el capítulo de transformación de tensiones que tu curso atraviesa a la carrera en una sola clase. Si eres ingeniero en ejercicio, salta al traspaso desde el FEM y al edificio de acero real, donde el círculo deja de ser un juguete de libro y empieza a pintar los colores de verificación sobre un modelo 3-D. Y si simplemente sientes curiosidad por cómo el software sabe que un miembro es seguro, sigue la historia — termina dentro de un pórtico en funcionamiento.

La calculadora del círculo de Mohr de CalcSteel es gratuita, corre en tu navegador sin inicio de sesión para el cálculo, y dibuja cada círculo de este artículo a medida que lo lees.

El círculo de Mohr es una forma gráfica de las ecuaciones de transformación de tensiones en dos dimensiones: grafica la tensión normal σ en el eje horizontal y la tensión cortante τ en el eje vertical, y todo plano que pasa por un punto se corresponde con exactamente un punto de un único círculo. Donde el círculo cruza el eje σ — donde el cortante es cero — están las tensiones principales, y su radio es el cortante máximo en el plano.

Esa es toda la idea en un párrafo. El estado tensional en un punto no es un número; son tres — σ_x, σ_y y τ_xy — y esos tres determinan por completo lo que sucede en todo otro plano que pasa por ese punto. Las ecuaciones de transformación te dan la tensión normal y cortante sobre un plano rotado un ángulo θ cualquiera. La intuición de Mohr fue que si alimentas esas ecuaciones en un gráfico σ contra τ, el lugar geométrico de todos los planos posibles no es una curva enredada — es un círculo perfecto, centrado sobre el eje σ en el promedio de σ_x y σ_y.

Una vez que tienes el círculo, tienes las respuestas por inspección. Los dos cruces con el eje horizontal son las tensiones principales σ₁ (la mayor tensión normal en el punto) y σ₂ (la menor), y en esos dos planos el cortante es exactamente cero. La cima y el fondo del círculo dan el cortante máximo en el plano τ_max, igual al radio. El centro nunca se mueve al rotar, porque la suma σ_x + σ_y es un invariante — un hecho en el que nos apoyaremos con fuerza como autoverificación.

Lo más importante que debes llevarte a la próxima sección es la relación de ángulos. Rotar físicamente el plano de inspección un ángulo θ te lleva el doble de lejos — un total de 2θ — alrededor del círculo de Mohr. Rota el plano real 45° y recorres 90° alrededor del círculo, que es exactamente por qué el plano de cortante máximo queda a 45° del plano de tensión normal máxima. Domina esa duplicación y el resto de la imagen se lee sola.

El círculo de Mohr parece atemporal, pero casi toda idea dentro de él tiene una fecha y un nombre. Tomó buena parte de un siglo pasar de la primera definición rigurosa de tensión sobre un plano al elegante círculo que los ingenieros hoy trazan de memoria — y solo unas décadas más antes de que un solver pudiera construir ese círculo en cada fibra de una estructura automáticamente.

• 1822 — Augustin-Louis Cauchy pone la tensión sobre una base matemática firme, introduciendo el tensor de tensiones y la tracción (fuerza por área) que actúa sobre un plano arbitrario que pasa por un punto. Todo lo que sigue es una forma de visualizar el tensor de Cauchy.
• 1858 — William Rankine nombra y formaliza la tensión principal — los planos en que el cortante se anula y la tensión normal es extrema — dándole su significado a los dos cruces con el eje σ.
• 1866 — Karl Culmann, trabajando en estática gráfica, dibuja el primer círculo de tensiones: una construcción geométrica para transformar tensiones, y el ancestro directo del diagrama que usamos hoy.
• 1882 — Otto Mohr generaliza la construcción de Culmann en el círculo completo que hoy lleva su nombre, mostrando cómo leer todo plano, ambas tensiones principales y el cortante máximo de un solo dibujo — y argumentando que es la tensión cortante la que gobierna la falla de los materiales dúctiles.
• ~1900 — August Föppl y otros popularizan el método en los grandes libros de ingeniería alemanes, y se vuelve materia estándar en la enseñanza de resistencia de materiales en todo el mundo.
• Décadas de 1950-60 — el análisis estructural matricial y el método de elementos finitos convierten el análisis de tensiones en álgebra lineal que una computadora puede ejecutar, evaluando el tensor de Cauchy en cada punto de una malla sin una sola construcción a mano.

Hoy todo ese linaje corre al instante de presionar un botón. Un solver moderno calcula el tensor de tensiones en cada fibra y construye el círculo de Mohr correspondiente en milisegundos — la misma construcción que Mohr dibujó a mano en 1882, reproducida miles de veces antes de que termines de leer esta oración. Cuando la calculadora de CalcSteel dibuja un círculo, está comprimiendo un siglo de mecánica en unos pocos milisegundos, y es gratis.

Todo empieza con un pequeño cuadrado recortado del cuerpo cargado — el elemento tensional. Imagina acercarte a un solo punto hasta que el material a su alrededor parezca un cuadradito (en tres dimensiones, un cubo) alineado con tus ejes x e y. Sobre sus dos caras verticales actúa la tensión normal σ_x; sobre sus dos caras horizontales, σ_y; y a lo largo de sus bordes, la tensión cortante τ_xy. Esos tres números son el estado tensional 2-D en ese punto. Elige cualquier otra orientación y el mismo estado físico aparece como valores distintos de σ y τ — que es exactamente lo que el círculo organiza.

Antes de dibujar nada, fija una convención de signos y no la sueltes nunca. A lo largo de esta guía:

• La tracción es positiva, la compresión es negativa para la tensión normal σ. Una fibra que se tira hacia afuera se lee a la derecha en el círculo; una fibra que se aplasta se lee a la izquierda.
• El cortante se grafica de modo que una rotación física antihoraria del plano se vuelve un recorrido antihorario en el círculo. Concretamente, graficamos la cara X en el punto (σ_x, −τ_xy) y la cara Y en (σ_y, +τ_xy). Esos dos puntos siempre son diametralmente opuestos — son los extremos de un diámetro — y la recta que los une pasa por el centro.

Qué convención elijas importa mucho menos que usarla de forma consistente del primer punto al último. Elige esta, consérvala, y el ángulo que leas en el círculo siempre girará en el mismo sentido que el plano que estás rotando en el elemento real.

El círculo es solo una imagen de las ecuaciones de transformación de tensiones. Para un plano rotado un ángulo θ respecto del eje x, las tensiones normal y cortante son:

• σ_x'(θ) = (σ_x + σ_y)/2 + (σ_x − σ_y)/2 · cos 2θ + τ_xy · sin 2θ
• σ_y'(θ) = (σ_x + σ_y)/2 − (σ_x − σ_y)/2 · cos 2θ − τ_xy · sin 2θ
• τ_x'y'(θ) = −(σ_x − σ_y)/2 · sin 2θ + τ_xy · cos 2θ

Fíjate en el 2θ por todas partes: esta es el álgebra detrás de la duplicación "ángulo real θ, ángulo del círculo 2θ" de la sección anterior. La primera ecuación es la coordenada horizontal de un punto que se mueve alrededor de un círculo de centro (σ_x + σ_y)/2; la tercera es su coordenada vertical. Eso es todo lo que el círculo de Mohr es — esas dos ecuaciones, dibujadas.

Aquí está la receta canónica de cinco pasos para construir el círculo a partir de cualquier (σ_x, σ_y, τ_xy):

1. Halla el centro. Se ubica sobre el eje σ en el promedio σ_prom = (σ_x + σ_y)/2 — sin cortante, porque el centro es donde las dos contribuciones de tensión normal se equilibran.
2. Halla el radio. R = √[ ((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy² ]. Este es el cortante máximo en el plano que el punto puede sentir.
3. Grafica los dos puntos de cara. X = (σ_x, −τ_xy) e Y = (σ_y, +τ_xy); la recta que los une es un diámetro y confirma tu centro y radio.
4. Lee las tensiones principales. σ₁ = σ_prom + R y σ₂ = σ_prom − R, los dos cruces con el eje σ, donde τ = 0. El ángulo del plano principal es θ_p = ½·atan2(2τ_xy, σ_x − σ_y), medido hacia σ₁.
5. Lee el cortante máximo. τ_max = R, en la cima y el fondo del círculo, sobre un plano a 45° del plano principal (θ_s = θ_p − 45°).

Todo ejemplo resuelto que sigue usa exactamente estos cinco pasos — y también lo hace la calculadora, solo que más rápido. Si quieres ver de dónde vienen las σ y τ que alimentan el paso 1 en un miembro real, las guías complementarias de axial y flexión combinados y momento flector rastrean los esfuerzos internos hasta la sección.

La teoría se fija en el momento en que dibujas uno. Tomemos el mismo estado general de tensión plana que encontrarás en la calculadora en vivo una sección más adelante y construyamos su círculo de Mohr a mano, paso a paso. Los datos son el caso canónico: σ_x = 80 MPa (tracción), σ_y = 20 MPa (tracción) y τ_xy = 30 MPa. Es exactamente el preajuste por defecto de la calculadora, así que cuando llegues al recuadro incrustado podrás reproducir cada número de abajo sin escribir nada.

Paso 1 — Grafica los dos puntos de cara

Usando la convención de graficado de la sección anterior, la cara X va en (σ_x, −τ_xy) = (80, −30) y la cara Y en (σ_y, +τ_xy) = (20, +30). Esos dos puntos son diametralmente opuestos sobre el círculo — traza la recta entre ellos y ya tienes el diámetro.

Paso 2 — Halla el centro

El centro siempre se ubica sobre el eje σ en la tensión normal promedio:

• σ_prom = (σ_x + σ_y) / 2 = (80 + 20) / 2 = 50 MPa.

Así que el centro es C = (50, 0). Nota que la coordenada de cortante del centro siempre es cero — eso es lo que hace que el eje principal sea el eje σ.

Paso 3 — Halla el radio

El radio es la distancia del centro a cualquiera de los puntos de cara. Horizontalmente esa distancia es (σ_x − σ_y)/2 = 30 MPa; verticalmente es τ_xy = 30 MPa. Entonces:

• R = √[((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²] = √(30² + 30²) = √1800 = 42,43 MPa.

Paso 4 — Lee las tensiones principales

Las tensiones principales están donde el círculo cruza el eje σ — el centro más o menos el radio:

• σ₁ = σ_prom + R = 50 + 42,43 = 92,43 MPa,
• σ₂ = σ_prom − R = 50 − 42,43 = 7,57 MPa.

El cortante máximo en el plano es simplemente el radio, τ_max = R = 42,43 MPa, ubicado en la cima y el fondo del círculo.

Paso 5 — Halla el ángulo al plano principal

El ángulo desde la cara X hasta σ₁ — medido sobre el círculo, así que es el doble de la rotación física — sale directo de la geometría:

• θ_p = ½ · atan2(2τ_xy, σ_x − σ_y) = ½ · atan2(60, 60) = ½ · 45° = 22,5°.

Así que rotar el elemento físico 22,5° te lleva al plano principal donde el cortante se anula y σ₁ = 92,43 MPa actúa sola. Una verificación rápida que nunca falla: σ₁ + σ₂ = 92,43 + 7,57 = 100 MPa = σ_x + σ_y — la suma de tensiones normales es invariante en todo ángulo de rotación, así que si no cuadra, algún número está mal.

Cinco pasos, un círculo, y toda cantidad que una verificación de diseño necesita ahora es legible del dibujo. En la próxima sección recorreremos el círculo mismo y veremos exactamente dónde vive cada uno de estos valores — y en la sección siguiente podrás reconstruir toda esta imagen en vivo en la calculadora del círculo de Mohr de CalcSteel.

Una vez dibujado el círculo, se vuelve un tablero — toda cantidad que una verificación de tensiones necesita tiene un domicilio fijo en él. Ten presente el estado resuelto (σ_x = 80, σ_y = 20, τ_xy = 30 MPa, centro 50, radio 42,43) y recorramos la geometría.

Los dos cruces con el eje σ son las tensiones principales

Donde el círculo corta el eje horizontal, la coordenada de cortante es cero — sin cortante en ese plano — así que esos cruces son por definición las tensiones principales. El cruce de la derecha es σ₁ = 92,43 MPa, el de la izquierda es σ₂ = 7,57 MPa. Físicamente, σ₁ es la mayor tracción que siente cualquier plano que pasa por el punto, y actúa sobre una cara rotada θ_p = 22,5° respecto de la cara X original.

La cima y el fondo son el cortante máximo en el plano

Los puntos más alto y más bajo del círculo se ubican un radio completo por encima y por debajo del eje, así que el cortante máximo en el plano es igual al radio, τ_max = R = 42,43 MPa. Como un diámetro subtiende 180° en el círculo y 180° en el círculo son 90° en el elemento real, la cima del círculo está a 90° de arco del cruce principal — un físico 45°. Esa es la regla que vale grabar a fuego: el plano de cortante máximo siempre está a 45° del plano principal, aquí en θ_s = θ_p − 45° = −22,5°. En ese plano el cortante está en su pico y la tensión normal es exactamente σ_prom = 50 MPa.

El invariante que verifica tu trabajo

Gira el elemento a cualquier ángulo y las dos lecturas de tensión normal siguen sumando el mismo número: σ_x' + σ_y' = σ_x + σ_y = σ₁ + σ₂ = 100 MPa. Geométricamente es obvio — los dos puntos permanecen diametralmente opuestos, así que sus coordenadas σ siempre promedian al centro. Es la autoverificación más rápida que existe.

El círculo fuera del plano que no debes olvidar

La tensión plana no es verdaderamente bidimensional — la tercera tensión principal es σ₃ = 0, fuera del plano. Dibuja el círculo entre σ₁ = 92,43 y ese σ₃ = 0 y su radio es mayor que el del plano. El cortante máximo absoluto es por tanto τ_abs,max = σ₁/2 = 46,21 MPa, no el valor en el plano de 42,43 MPa. Este número mayor — no el τ_max en el plano — es lo que una verificación de Tresca usa en realidad, y es lo más común que los ingenieros pasan por alto cuando tratan un problema de tensión plana como si el tercer círculo no existiera.

Así, de un solo dibujo lees la peor tracción (σ₁), la peor compresión (σ₂), el peor cortante en el plano (R), el peor cortante de todos (τ_abs,max), y los ángulos a cada uno. Ese es todo el sentido del círculo — y a continuación lo harás tú mismo con una versión arrastrable.

Has construido el círculo a mano y recorrido cada hito en él. La forma más rápida de fijarlo es tomarlo y moverlo — así que aquí está, en vivo e incrustado justo en esta página.

Carga el estado resuelto — σ_x = 80, σ_y = 20, τ_xy = 30 MPa (es el valor por defecto, así que puede que ya esté ahí) — y confirma los números que acabas de deducir: centro 50, radio 42,43, σ₁ = 92,43, σ₂ = 7,57, θ_p = 22,5°. Luego empieza a arrastrar. Sube τ_xy y observa el círculo hincharse, σ₁ y σ₂ separarse, y θ_p rotar hacia 45°; bájalo a cero y el círculo colapsa sobre el eje hasta que σ_x y σ_y son las tensiones principales. Rotar el plano recorre el doble de lejos alrededor del círculo — puedes ver la relación 2θ ocurrir en tiempo real.

Es la herramienta real, no un adelanto: ejecuciones ilimitadas, completamente gratis, y sin inicio de sesión para el cálculo. Cuando estés listo para ir más allá puedes cargar una sección real de FEM ya resuelta, pasar de tensión plana a un estado triaxial 3-D completo con los tres círculos, y compartir un enlace permanente al estado exacto que estás mirando. Si se abre en su propia pestaña, aquí está el enlace directo a la calculadora del círculo de Mohr de CalcSteel.

Juega con el estado de libro aquí, porque en las secciones que siguen las tensiones dejan de venir de datos prolijos y empiezan a venir de un miembro real — una viga-columna y luego un edificio de acero completo — donde el motor de elementos finitos le entrega al círculo su σ y τ automáticamente. Si primero quieres ver de dónde vienen esos esfuerzos internos, la guía complementaria sobre diagramas de fuerza cortante y momento flector es el calentamiento perfecto.

Una vez que has dibujado unos cuantos círculos a mano, un puñado de estados tensionales empieza a verse como viejos amigos. Sus círculos tienen formas tan distintivas que puedes leer la respuesta antes de terminar la aritmética. Memoriza estos tres y verificarás casi cualquier resultado real en segundos.

Tracción (o compresión) uniaxial

Tira de una barra derecho a lo largo de su eje y solo sobrevive una tensión normal: σ_x = σ, σ_y = 0, τ_xy = 0. El círculo está centrado en σ/2 con radio σ/2, así que pasa limpiamente por el origen. Los dos cruces con el eje σ son las tensiones principales: σ₁ = σ y σ₂ = 0. La cima del círculo se ubica en τ_max = σ/2, sobre un plano a 45° del eje de la barra — que es exactamente por qué una probeta de tracción dúctil se estrangula y corta a lo largo de planos de deslizamiento a 45°, y por qué una tiza frágil en tracción se rompe a escuadra. Esto no es solo un juguete de libro: la fibra extrema de flexión de un miembro real es un estado uniaxial, y la volverás a encontrar como un resultado genuino de FEM en la próxima sección.

Cortante puro

Ahora carga un grupo de pernos o el alma de una viga de modo que solo haya cortante: σ_x = σ_y = 0, τ_xy = τ. El centro cae en el origen y el radio es τ, así que el círculo está centrado en cero y es simétrico. Las tensiones principales salen iguales y opuestas: σ₁ = +τ y σ₂ = −τ. En otras palabras, un estado de cortante puro es también un estado de tracción y compresión iguales rotado 45°. Ese 45° es la razón por la que un eje en torsión hecho de material frágil se fractura a lo largo de una superficie helicoidal a 45° en lugar de recto de lado a lado — la diagonal en tracción, no el cortante en sí, es lo que lo desgarra.

Estados biaxiales iguales e hidrostáticos

Por último, carga un punto por igual en ambas direcciones: σ_x = σ_y = σ, τ_xy = 0. El radio R = √[((σ − σ)/2)² + 0²] es exactamente cero, así que el círculo colapsa a un solo punto sobre el eje σ. Un círculo-punto trae un mensaje contundente: no hay tensión cortante en ningún plano en absoluto, y toda dirección es una dirección principal. La pared de un recipiente a presión esférico delgado se aproxima a este estado biaxial igual; un estado verdaderamente hidrostático (igual en las tres direcciones) es lo que siente un fluido, y produce distorsión cero — el hecho que sostiene todo el criterio de von Mises al que llegamos pronto.

Estas tres siluetas — un círculo por el origen, un círculo a caballo del origen, y un círculo encogido a un punto — son el vocabulario de todo lo que sigue. Carga cualquiera de ellas en la calculadora gratuita del círculo de Mohr y observa la forma encajar en su lugar antes de confiar en un solo número.

Los círculos de libro empiezan con σ_x, σ_y y τ_xy ya entregados. El diseño real nunca lo hace. Un solver de elementos finitos te da esfuerzos internos en una sección — una fuerza axial N, un cortante V y un momento flector M — y depende de ti (o del motor) convertirlos en las tensiones que construyen el círculo. El puente es mecánica de materiales elemental:

• Tensión normal por axial más flexión: σ = N/A ± M/S_x, máxima en la fibra extrema más alejada del eje neutro.
• Tensión cortante por la fuerza transversal: τ ≈ V/A_w, máxima en el eje neutro donde la tensión de flexión se anula.

El giro de signos es todo el punto: las dos tensiones alcanzan su pico en lugares distintos. Así que una única sección transversal no tiene un círculo de Mohr — tiene un círculo distinto en cada fibra, y las dos que importan quedan en extremos opuestos del alma.

El miembro: una viga-columna IPE 330

Toma un voladizo de 3 m en IPE 330 (área A = 62,6 cm², módulo elástico S_x = 685,9 cm³, área de cortante del alma A_w = 24,75 cm²), grado S355. Carga el extremo libre con un axial F_x = −150 kN (compresión) y un transversal F_y = 20 kN. Al correrlo por el motor FEM de CalcSteel de producción (el mismo run_analysis que impulsa el editor 3-D), la base empotrada devuelve N = −150 kN, V = 20 kN, M = 60 kN·m. Ahora inspecciona dos fibras de esa única sección.

Fibra 1 — la fibra extrema (gobierna la flexión, τ = 0)

En la fibra más externa la tensión de flexión es máxima y el cortante transversal es cero. Apilando axial y flexión: σ_x = N/A − M/S_x = (−150/62,6 − 6000/685,9) × 10 = −111,4 MPa, con τ = 0. Ese es un estado uniaxial, así que el círculo es el caso especial de la sección anterior — pasa por el origen: σ₁ = 0, σ₂ = −111,4 MPa, τ_max = 55,7 MPa, ángulo principal θ_p = 90°, y von Mises σ_vM = 111,4 MPa (aprovechamiento η = 0,35 según NBR 8800). Compresión pura, círculo degenerado, un número que verificar.

Fibra 2 — el eje neutro (un estado 2-D genuino)

Deslízate al eje neutro y la historia se invierte: la tensión de flexión es cero allí, pero la tensión axial sigue actuando y el cortante transversal está ahora en su máximo. Así σ_x = N/A = −23,96 MPa y τ_xy = V/A_w = 8,08 MPa actúan juntas — un estado combinado genuino. El círculo está centrado en −11,98 MPa con radio 14,45 MPa, dando σ₁ = +2,47 MPa, σ₂ = −26,43 MPa, τ_max = 14,45 MPa y θ_p = 73,0°. Fíjate en algo que una mirada uniaxial habría pasado por alto por completo: incluso bajo compresión neta esta fibra carga una pequeña tracción, σ₁ = +2,47 MPa, porque el cortante inclina las direcciones principales.

La conclusión: la misma sección IPE 330 produjo dos círculos de Mohr completamente distintos — uno degenerado uniaxial en la fibra extrema y uno combinado real en el eje neutro. Una verificación correcta mira ambas, porque no puedes saber de antemano qué fibra gobierna el miembro. Esta es exactamente la interacción combinada de axial más flexión desglosada en axial y flexión combinados, y fluye directamente de los esfuerzos internos que lees en un diagrama de cortante y momento flector. Carga una sección resuelta en la calculadora del círculo de Mohr y podrás alternar entre fibras tú mismo.

El círculo de Mohr te dice las peores tensiones y los planos en que actúan — pero por sí solo no te dice si el acero fluye. Para eso alimentas sus tensiones principales en un criterio de fluencia, y los dos que importan para el acero estructural se leen directamente del círculo.

Tresca — el criterio de cortante máximo

Tresca es el honesto, el conservador: la fluencia comienza cuando la tensión cortante máxima alcanza la fluencia por cortante del material. En el círculo ese cortante máximo es simplemente el radio del mayor de los tres círculos principales, así que el criterio es τ_max = (σ₁ − σ₃)/2, es decir, la medida de falla es σ₁ − σ₃. Es geométricamente literal — estás leyendo la cima del círculo más grande — que es exactamente por qué yerra del lado seguro.

von Mises — el criterio de energía de distorsión

El diseño en acero casi siempre usa von Mises, porque coincide más de cerca con los datos de ensayo de metales dúctiles. Para un estado de tensión plana se reduce a una fórmula limpia en las dos tensiones principales en el plano:

σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)

Captura la idea de que la distorsión, no el cambio de volumen puro, impulsa la fluencia — que es por qué un círculo-punto hidrostático (todas las tensiones principales iguales) tiene von Mises cero sin importar cuán grande sea la presión. Una advertencia que hace tropezar a la gente: von Mises es un criterio tridimensional. En tensión plana genuina la tercera tensión principal es σ₃ = 0, y aun así pertenece a la imagen — es el círculo fuera del plano σ₃ = 0 el que fija el verdadero τ_abs,max, y descartarlo en silencio es uno de los errores más comunes con el círculo de Mohr.

La verificación normativa

El diseño convierte esa tensión en un único índice de aprovechamiento η, comparando la demanda contra la resistencia de fluencia mayorada f_yd:

• NBR 8800: f_yd = f_y/γ_a1, con γ_a1 = 1,10.
• AISC 360 (LRFD): f_yd = φ·f_y, con φ = 0,90.

Pasa el estado canónico resuelto por ella — σ_x = 80, σ_y = 20, τ_xy = 30 MPa, dando σ₁ = 92,43 MPa y σ₂ = 7,57 MPa. Su tensión de von Mises es σ_vM = √(92,43² − 92,43·7,57 + 7,57²) = 88,88 MPa. Para el grado S355, la verificación NBR 8800 es η = 88,88 / (355/1,10) = 88,88 / 322,7 = 0,28. El miembro está al 28% de la fluencia — cómodamente seguro. Fíjate cuán separados están los números: σ₁ = 92,43 MPa pero σ_vM = 88,88 MPa. La tensión principal no es von Mises — el criterio mezcla σ₁ y σ₂, y solo el valor de von Mises pertenece a la verificación normativa.

Este es el número exacto que el motor de CalcSteel calcula en cada fibra, y en la próxima sección verás ese mismo valor de von Mises pintar los colores de verificación sobre un edificio de acero real en 3-D. Puedes reproducir los 88,88 MPa tú mismo en la calculadora gratuita del círculo de Mohr — informa tanto σ₁/σ₂ como el aprovechamiento de von Mises lado a lado.

La viga-columna de la última sección era un miembro. Ahora escala a un edificio — porque toda la razón de que un solver construya un círculo de Mohr en cada fibra es para poder decirte qué fibra, en qué miembro, de todo un pórtico, está más cerca de fluir. Ese es el número que decide si el acero es seguro.

Toma un pórtico real, IPE 330 en todo: un vano de 12 m, columnas de 6 m hasta el alero, cargando gravedad w = 12 kN/m sobre el dintel más un empuje de viento lateral de 15 kN, sobre bases empotradas. Este es un pórtico traslacional estáticamente indeterminado — los nudos rígidos y los pies empotrados dan más restricciones de las que el equilibrio por sí solo puede resolver, así que no hay fórmula cerrada de libro. Solo una solución de elementos finitos obtiene la respuesta, y el motor de CalcSteel devuelve reacciones de base limpias como primera verificación: vertical ΣF_y = 144 kN (exactamente w·L = 12 × 12) y horizontal ΣF_x = −15 kN (equilibrando el viento con precisión).

La fibra gobernante

El motor escanea cada miembro y encuentra la fibra más cargada en el centro del vano del dintel: un axial N = −15,3 kN combinado con un momento flector M = 184,7 kN·m. Pasado por σ = N/A − M/S_x en el IPE 330 (A = 62,6 cm², S_x = 685,9 cm³), esa fibra extrema alcanza:

• σ_x = −271,7 MPa — una compresión casi uniaxial, así que el círculo de Mohr pasa esencialmente por el origen.
• von Mises σ_vM = 271,7 MPa — para tensión uniaxial el valor de von Mises iguala la magnitud de la tensión misma.
• Aprovechamiento η = 271,7 / (355 / 1,10) = 0,842 según NBR 8800 (γ_a1 = 1,10), o η = 271,7 / (0,90 × 355) = 0,850 según AISC 360 (φ = 0,90).

El miembro pasa, pero apenas — a cerca del 84% de aprovechamiento es una sección ámbar, bien trabajada, exactamente el tipo que quieres en un diseño eficiente: sin acero desperdiciado, con margen real todavía en mano.

Por qué importa la acción de pórtico

Aquí está la historia que cuenta el círculo. Si ese mismo dintel de 12 m fuera una viga simplemente apoyada bajo w = 12 kN/m, su momento en el centro del vano sería el de libro wL²/8 = 12 × 12² / 8 = 216 kN·m. Doblado en un pórtico rígido, los nudos rígidos sacan momento del vano y lo reparten por las esquinas, así que el momento gobernante del dintel cae a 184,7 kN·m. Esa redistribución — la razón por la que los pórticos son tan eficientes, y la razón por la que necesitan un solver — está desglosada fibra por fibra en nuestro pilar de cortante y momento flector.

La conclusión que ata toda esta guía: el motor convierte esa única fibra gobernante en un círculo de Mohr, lee sus tensiones principales, calcula σ_vM = 271,7 MPa, y ese valor exacto de von Mises es lo que pinta los colores de verificación sobre el modelo 3-D en el editor de CalcSteel — verde para holgado, ámbar para bien aprovechado, rojo para sobretensionado. El círculo que aprendiste a dibujar a mano es el mismo que colorea cada barra de un edificio de acero real.

La construcción es limpia, pero el mismo puñado de deslices atrapa por igual a estudiantes e ingenieros en ejercicio. Repasa esta lista antes de confiar en cualquier círculo que dibujes — o que leas de un solver.

• Confundir el ángulo: es 2θ en el círculo, no θ. Rotar el plano físico un ángulo θ recorre el doble de ese ángulo alrededor del círculo. Una rotación de 45° del elemento es un viaje de 180° por el diagrama — que es exactamente por qué el plano de cortante máximo y el plano principal quedan a 45° en el espacio pero a 90° en el círculo.
• Errar el signo de graficado del cortante. Para que una rotación física antihoraria se lea como un recorrido antihorario en el círculo, grafica la cara X en (σ_x, −τ_xy) y la cara Y en (σ_y, +τ_xy). Invierte ese signo y tus ángulos salen con la orientación de giro equivocada aunque σ₁ y σ₂ igual se vean correctos.
• Poner τ_max en el plano principal. El cortante máximo en el plano actúa sobre un plano a 45° del plano principal (θ_s = θ_p − 45°), en la cima y el fondo del círculo — nunca donde viven σ₁ y σ₂. En los planos principales el cortante es exactamente cero.
• Olvidar el círculo fuera del plano σ₃ = 0. Para un estado de tensión plana el verdadero cortante máximo absoluto muchas veces lo fija el tercer círculo que pasa por σ₃ = 0, no el del plano. En nuestro estado resuelto el τ_max en el plano es 42,43 MPa, pero τ_abs,max = σ₁/2 = 46,21 MPa — y ese valor mayor es lo que una verificación de Tresca usa en realidad.
• Tratar la tensión principal como el número de falla. σ₁ es la mayor tensión normal, pero el acero dúctil fluye por energía de distorsión: la verificación corre sobre von Mises σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), no sobre σ₁ sola. En nuestro ejemplo σ₁ = 92,43 MPa pero σ_vM = 88,88 MPa — son simplemente cantidades distintas.
• Esperar cortante en algún lugar de un círculo-punto. Un estado biaxial igual (hidrostático en el plano) colapsa el círculo a un solo punto de radio cero. Todo plano carga entonces la misma tensión normal y cortante cero — no hay orientación que produzca cortante alguno.

¿Se sigue usando hoy el círculo de Mohr?

Sí — constantemente, aunque rara vez con lápiz y compás. La construcción es la gramática visual detrás de toda verificación de tensiones: un solver calcula el tensor de tensiones en cada fibra y lo reduce exactamente como lo hace el círculo, a tensiones principales y un valor de von Mises. Los ingenieros todavía recurren al círculo para razonar sobre estados combinados, para verificar el software, y para enseñar la geometría de las tensiones. Dibuja uno tú mismo en la calculadora gratuita del círculo de Mohr y la imagen de 140 años aparece en tiempo real.

¿Qué son las tensiones principales, físicamente?

Son las tensiones normales mayor y menor en un punto, y actúan sobre los dos planos donde la tensión cortante se anula por completo. Rota tu corte imaginario hasta que nada intente deslizar las caras una respecto de otra — queda empuje o tracción puros — y esos valores puramente normales son σ₁ y σ₂. En el círculo son simplemente los dos puntos donde cruza el eje σ. Importan porque las fisuras tienden a abrirse perpendicularmente a σ₁, y los criterios de fluencia se construyen a partir de ellas.

¿Por qué el ángulo se duplica en el círculo?

Porque las ecuaciones de transformación de tensiones para σ y τ son funciones de 2θ — contienen cos 2θ y sin 2θ, no cos θ y sin θ. El círculo de Mohr es solo la imagen geométrica de esas ecuaciones, así que una rotación física de θ necesariamente se corresponde con un arco de 2θ. No es una convención que pudieras elegir de otra forma; sale directo del álgebra de rotar un tensor simétrico.

¿Existe un círculo de Mohr para la deformación?

Sí. La misma construcción funciona con la deformación normal ε en el eje horizontal y la mitad de la deformación cortante (γ/2) en el vertical. Da las deformaciones principales y la deformación cortante máxima exactamente de la misma manera, que es precisamente cómo una roseta de galgas extensométricas se reduce a valores principales. La geometría es idéntica — solo cambian los rótulos de los ejes.

Has recorrido todo el camino — desde un cuadradito con σ_x, σ_y y τ_xy en sus caras, hasta la fibra gobernante de un pórtico de acero real y la verificación normativa que lo mantiene en pie. Esto es lo que hay que llevarse.

• Un punto siente un estado 2-D, no una única tensión. Todo plano que pasa por él se corresponde con un punto de un círculo centrado en σ_prom con radio R = τ_max. Leer el círculo te dice el peor plano de un vistazo.
• El círculo te entrega los números de diseño de forma directa. Los dos cruces con el eje σ son las tensiones principales (σ₁ = 92,43, σ₂ = 7,57 MPa en nuestro estado resuelto); la cima del círculo es el τ_max = 42,43 MPa en el plano; y la suma σ₁ + σ₂ = σ_x + σ_y es invariante en toda rotación.
• Los ángulos se duplican, y el pico de cortante está desfasado. Rotar el plano un ángulo θ recorre 2θ en el círculo, y el plano de cortante máximo queda a 45° del plano principal — nunca sobre él. No olvides el círculo fuera del plano σ₃ = 0 cuando necesites τ_abs,max.
• Una sección puede dar dos círculos distintos. En una viga-columna la fibra extrema da un círculo degenerado uniaxial (σ₂ = −111,4 MPa, von Mises 111,4) mientras que el eje neutro da un círculo combinado genuino (σ₁ = 2,47, σ₂ = −26,43 MPa). Una verificación correcta mira ambas.
• El círculo termina en una verificación de falla. Sus tensiones principales alimentan von Mises σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²), y η = σ_vM / f_yd decide el miembro — 0,842 según NBR 8800, 0,850 según AISC 360 para la fibra gobernante del pórtico real.

Ahora deja de leer y empieza a dibujar. Carga tus propios σ_x, σ_y y τ_xy en la calculadora gratuita del círculo de Mohr — ilimitada, sin inicio de sesión para el cálculo — arrastra el cortante y observa cómo responden σ₁, σ₂ y θ_p, luego carga una sección real de FEM ya resuelta y pasa a triaxial. Cuando estés listo para el miembro completo, la solución CalcSteel corre el mismo motor FEM real sobre vigas-columna y pórticos completos justo en tu navegador, en un plan genuinamente gratuito, coloreando cada barra por el valor exacto de von Mises que produce el círculo. Los estudiantes obtienen todo desbloqueado a través de CalcSteel Education, gratis para cuentas verificadas. La prueba no es una cuenta regresiva — es la herramienta misma, en tus manos hoy.