Viga Hiperestática: O Critério por Trás do Código, Com uma Verificação Resolvida

Peça a um engenheiro para imaginar uma viga hiperestática e ele raramente imagina um vão único biengastado. Ele imagina a viga que corre sem interrupção sobre uma linha de pilares, um único elemento, vários apoios: uma viga contínua. É o elemento hiperestático mais comum no aço real, a viga de piso sobre três pilares, a linha de terças sobre uma fileira de pórticos, o caminho de rolamento da ponte rolante vencendo vão após vão, e é onde a hiperestaticidade deixa de ser uma definição e passa a mudar o que você constrói.

Uma viga contínua faz três coisas que um conjunto de vãos isolados nunca faz. Ela redistribui momento, transferindo flexão do meio do vão para os apoios internos como momento negativo (hogging). Seus apoios podem levantar sob o padrão de carga errado. E o caso de carregamento que produz o maior momento no vão não é aquele com todos os vãos carregados. Cada um deles é governado pelo mesmo critério, aquele que está por trás tanto do solver quanto do código de projeto, e neste artigo o resolvemos em uma viga contínua, de duas maneiras, e confirmamos cada número no motor de EF do CalcSteel em produção com três casas decimais. Se você quer a definição geral de hiperestaticidade e como contar o grau para qualquer estrutura, nosso texto companheiro sobre estruturas hiperestáticas cobre esse terreno; aqui ficamos na viga.

O grau de hiperestaticidade de uma viga contínua é surpreendentemente fácil de contar, porque os hiperestáticos são os próprios apoios. Um único vão simplesmente apoiado precisa de exatamente duas reações verticais, mais uma restrição horizontal para ser estável no plano, e a estática fornece exatamente equações suficientes para determiná-las: ele é isostático. Cada apoio interno que você acrescenta depois disso insere uma reação vertical a mais do que a estática consegue resolver, e cada uma é um hiperestático.

Assim, para uma viga contínua sobre apoios simples a regra é apenas GH = número de apoios − 2 (contando as duas reações verticais que o vão isostático já precisava). Uma viga sobre três apoios tem GH 1, sobre quatro apoios GH 2, sobre cinco apoios GH 3, e assim por diante. Substitua uma extremidade por um engaste em vez de um pino e você acrescenta mais um hiperestático, porque um engaste carrega uma reação de momento que o pino não carrega. A viga de dois vãos que resolvemos a seguir fica na base dessa escada, GH 1: três apoios, um hiperestático, uma condição extra necessária além da estática. Essa única condição é o que o teorema dos três momentos fornece.

Muito antes das matrizes de rigidez, os engenheiros resolviam vigas contínuas com uma equação elegante, o teorema dos três momentos de Clapeyron, e ele ainda é a verificação manual mais rápida que existe. Ele atua sobre o hiperestático que o critério identificou, o momento fletor sobre cada apoio interno, e transforma a compatibilidade (a viga é contínua, então não pode formar um vinco em um apoio) em uma única equação linear ligando três momentos de apoio consecutivos.

Para dois vãos de comprimento L₁ e L₂ que se encontram sobre um apoio interno, com os apoios no mesmo nível e EI constante, o teorema diz:

M_A·L₁ + 2·M_B·(L₁ + L₂) + M_C·L₂ = −6·(A₁x̄₁/L₁ + A₂x̄₂/L₂)

O lado direito é o termo de carga: para um vão que carrega uma carga uniforme w ele resulta em wL³/4. Esse é o método inteiro para uma viga de dois vãos. Ambas as extremidades da nossa viga são simplesmente apoiadas, então M_A = M_C = 0, a equação se reduz a uma incógnita, o momento no apoio interno M_B, e cada reação decorre da estática assim que esse momento é conhecido. Sem matriz, sem iteração, uma linha de álgebra por apoio interno. O critério nos disse que devíamos exatamente uma condição de compatibilidade; a equação dos três momentos é essa condição, escrita.

Mantemos a estrutura fixa e mudamos apenas a carga. A viga tem dois vãos iguais de L = 6 m sobre três apoios simples A, B e C, e onde está carregada ela carrega w = 20 kN/m. Mantemos o mesmo vão e a mesma carga dos casos de vão único do artigo companheiro de propósito, para que você veja exatamente o que a continuidade faz na mesma viga. Dois arranjos contam a história toda:

• Caso A, ambos os vãos carregados. O caso simétrico, óbvio. Ele produz o maior momento negativo (hogging) sobre o apoio interno.
• Caso B, um vão carregado. O caso em padrão que o código obriga você a verificar. Ele produz o maior momento positivo (sagging) em um vão, e levanta o apoio distante do seu berço.

Ambos foram construídos no motor de EF do CalcSteel em produção, cada vão subdividido em 48 elementos, e ambos são verificados contra o teorema dos três momentos com três casas decimais. Observe qual caso governa qual momento; a resposta é o motivo pelo qual a envoltória no final existe.

Com ambos os vãos carregando w, a viga é simétrica, então M_A = M_C = 0 e a equação dos três momentos sobre B tem um termo de carga uniforme de cada lado:

2·M_B·(2L) = −(wL³/4 + wL³/4)   ⟹   M_B = −wL²/8 = −90 kN·m

O apoio interno recebe um momento negativo (hogging) de 90 kN·m, a mesma magnitude que um vão simplesmente apoiado desse tamanho atingiria de pico, mas puxada para o apoio em vez de ficar no meio do vão. A estática termina o serviço. Cada reação de extremidade é 3wL/8 = 45 kN, o apoio interno carrega 5wL/4 = 150 kN (ele serve dois vãos), e o maior momento positivo (sagging) em cada vão é 9wL²/128 = 50,625 kN·m, em x = 3L/8 = 2,25 m a partir do apoio externo. O momento cruza o zero, o ponto de inflexão, em x = 3L/4 = 4,5 m.

O motor do CalcSteel retorna um momento no apoio interno de −90,000 kN·m, reações de 45,000, 150,000 e 45,000 kN somando exatamente 240 kN = 2wL, e um pico de momento positivo no vão de +50,625 kN·m em x = 2,250 m. Cada número confere. Note a barganha estrutural: uma viga contínua simétrica de dois vãos se comporta exatamente como duas vigas engastadas e apoiadas encostadas costas com costas, com o apoio interno atuando como a extremidade engastada. É por isso que o 90 e o 50,625 são idênticos aos números da viga engastada e apoiada no texto companheiro. Depois mudamos a carga, e a equivalência se rompe.

Agora carregue apenas o vão da esquerda e deixe o vão da direita vazio. Este é o arranjo que o código de projeto faz você considerar, e a equação dos três momentos sobre B mantém o termo de carga apenas no lado carregado:

2·M_B·(2L) = −(wL³/4 + 0)   ⟹   M_B = −wL²/16 = −45 kN·m

O momento no apoio caiu pela metade, de 90 para 45 kN·m, porque agora apenas um vão está apoiado sobre o apoio. Mas veja o que acontece com o vão carregado. Suas reações passam a ser R_A = 7wL/16 = 52,5 kN e o apoio interno dá 5wL/8 = 75 kN, então o cortante cruza o zero mais adiante, em x = 2,625 m, e o momento positivo ali sobe para 49wL²/512 = 68,906 kN·m. Isso é 36 por cento maior que o caso totalmente carregado, na viga idêntica, puramente porque o vão vazio da direita não ajuda mais a puxar o apoio para baixo por cima da carga.

E o apoio distante conta a outra metade da história. Sem nada sobre o vão BC, a reação em C resulta negativa, R_C = −wL/16 = −7,5 kN: a viga está tentando levantar a extremidade do seu apoio. Em uma viga que apenas se apoia num berço, a extremidade se ergue e a análise que você fez, que supôs um apoio bilateral, já não descreve a estrutura real.

O motor do CalcSteel confirma na casa decimal: momento no apoio interno −45,000 kN·m, reações 52,500, 75,000 e −7,500 kN (ainda somando 120 kN = wL, o equivalente a um vão), e um pico de momento positivo no vão carregado de +68,906 kN·m em x = 2,625 m. O padrão que parecia uma carga mais leve produziu o momento de vão mais pesado e um levantamento que o caso simétrico esconde por completo.

Aqui está por que vigas contínuas são resolvidas com padrões de carga afinal. Nenhum caso de carregamento isolado dá a você os dois momentos governantes. Sobreponha os dois casos e os valores de projeto saltam da superposição:

• Momento negativo máximo sobre o apoio interno: 90 kN·m, do Caso A (ambos os vãos carregados).
• Momento positivo máximo em um vão: 68,906 kN·m, do Caso B (um vão carregado), não os 50,625 kN·m do caso totalmente carregado.

Essa sobreposição é a envoltória de momentos, e é a verdadeira entrega de uma análise de viga contínua. Por simetria, carregar o outro vão em vez deste leva o momento positivo dele aos mesmos 68,906 kN·m, então a envoltória de projeto completa carrega esse pico nos dois vãos. Você dimensiona a mesa superior, a mesa inferior e as ligações pelo pior valor que cada uma experimenta ao longo de todos os padrões, não por uma única rodada simétrica arrumada. Um engenheiro que verifica só o caso totalmente carregado lê um momento de vão de 50,625 kN·m e dimensiona por ele, e fica cerca de um quarto abaixo da demanda real. A hiperestaticidade que permitiu à viga transferir momento para os apoios é a mesma que faz o padrão de carga importar, e a envoltória é onde ambos os efeitos são finalmente contabilizados juntos.

"O critério por trás do código" tem duas leituras honestas para uma viga contínua, e o padrão de carga está por trás das duas.

Por trás do código de cargas. Como uma viga hiperestática responde a onde a carga variável está, não apenas quanto dela existe, as normas de cargas exigem que você considere arranjos desfavoráveis. O Eurocode EN 1991-1-1 e sua base EN 1990 fazem você colocar a ação variável nos vãos que produzem o pior efeito e deixá-la fora dos demais, exatamente o nosso Caso B. A prática norte-americana chama a mesma ideia de carregamento em padrão (pattern ou skip loading) para elementos contínuos, e a ABNT NBR 8800 traz o requisito correspondente de combinação de cargas. A carga permanente está em toda parte; a carga variável é posicionada para prejudicar. O código é escrito assim precisamente porque a hiperestaticidade faz o padrão importar.

Por trás do código de projeto. As normas de dimensionamento de aço, AISC 360, NBR 8800 e Eurocode EN 1993-1-1, são então construídas sobre essa redistribuição. Elas permitem uma redistribuição limitada e controlada do momento negativo sobre os apoios internos de vigas contínuas de seção compacta, reduzindo o momento no apoio e elevando o momento no vão na mesma medida, desde que a seção seja dúctil o suficiente para girar e entregá-la. A hiperestaticidade que o teorema dos três momentos contou é a mesma que o código de projeto deixa você aproveitar, até a ductilidade que o aço de fato consegue fornecer. Conte, aplique o padrão, depois gaste: esse é o critério fechando o ciclo.

A calculadora abaixo roda o mesmo método direto da rigidez dos casos resolvidos, ao vivo no seu navegador. Monte a viga de dois vãos, carregue ambos os vãos e leia o momento no apoio interno cair para 90 kN·m com reações de 45, 150, 45 kN; depois esvazie o vão da direita e veja o momento no vão subir para 68,9 kN·m e a reação distante ficar negativa. Faça as verificações você mesmo: as reações ainda somam a carga sobre a viga, e o momento no apoio interno permanece entre wL²/16 (um vão) e wL²/8 (ambos os vãos) todas as vezes.

É gratuita, sem login para a análise, e não para em dois vãos. Acrescente apoios até ter uma viga contínua de cinco vãos que nenhum método manual apreciaria, e ela ainda resolve, ainda equilibra, e ainda traça a envoltória no mesmo instante.

Você vai deixar o solver cuidar das vigas contínuas reais. A habilidade que importa é auditar o que ele retorna, e o critério diz exatamente o que auditar. Quatro verificações, em ordem, pegam a esmagadora maioria dos erros de modelagem em uma viga contínua.

1. Conte os hiperestáticos. Apoios menos dois (mais um para cada engaste) é o grau. Um modelo que você esperava ser GH 2 e que sai com GH 0 tem um apoio faltando ou uma liberação que você não pretendia adicionar. Isso também diz quantos momentos de apoio interno o solver teve de resolver.

2. Feche o equilíbrio global. Some as reações verticais e elas devem igualar a carga total aplicada, para todo caso de carregamento. No Caso B, 52,5 + 75 − 7,5 = 120 kN, exatamente wL. Se uma reação sair negativa, não a descarte, isso é um levantamento (uplift) real, e num berço só de gravidade significa que o modelo e a estrutura se separaram.

3. Feche a equação dos três momentos em cada apoio interno. Esta é a verificação de compatibilidade que o equilíbrio não pode dar a você, uma por hiperestático. Pegue os momentos de apoio que o solver reporta e coloque-os de volta em M_AL₁ + 2M_B(L₁+L₂) + M_CL₂ = −6(...); deve fechar. Para a nossa viga isso reproduz −90 e −45 kN·m para os dois casos diretamente.

4. Limite os momentos entre os padrões. Para vãos iguais sob carga variável uniforme, o momento negativo no apoio interno fica entre wL²/16 e wL²/8, e o maior momento positivo no vão vem de um caso em padrão e supera o valor do vão totalmente carregado. Se sua envoltória mostra o maior momento de vão vindo da rodada com todos os vãos carregados, você esqueceu de aplicar o padrão à carga.

Rode essas quatro e você está cobrando do solver a mesma física que teria usado à mão, com uma fração do esforço.

Verificar apenas o caso totalmente carregado. O erro mais comum em viga contínua. A rodada simétrica com todos os vãos carregados dá o momento negativo máximo no apoio, mas subestima o momento positivo no vão, aqui em 36 por cento. O momento de vão governante mora em um caso em padrão.

Ignorar o levantamento. Uma reação negativa sob um vão descarregado não é um artefato de arredondamento; é a viga levantando. Num berço simples o apoio não a segura para baixo, a viga real tem menos apoios ativos que o seu modelo, e os momentos são outra vez diferentes. Ou detalhe a ligação para receber tração, ou verifique o caso com esse apoio removido.

Supor que a seção não importa. Para uma viga isostática os esforços internos são independentes da seção, e para uma viga contínua prismática de uma única seção uniforme eles ainda são, e é por isso que o nosso benchmark de perfil U reproduz a teoria exatamente. Mas no instante em que os vãos têm seções diferentes, ou os apoios recalcam, os momentos redistribuem conforme a rigidez relativa. Mude um elemento em uma viga contínua real e os vizinhos o sentem.

Uma viga contínua é sempre mais leve que vãos isolados? Geralmente, porque o momento negativo no apoio deixa o momento no vão cair, mas só se você também suportar o momento negativo e sua ligação, e só depois de o caso em padrão ser verificado. A economia é real, mas não é de graça.

Ainda preciso do teorema dos três momentos se o solver dá conta? Sim, como verificação. É o cálculo manual de uma linha que confirma que o solver resolveu o hiperestático corretamente, e é assim que você pega um comprimento de vão errado ou um apoio faltando antes que chegue ao desenho.

O caso em padrão precisa de uma combinação diferente? Não, os mesmos fatores de carga se aplicam; você apenas coloca a carga variável nos vãos desfavoráveis. A carga permanente fica em todos os vãos; só a carga variável é posta em padrão.

• A viga hiperestática que você dimensiona na prática é a viga contínua. Seu grau de hiperestaticidade é o número de apoios redundantes: apoios menos dois, mais um por engaste. Nossa viga de dois vãos tem GH 1.
• O teorema dos três momentos é o critério pelo caminho clássico: uma equação linear por apoio interno. Para dois vãos iguais totalmente carregados ele dá o momento no apoio interno como wL²/8 diretamente.
• Cada número foi calculado pelo motor de EF do CalcSteel em produção e confere com o teorema dos três momentos com três casas decimais. Ambos os vãos carregados: −90 kN·m sobre o apoio, reações 45, 150, 45 kN, vão +50,625 kN·m. Um vão carregado: −45 kN·m, reações 52,5, 75, −7,5 kN, vão +68,906 kN·m.
• O carregamento em padrão é o critério por trás do código. Ele leva o momento no vão a 36 por cento acima do valor totalmente carregado e levanta o apoio distante. Você dimensiona pela envoltória, momento negativo máximo 90 kN·m e momento positivo máximo 68,906 kN·m, não por qualquer caso isolado.
• Audite o solver, não confie nele: conte os hiperestáticos, feche o equilíbrio para todo padrão, feche a equação dos três momentos em cada apoio interno, e limite os momentos entre os padrões.