Structures Statiquement Indéterminées : Pourquoi la Méthode Manuelle S'arrête et la Méthode Matricielle Commence

Prenez une poutre sur deux appuis, une rotule et un appui simple (rouleau), soumise à une charge uniforme. Vous pouvez trouver les deux réactions avec rien de plus qu'une feuille de papier et les trois équations de la statique : somme des forces horizontales, somme des forces verticales, somme des moments, chacune égale à zéro. Chaque effort tranchant et chaque moment interne découlent de ces réactions. La poutre est statiquement déterminée (isostatique) : le nombre d'inconnues est égal au nombre d'équations d'équilibre, et l'équilibre seul vous dit tout.

Encastrez maintenant l'extrémité gauche de cette même poutre dans un mur, ou glissez un troisième appui sous une poutre longue, ou repliez deux poteaux vers le haut pour la porter comme un portique. Vous avez ajouté une réaction, mais vous n'avez pas ajouté d'équation : la statique ne vous en donne toujours que trois dans le plan. La structure a désormais plus d'inconnues que l'équilibre ne peut en résoudre. Elle est statiquement indéterminée, également dite hyperstatique, et les forces surabondantes ne peuvent pas du tout être trouvées par la statique. Ce n'est pas un défaut : c'est l'état normal de presque tout bâtiment réel. Cet article traite de ce qui change lorsque l'on franchit cette limite : ce qu'est l'hyperstaticité, comment la compter, comment les ingénieurs la résolvent à la main depuis plus d'un siècle, précisément là où ces méthodes manuelles cessent d'être praticables, et comment la méthode matricielle qui démarre là est devenue le moteur au cœur de tout solveur de structures.

Toute la distinction repose sur un décompte. En deux dimensions, un corps rigide possède exactement trois équations d'équilibre indépendantes, il peut donc résoudre trois quantités de force inconnues, pas davantage. Alignez vos inconnues, les réactions d'appui plus toute inconnue surabondante interne, face à ces équations :

• Inconnues en nombre inférieur aux équations : la structure est un mécanisme, elle bouge, elle est instable. Ce n'est pas du tout une structure.
• Inconnues égales aux équations : statiquement déterminée (isostatique). L'équilibre la résout exactement, et les forces internes ne dépendent pas de la rigidité des barres, seulement de la géométrie et de la charge.
• Inconnues en nombre supérieur aux équations : statiquement indéterminée (hyperstatique). L'équilibre est nécessaire mais ne suffit plus, et les équations manquantes doivent venir d'ailleurs.

Cet ailleurs, c'est la compatibilité : l'exigence que les flèches et les rotations de la structure s'accordent entre elles, qu'une poutre continue reste continue au-dessus de son appui central, qu'un encastrement ne tourne vraiment pas. Les conditions de compatibilité sont des équations supplémentaires, et elles s'écrivent en fonction de la manière dont la structure se déforme. Dès l'instant où une structure est hyperstatique, ses forces internes commencent à dépendre de la rigidité relative de ses barres, de E, de I, de la section et de la longueur, car c'est la rigidité qui décide comment la force surabondante se répartit. Ce simple fait, que les forces hyperstatiques dépendent de la rigidité alors que les forces isostatiques n'en dépendent pas, est la racine de tout ce qui suit.

Le degré d'hyperstaticité est une simple soustraction, les inconnues moins les équations disponibles. Pour une poutre plane ou une structure simple dont les seules inconnues sont les réactions :

DHS = r − 3 − c

où r est le nombre de composantes de réaction, 3 le nombre d'équations d'équilibre dans le plan, et c le nombre d'équations de condition libérées par les rotules internes (une rotule interne ajoute une équation, à savoir que le moment y est nul). Un appui articulé fournit deux composantes de réaction, un appui simple une, un encastrement trois.

Pour un portique plan rigide, comptez aussi les barres et les nœuds, car chaque barre reliée de façon rigide porte ses trois propres quantités de force interne :

DHS = (3m + r) − 3n − c

avec m barres, r composantes de réaction, n nœuds (les jonctions, y compris les appuis), et c libérations. Appliquez-la aux cas du tableau. Une poutre encastrée-appuyée (propped cantilever) comporte un encastrement (3) plus un appui simple (1), donc r = 4 et DHS = 1. Une poutre continue à deux travées sur une rotule et deux appuis simples a aussi r = 4 et DHS = 1. Un portique sur deux bases encastrées a m = 3, r = 6, n = 4, donc DHS = 9 + 6 − 12 = 3. Chaque unité de DHS est une inconnue surabondante, une force que vous êtes libre de choisir avant que la compatibilité ne la fixe.

Si l'hyperstaticité rend l'analyse plus difficile, pourquoi presque tout portique réel est-il hyperstatique ? Parce que la continuité même qui complique les calculs vous achète trois choses que vous désirez.

La rigidité. La continuité et l'encastrement combattent durement la flèche. Une poutre bi-encastrée sous charge uniforme fléchit seulement un cinquième autant que la même poutre sur deux appuis (wL⁴/384EI contre 5wL⁴/384EI). Pour les barres gouvernées par les états limites de service, ce qui est le cas de la plupart des poutres de plancher, c'est la différence entre une section qui convient et une qui ne convient pas.

Des moments de pointe plus faibles. L'encastrement étale la flexion. Cette poutre bi-encastrée culmine à wL²/12 à ses extrémités au lieu de wL²/8 à mi-travée, un tiers de moment en moins pour la même portée et la même charge. La continuité au-dessus d'un appui fait le même tour, en échangeant un moment de travée plus faible contre un moment négatif sur l'appui.

La redondance, c'est-à-dire la sécurité. Le sens littéral d'une inconnue surabondante est un chemin de charge alternatif. Si une section d'une structure hyperstatique est surchargée et plastifie, la structure ne s'effondre pas forcément : le moment se redistribue vers les parties qui ont encore de la capacité, et elle reste debout tout en vous avertissant. Une structure isostatique n'a aucun chemin de rechange : perdez une barre ou formez une rotule et elle devient un mécanisme. C'est pourquoi les normes récompensent la redondance et pourquoi la pensée anti-effondrement progressif s'appuie sur elle. L'hyperstaticité n'est pas un coût que l'on tolère, c'est une propriété que l'on conçoit délibérément.

La façon la plus ancienne et la plus intuitive de résoudre une structure hyperstatique est la méthode des forces, aussi appelée méthode des flexibilités ou méthode des déformations compatibles. L'idée est d'une simplicité désarmante. Vous avez trop de forces inconnues, alors vous en choisissez un nombre égal au DHS, les inconnues surabondantes, et vous imaginez les retirer. Ce qui reste, la structure primaire, est isostatique, la statique la résout donc d'emblée.

Bien sûr, retirer un appui laisse la structure se déformer d'une manière que la vraie ne ferait jamais : un appui libéré laisse la poutre s'affaisser là où l'appui aurait dû la tenir. Vous calculez donc cette flèche illicite au point de libération sous la charge appliquée, appelez-la δ₁₀. Puis vous remettez l'inconnue surabondante sous forme d'une force inconnue X₁ et vous calculez la flèche qu'elle produit par unité, δ₁₁. La vraie structure ne fléchit pas du tout à l'appui, les deux doivent donc s'annuler. C'est l'équation de compatibilité :

δ₁₀ + X₁·δ₁₁ = 0

Une inconnue surabondante, une équation, une force inconnue retrouvée. Avec davantage d'inconnues surabondantes, cela devient un petit système, [δ]{X} = −{δ₀}, où [δ] est la matrice de flexibilité, une ligne et une colonne par inconnue surabondante. Résolvez-le, remettez les inconnues surabondantes en place, et terminez par la statique. La méthode des forces est l'image la plus limpide possible de ce qu'est l'hyperstaticité : exactement DHS conditions, chacune un énoncé géométrique affirmant que la structure s'accorde avec elle-même.

La méthode des forces traite les forces comme les inconnues. La famille rivale, les méthodes des déplacements (des rigidités), traite plutôt les mouvements des nœuds comme les inconnues, et pour les portiques réels elle l'emporte généralement, car un portique a d'ordinaire moins de rotations de nœuds libres que de forces surabondantes.

La méthode des rotations (slope-deflection, 1915) écrit les moments d'extrémité de chaque barre comme une formule des rotations de ses deux extrémités et de tout ballant entre elles, puis impose l'équilibre des moments à chaque nœud. Cela donne une équation par rotation inconnue, un système que l'on résout simultanément. La distribution des moments, la méthode de Hardy Cross de 1930, fut la percée qui mit l'analyse des portiques à la portée de quiconque possédait une règle à calcul : elle bloque tous les nœuds, calcule les moments d'encastrement parfait, puis débloque les nœuds un par un et laisse le moment déséquilibré se distribuer aux barres reliées selon leur rigidité relative, en itérant jusqu'à ce que les reliquats soient négligeables. Aucune équation simultanée, seulement une comptabilité rigoureuse, et cela converge vite pour les poutres continues et les portiques contreventés. Le théorème des trois moments de Clapeyron (1857) est l'outil de spécialiste pour les poutres continues, reliant les moments au-dessus de trois appuis consécutifs par une seule équation par appui intérieur.

Ces méthodes sont réellement puissantes, et tout ingénieur des structures devrait savoir mener une distribution des moments sur une poutre à deux travées ou un portique à une travée. Mais regardez ce que chacune coûte à mesure que la structure grandit, car ce coût est toute la raison d'être de la méthode matricielle.

Prenez la toute première structure hyperstatique canonique : une poutre encastrée-appuyée (propped cantilever), encastrée à une extrémité et posée sur un appui simple à l'autre, de portée L = 6 m sous une charge uniforme w = 24 kN/m. Elle est de DHS 1, la méthode des forces n'a donc besoin que d'exactement une équation de compatibilité.

Choisissez la réaction de l'appui comme inconnue surabondante X₁ et libérez-la. La structure primaire est une simple console encastrée à gauche. Sous la charge w, l'extrémité libre (appuyée) d'une console s'affaisse de δ₁₀ = wL⁴/8EI. Sous une force unitaire dirigée vers le haut à cette extrémité, elle se soulève de δ₁₁ = L³/3EI. Le véritable appui maintient l'extrémité à zéro, donc :

X₁ = −δ₁₀ / δ₁₁ = (wL⁴/8EI) / (L³/3EI) = 3wL/8 = 54 kN

Remarquez que EI se simplifie : pour une seule barre prismatique, l'inconnue surabondante ne dépend finalement pas de la rigidité, la réponse est donc exacte et nette. Terminez maintenant par la statique. La réaction à l'encastrement vaut wL − X₁ = 144 − 54 = 90 kN (c'est 5wL/8), et le moment d'encastrement vaut wL²/2 − X₁·L = 432 − 324 = 108 kN·m de moment négatif (hogging), exactement wL²/8. Le moment de travée culmine en x = 5L/8 = 3,75 m avec une valeur de 9wL²/128 = 60,75 kN·m, et le moment fléchissant passe par zéro (le point d'inflexion) en x = L/4 = 1,5 m.

Maintenant la vérification. Nous avons construit la même poutre dans le moteur EF de CalcSteel, le vrai solveur en production, et il renvoie R à l'encastrement = 90,000 kN, R à l'appui = 54,000 kN, le moment d'encastrement = −108,000 kN·m, et la pointe de travée = +60,750 kN·m en x = 3,750 m. Chaque nombre coïncide avec la solution manuelle à trois décimales près, et c'est bien là le point : pour une seule inconnue surabondante, la méthode manuelle et le moteur donnent la même réponse, le moteur a simplement fait la compatibilité à votre place.

Ajoutez un appui au lieu d'un encastrement et vous obtenez l'autre cas courant de DHS 1, une poutre continue à deux travées : une rotule, un appui simple intérieur et un appui simple d'extrémité, deux travées de L = 6 m chacune, le même w = 24 kN/m partout. Ici l'outil manuel naturel est le théorème des trois moments de Clapeyron qui, pour deux travées égales sous charge uniforme, donne directement le moment sur l'appui intérieur :

M_B = −wL²/8 = −108 kN·m

L'appui intérieur fait exactement ce que la continuité achète : il tire un moment négatif hors de la poutre et, en échange, maintient les moments de mi-travée à 9wL²/128 = 60,75 kN·m, le même moment de travée que la poutre encastrée-appuyée, ce qui n'est pas une coïncidence, puisque chaque travée de cette poutre se comporte comme une poutre encastrée-appuyée, l'appui intérieur jouant le rôle du quasi-encastrement. La statique donne alors les réactions : 3wL/8 = 54 kN à chaque extrémité et 10wL/8 = 1,25wL = 180 kN à l'appui intérieur, qui porte la part du lion.

Le moteur est d'accord sur toute la ligne : réactions d'extrémité 54,000 kN, réaction intérieure 180,000 kN, moment sur l'appui intérieur −108,000 kN·m, pointes de travée +60,750 kN·m. Deux structures hyperstatiques différentes, l'une résolue par la méthode des forces et l'autre par l'équation des trois moments, et dans les deux cas le solveur EF en production reproduit exactement le résultat classique. C'est la réassurance que vous donnent les méthodes manuelles : à DHS 1 vous pouvez encore garder toute la solution en tête, et le logiciel est vérifiable par rapport à elle.

À DHS 1, la méthode manuelle est un plaisir. L'ennui, c'est que l'effort ne croît pas doucement. Dans la méthode des forces, la matrice de flexibilité est de dimension DHS par DHS, une structure à trois inconnues surabondantes nécessite donc un système 3 par 3, six un système 6 par 6, et chacun de ces coefficients δ_ij est lui-même un calcul de flèche séparé qu'il faut mener et réussir. Dans les méthodes des déplacements, le nombre d'inconnues est le nombre de déplacements de nœuds libres, qui grimpe tout aussi vite dans un bâtiment réel, et la méthode des rotations les transforme en un système simultané tandis que l'itération de la distribution des moments ralentit et se démultiplie dès que le ballant (sidesway) entre en jeu, car un portique libre de pencher latéralement exige des cycles de ballant supplémentaires empilés par-dessus l'équilibrage des nœuds.

Le mur est donc bien réel, et il arrive tôt. Un portique à une travée (DHS 3) est déjà un calcul manuel sérieux, un après-midi de méthode des rotations avec une équation de ballant, ou une distribution des moments menée deux fois. Un portique à deux étages et deux travées dépasse ce que quiconque de sensé fait à la main. Un bâtiment complet, une grille, quoi que ce soit en trois dimensions, n'est tout simplement pas un problème manuel, et aucune méthode astucieuse n'attend pour le sauver, car la difficulté n'est pas la technique, c'est le nombre pur et simple d'inconnues couplées. Les méthodes manuelles n'ont pas échoué : elles ont buté sur la taille du système linéaire qu'un humain peut porter.

La méthode matricielle ne surpasse pas les méthodes manuelles en astuce, elle les surpasse en organisation. C'est la méthode des déplacements, la même idée du mouvement des nœuds comme inconnue derrière la méthode des rotations, écrite sous une forme qu'un ordinateur peut assembler mécaniquement et résoudre à n'importe quelle échelle. On l'appelle la méthode matricielle de la rigidité directe, et c'est l'ossature de l'analyse par éléments finis.

La recette ne change jamais avec la taille. Chaque barre reçoit une petite matrice de rigidité élémentaire k qui relie les forces à ses deux extrémités aux déplacements de ses deux extrémités, pure géométrie et EA, EI, L. Chacune d'elles est projetée dans les axes globaux et additionnée dans une matrice de rigidité globale K aux lignes et colonnes des nœuds qu'elle relie ; les barres qui se recouvrent s'additionnent simplement là où elles partagent un nœud. Appliquez les charges sous forme d'un vecteur F et les conditions aux limites, et toute la structure devient un unique système linéaire :

K d = F

Résolvez-le une fois pour les déplacements nodaux d, puis substituez à rebours dans le k de chaque élément pour retrouver les efforts tranchants et les moments de chaque barre. Il n'y a aucun traitement séparé pour l'isostatique ou l'hyperstatique, aucun choix d'inconnues surabondantes, aucune équation de ballant, aucune itération ; l'hyperstaticité est prise en charge implicitement dès l'instant où les rigidités sont assemblées, car K encode déjà comment chaque barre partage la charge avec ses voisines. Doubler la taille du portique ne fait qu'agrandir K, et un ordinateur s'en moque. C'est exactement ce que fait tourner le moteur de CalcSteel, la même méthode, à la précision machine ; les trois cas résolus ci-dessus l'ont été par lui, et le portique qui suit aussi.

Le calculateur ci-dessous est la méthode de la rigidité directe, tournant dans votre navigateur sur le même moteur EF que les cas résolus. Construisez une poutre encastrée-appuyée ou une poutre continue, encastrez une extrémité ou ajoutez un troisième appui, posez-y une charge uniforme, et lisez les réactions et le diagramme du moment fléchissant directement issus de K d = F. Essayez-le sur les cas de DHS 1 ci-dessus et regardez les nombres tomber sur 90, 54, −108 et 60,75 sans que vous n'ayez jamais choisi la moindre inconnue surabondante.

C'est gratuit, aucune connexion n'est requise pour l'analyse, et cela ne s'arrête jamais à DHS 1 : ajoutez des appuis et des barres jusqu'à obtenir une structure qu'aucune méthode manuelle ne pourrait aborder, et cela se résout dans le même instant.

Terminez par le cas qui n'a de formule dans aucun aide-mémoire : un portique, une poutre de 8 m sur deux poteaux de 5 m encastrés à leurs bases, portant une charge de gravité de 20 kN/m sur la poutre et une poussée de vent horizontale de 15 kN au sommet. Il est de DHS 3, et le vent le fait pencher, les trois inconnues surabondantes se couplent donc à travers le ballant. Il n'y a pas de forme analytique ; c'est un problème purement matriciel.

Le moteur renvoie toute la solution d'un coup. Les deux bases de poteaux, bien que le portique et sa charge de gravité soient parfaitement symétriques, portent des moments d'encastrement très différents, 4,25 kN·m sur la base au vent et 34,45 kN·m sur celle sous le vent. Les deux genoux poutre-poteau sont tout aussi dissymétriques, 12,07 kN·m au vent contre 48,37 kN·m sous le vent, et la poutre s'affaisse jusqu'à une pointe de 129,8 kN·m à mi-travée. Les réactions verticales se répartissent en 75,46 kN et 84,54 kN à mesure que le portique penche sous le vent, et les 15 kN de vent se partagent en 1,56 kN et 16,56 kN entre les bases. Chacune de ces dissymétries est le ballant qui parle, et aucune équation manuelle unique ne les produit ; il vous faudrait la méthode des rotations avec une inconnue de ballant, menée avec soin, pour ne serait-ce qu'en approcher.

Les vérifications de cohérence se bouclent tout de même à la main, et c'est ainsi que l'on fait confiance au solveur : les réactions verticales font 75,46 + 84,54 = 160 kN, exactement les 20 kN/m sur 8 m de gravité, et les réactions horizontales font 1,56 − 16,56 = −15 kN, équilibrant exactement le vent. L'équilibre est toujours nécessaire ; ici la méthode matricielle a fourni la compatibilité que l'équilibre seul ne pourrait jamais atteindre.

Confondre hyperstatique et instable. Les deux présentent un décalage entre inconnues et équations, mais en sens opposés. Trop peu d'inconnues (ou mal disposées) donne un mécanisme, il bouge. Trop d'inconnues donne l'hyperstaticité, la structure est plus rigide que ce que la statique peut décrire. Vérifiez toujours la stabilité et la disposition, pas seulement le décompte ; trois réactions toutes parallèles ou toutes passant par un même point donnent une structure instable même si le nombre semble correct.

Croire que les forces hyperstatiques sont indépendantes de la section. Elles ne le sont pas. Dès qu'une structure est hyperstatique, les forces internes dépendent de la rigidité relative, de E, de I et de la longueur des barres. Changez une section et les moments se redistribuent. Les forces isostatiques se moquent de la rigidité ; les forces hyperstatiques en dépendent toujours.

Oublier les équations de condition dues aux rotules internes. Une rotule interne libère un moment et ajoute une équation, abaissant le DHS d'une unité. Une poutre qui paraît sur-appuyée peut être isostatique, voire un mécanisme, une fois ses rotules comptées. Ne lisez pas le DHS d'après les seuls appuis.

Une structure hyperstatique est-elle plus résistante ? Généralement plus rigide et plus redondante, pas automatiquement plus résistante au sens ultime, mais la redondance offre des chemins de charge alternatifs et laisse les moments se redistribuer avant la ruine, ce qui est une véritable marge de sécurité.

Ai-je encore besoin des méthodes manuelles si le logiciel résout tout ? Oui. Vous ne pouvez pas vérifier une réponse que vous ne pouvez pas estimer. Une distribution des moments sur une poutre à deux travées ou un wL²/8 mental garde le solveur honnête et attrape l'erreur de modélisation, le mauvais appui, la libération manquante, qui transforme une bonne méthode en un mauvais nombre.

Quelle est la différence entre la méthode des rigidités et les éléments finis ? Aucune, dans l'esprit. La méthode de la rigidité directe pour les portiques est l'analyse par éléments finis avec un élément de poutre par barre ; les éléments finis sont le même assemblage de K d = F généralisé aux plaques, coques et solides.

L'hyperstaticité est l'état normal des structures réelles, et y entrer change à la fois les calculs et l'outil auquel on recourt.

• Une structure est statiquement indéterminée lorsque les inconnues dépassent les équations d'équilibre ; le surplus est le degré d'hyperstaticité, DHS = r − 3 pour une poutre plane, (3m + r) − 3n pour un portique plan.
• Au-delà de l'équilibre il vous faut la compatibilité, et à partir de ce point les forces internes dépendent de la rigidité des barres, de E, I et L, et non de la géométrie seule.
• Les méthodes manuelles ajoutent exactement les conditions manquantes : la méthode des forces résout une équation par inconnue surabondante ; la méthode des rotations et la distribution des moments résolvent les mouvements des nœuds. Toutes se comportent mal à l'échelle et butent sur un mur pratique en quelques degrés d'hyperstaticité.
• Vérifié par rapport au moteur à trois décimales près : une poutre encastrée-appuyée donne −108 kN·m (wL²/8) à l'encastrement et +60,75 kN·m (9wL²/128) dans la travée ; une poutre continue à deux travées tire −108 kN·m au-dessus de l'appui intérieur ; l'inconnue surabondante de la méthode des forces est la réaction de l'appui, 3wL/8 = 54 kN.
• La méthode matricielle (de la rigidité directe) écrit la même physique sous la forme K d = F, assemblée barre par barre et résolue par ordinateur, sans plafond. Elle fait tourner le moteur de CalcSteel, et c'est le seul moyen pratique de résoudre un portique sous charge de vent (DHS 3) ou quoi que ce soit de plus grand.