Forces fictives : détecter l'instabilité d'un portique sans une analyse P-Delta complète

Vous pouvez dimensionner chaque poutre et chaque poteau d'une ossature métallique, confirmer qu'aucun ne dépasse un taux de travail de 1,0, et avoir malgré tout une structure qui n'est pas sûre. La résistance d'un élément est une propriété locale. La stabilité est une propriété de l'ossature entière, et elle dépend de choses qu'une vérification de résistance élément par élément ne voit jamais : de combien l'ossature a été montée hors d'aplomb, de combien elle penche sous charge, et de la façon dont ce penchement se répercute sur les poteaux sous forme de moment supplémentaire.

La façon rigoureuse de saisir cela est une analyse au second ordre complète, l'analyse P-Delta, qui résout à nouveau l'ossature sur sa géométrie déformée jusqu'à ce que les déplacements cessent de croître. C'est le bon outil, et pour une ossature réellement sensible au déplacement latéral c'est le seul. Mais c'est aussi l'outil coûteux, et pour une large part des ossatures réelles il est surdimensionné.

La force fictive est le dispositif économique qui la précède. C'est une petite force horizontale factice que vous ajoutez à une simple analyse au premier ordre pour représenter le défaut que l'ossature possède réellement. Elle fait deux choses à la fois : elle satisfait l'exigence réglementaire de prise en compte du défaut d'aplomb, et le déplacement qu'elle produit vous dit si vous pouvez vous arrêter là ou si l'ossature est assez sensible au déplacement latéral pour mériter le traitement P-Delta complet. Cet article fait passer trois portiques par le moteur éléments finis de CalcSteel pour montrer exactement où passe cette frontière.

Aucune ossature n'est montée parfaitement d'aplomb. Les poteaux penchent d'une fraction de leur hauteur, dans la tolérance de montage, et ce penchement initial fait que les charges gravitaires ne descendent pas droit le long de l'axe du poteau. Elles arrivent légèrement décalées, et la charge décalée pousse l'ossature de côté. Un modèle parfaitement d'aplomb ne ressent jamais cette poussée.

Plutôt que de modéliser l'inclinaison géométriquement, les règlements vous laissent la remplacer par un effort horizontal équivalent : une force fictive. Imaginez un poteau portant un effort axial P, incliné d'un petit angle. La composante horizontale de cette charge inclinée vaut P × l'angle. Si le défaut d'aplomb supposé est de 1/500 de la hauteur, la force latérale équivalente vaut P/500 = 0,002 P. C'est précisément de là que vient le coefficient de l'AISC, et c'est pourquoi la force fictive est toujours un petit pourcentage de la charge gravitaire plutôt qu'une action extérieure de type vent.

La force fictive est factice. Elle n'existe pas dans le bâtiment réel, et ce n'est pas un cas de charge que vous combinez avec le vent par hasard. C'est un substitut d'un défaut géométrique, appliqué à chaque niveau de plancher, dans la direction horizontale la plus défavorable pour l'ossature.

Voici la raison pour laquelle une force fictive est obligatoire et non facultative. Prenez un portique à une travée, une portée de 12 m portant une charge gravitaire pondérée de 30 kN/m sur la traverse, réalisé à partir d'un profilé en I de 360 mm de hauteur (le moteur indique un moment quadratique selon l'axe fort de 15 728 cm⁴). Résolvez-le dans une analyse au premier ordre sous la seule charge gravitaire.

Le moteur CalcSteel renvoie un déplacement latéral net de 0,0000 mm. Pas approximativement zéro, exactement zéro. Un portique symétrique sous une charge symétrique a une réponse symétrique, et la symétrie interdit tout penchement latéral : les deux poteaux s'écartent également et la toiture reste en place. Nous l'avons fait pour les trois portiques de cet article, le trapu, le moyen et l'élancé, et chacun a renvoyé les mêmes 0,0000 mm de déplacement sous gravité.

C'est là le piège. Si vous ne calculez jamais que l'ossature d'aplomb sous ses charges réelles, l'analyse vous dit que l'ossature ne se déplace pas, et elle ne vous avertit donc jamais de l'instabilité par déplacement latéral. L'instabilité est réelle, mais elle se cache derrière la symétrie parfaite du modèle. Vous devez injecter le défaut vous-même pour la faire apparaître, et la force fictive est la façon dont vous l'injectez.

Les trois grands règlements acier emploient tous une force fictive ou un effort horizontal équivalent, et ils aboutissent au même ordre de grandeur par des chemins légèrement différents. Sur notre portique, la réaction gravitaire pondérée totale est d'environ 360 kN, et chaque poteau en porte à peu près la moitié.

• AISC 360 (méthode d'analyse directe). Ni = 0,002 × alpha × Yi, où Yi est la charge de gravité au niveau considéré et alpha = 1,0 en LRFD. Le 0,002 correspond à un défaut d'aplomb de 1/500. Sur 360 kN, cela donne une force fictive de 0,72 kN. Les forces fictives s'appliquent à tous les niveaux et s'ajoutent aux autres charges latérales de la combinaison.
• Eurocode 3 (EN 1993-1-1, 5.3.2). Un défaut d'aplomb initial phi = phi0 × alpha_h × alpha_m, avec la valeur de base phi0 = 1/200. Les coefficients de réduction sont alpha_h = 2 / √h (borné entre 2/3 et 1,0) et alpha_m = √(0,5 × (1 + 1/m)) pour m poteaux. L'effort horizontal équivalent vaut phi × la charge verticale. Pour notre portique moyen (h = 7 m, deux poteaux), phi vaut 0,00327, soit 1,18 kN, nettement plus que la valeur de l'AISC car phi0 = 1/200 est plus sévère que 1/500.
• NBR 8800. Une force fictive de 0,2 % des charges de gravité de calcul pour les ossatures de faible déplaçabilité latérale, portée à 0,3 % (ou un défaut d'aplomb de h/333) pour les déplaçabilités moyenne et grande. Cela fait 0,72 kN ou 1,08 kN sur notre portique.

En résumé, les trois valent une fraction de pour cent de la charge gravitaire, les trois s'appliquent à chaque niveau, et l'Eurocode 3 tend à être le plus conservateur des trois. Celle que vous employez est fixée par le règlement en vigueur, pas par préférence.

Ajoutons maintenant la force fictive au calcul au premier ordre. Prenons le portique moyen, une portée de 12 m sur des poteaux de 7 m à base articulée, et appliquons la force fictive de l'AISC de 0,72 kN au jarret, en plus de la gravité. Le déplacement latéral net qui était de 0,0000 mm sous la seule gravité devient 2,43 mm. Le portique qui paraissait rigide penche désormais, et ce penchement est la grandeur physique qu'une vérification de stabilité doit borner.

Remarquez l'échelle. Une force horizontale de 0,72 kN, moins d'un cinquième de un pour cent de la charge gravitaire, suffit à révéler des millimètres de déplacement, car une ossature à nœuds déplaçables est bien plus souple latéralement que verticalement. Cette sensibilité est précisément l'enjeu. La force fictive est petite, mais la réponse de l'ossature à celle-ci est la mesure honnête de la proximité de l'ossature d'un mécanisme de déplacement latéral.

Il s'agit encore d'une analyse au premier ordre ordinaire, la même résolution linéaire que CalcSteel effectue pour n'importe quelle ossature. Rien ici n'a exigé de routine itérative au second ordre. Nous avons simplement ajouté une petite force horizontale et lu le déplacement. L'étape suivante transforme ce déplacement en un nombre qui décide de tout.

Avant de transformer le déplacement en verdict, construisez l'intuition vous-même. La calculatrice ci-dessous est l'outil de portique de CalcSteel. Réglez une portée et une hauteur au jarret, choisissez des bases articulées ou encastrées, et donnez-lui une charge gravitaire. Réglez ensuite une petite force horizontale au jarret, de l'ordre de 0,2 % de la charge verticale totale, et observez le déplacement latéral et les moments en pied et au jarret se mettre à jour.

Essayez ceci : gardez la charge gravitaire fixe et allongez les poteaux, ou faites passer les bases d'encastrées à articulées. La même minuscule force horizontale produit maintenant bien plus de déplacement, et les moments en pied grimpent avec lui. Vous regardez une ossature passer d'insensible à sensible au déplacement latéral en temps réel, ce qui est le point de bascule que le reste de l'article fixe avec le facteur d'amplification.

Le déplacement sous la force fictive n'est pas qu'un nombre à vérifier vis-à-vis d'une limite. C'est la matière première du seul facteur qui décide si vous avez besoin d'une analyse P-Delta complète : l'amplificateur d'étage B2.

L'idée derrière B2 est que le penchement latéral décale légèrement chaque charge gravitaire par rapport à son poteau, ce qui ajoute du moment, ce qui ajoute plus de penchement, et ainsi de suite. Cette rétroaction converge soit vers une amplification modérée, soit, si l'ossature est trop souple, elle s'emballe. L'AISC l'écrit

B2 = 1 / (1 moins P_story / Pe,story),

où P_story est la gravité totale au niveau et Pe,story est la résistance au flambement par déplacement latéral élastique de l'étage, que l'on obtient directement à partir du déplacement au premier ordre : Pe,story = R_M × H × L / Δ, où Δ est le déplacement latéral. En mots, plus l'ossature est raide (moins elle se déplace sous une force horizontale donnée), plus Pe,story est grand, et plus B2 se rapproche de 1,0. Le fait crucial est que B2 est aussi le rapport du déplacement au second ordre sur celui au premier ordre. C'est le multiplicateur exact qu'appliquerait une analyse P-Delta complète, obtenu sans en lancer aucune.

La démarche est donc : appliquer la force fictive, lancer le premier ordre, lire le déplacement, calculer B2. Si B2 est proche de 1,0, l'analyse P-Delta ne changerait presque rien et vous avez terminé. Si B2 est grand, l'ossature est sensible au déplacement latéral et le résultat au premier ordre ne dit pas tout.

Même portée de 12 m, même 360 kN de gravité, même section. Les seules différences sont la hauteur des poteaux et l'encastrement en pied, et elles suffisent à déplacer le portique sur tout le spectre de la stabilité. Chaque déplacement ci-dessous est la véritable réponse au premier ordre à la force fictive de l'AISC, directement issue du moteur.

Le portique trapu amplifie son déplacement de 2 %. Une analyse P-Delta complète ne bougerait ses moments pratiquement pas, si bien qu'en lancer une est un effort gaspillé : la force fictive dans une analyse au premier ordre est la vérification de stabilité complète. Le portique moyen amplifie de 26 %, ce qui compte, mais vous captez tout cela en multipliant les résultats de déplacement au premier ordre par 1,26, toujours sans analyse itérative. Le portique élancé amplifie de 56 % et se situe dans la plage où l'amplificateur simple commence à perdre en précision, si bien qu'ici, et seulement ici, vous dépensez l'analyse P-Delta.

Cela se superpose directement à la classification de la NBR 8800 par le rapport du déplacement au second ordre sur celui au premier ordre : à 1,1 ou en dessous c'est une faible déplaçabilité, de 1,1 à 1,5 c'est une déplaçabilité moyenne, et au-dessus de 1,5 c'est une grande déplaçabilité. B2 est ce rapport, si bien que le même nombre unique classe l'ossature et choisit la méthode.

Assemblez les pièces et la promesse du titre devient concrète. Une analyse au premier ordre avec la force fictive ajoutée est à elle seule une justification de stabilité complète et conforme au règlement, tant que l'amplification est assez faible pour être ignorée ou captée par le multiplicateur B2. Cela couvre les portiques trapu et moyen ci-dessus, et en pratique une large part des ossatures métalliques courantes de faible hauteur.

Les seuils de passage au niveau supérieur méritent d'être mémorisés, car c'est là que la voie économique cesse d'être valable :

• AISC 360. L'amplificateur B2 est prévu pour B2 jusqu'à environ 1,5. Au-delà, utilisez une analyse au second ordre rigoureuse plutôt que l'amplificateur.
• Eurocode 3. Les effets du second ordre peuvent être négligés lorsque le rapport critique élastique alpha_cr = Fcr / FEd vaut au moins 10. En dessous de 10, ils doivent être pris en compte, par amplification ou par une analyse complète.
• NBR 8800. La grande déplaçabilité, le rapport de déplacement au-dessus de 1,5, exige une analyse au second ordre rigoureuse avec les défauts modélisés directement.

Les forces fictives ne remplacent pas l'analyse P-Delta. Elles vous disent quand vous en avez besoin. Pour une ossature raide vis-à-vis du déplacement latéral, elles vous permettent de livrer une vérification de stabilité défendable avec une seule résolution linéaire, et pour une ossature qui ne l'est pas, elles vous remettent le nombre qui prouve que vous devez aller plus loin. Si votre ossature tombe dans cette dernière catégorie, la mécanique de l'analyse complète est traitée dans notre article complémentaire sur les effets du second ordre P-Delta.

Le concept est simple ; l'application a quelques arêtes qui prennent les gens en défaut.

• Les deux directions, à chaque niveau. L'ossature peut pencher dans un sens comme dans l'autre, si bien que la force fictive s'applique dans la direction la plus défavorable pour chaque vérification, et à chaque étage d'une ossature à plusieurs niveaux, proportionnellement à la gravité à cet étage.
• Additives aux charges latérales réelles. Dans l'AISC, les forces fictives s'ajoutent au vent ou au séisme dans les combinaisons, elles ne leur sont pas comparées. Il y a un allègement : lorsque le rapport du déplacement au second ordre sur celui au premier ordre vaut 1,7 ou moins, les forces fictives peuvent être appliquées dans les seules combinaisons de gravité plutôt qu'ajoutées à chaque combinaison latérale.
• Rigidité réduite (AISC). La méthode d'analyse directe associe la force fictive à une réduction de rigidité, 0,8 sur les rigidités axiale et flexionnelle (avec un coefficient supplémentaire sur les poteaux proches de la plastification). L'ossature assouplie se déplace davantage, ce qui est la façon dont la méthode tient compte des contraintes résiduelles et de la plastification partielle, ne l'oubliez donc pas lorsque vous calculez le déplacement qui alimente B2.
• Quand l'Eurocode vous laisse abandonner le défaut d'aplomb. L'EN 1993-1-1 autorise à négliger le défaut d'aplomb lorsque la charge horizontale réelle est déjà importante, précisément lorsque HEd vaut au moins 15 % de la charge verticale VEd. Une ossature soumise à un vent substantiel peut n'avoir aucun besoin de la force fictive de déplacement latéral.

« Une force fictive n'est qu'une petite charge de vent. » Non. Le vent est une action extérieure réelle avec sa propre intensité et ses propres coefficients de combinaison. Une force fictive est un substitut d'un défaut géométrique et croît avec la charge gravitaire, pas avec l'exposition. On les additionne, mais ce ne sont pas la même chose.

« Mon ossature est contreventée, je peux donc me passer des forces fictives. » Une ossature contreventée est tout de même montée hors d'aplomb. La force fictive s'applique quand même ; elle est simplement reprise par le contreventement au lieu de l'être par l'effet de portique, et c'est exactement ainsi que vous dimensionnez ce contreventement pour la poussée déstabilisatrice.

« 0,002 est le nombre universel. » C'est la valeur de l'AISC, issue d'un défaut d'aplomb de 1/500. L'Eurocode 3 part de 1/200 puis réduit selon la hauteur et le nombre de poteaux, et la NBR 8800 emploie 0,2 % à 0,3 %. Sur la même ossature ces valeurs peuvent différer d'un facteur de près de deux, employez donc la règle de votre règlement en vigueur.

« Si l'ossature se déplace sous la force fictive, elle est en défaut. » Pas en soi. Toute ossature réelle se déplace sous une force fictive ; une ossature symétrique ne pouvait simplement pas le montrer sous la seule gravité. Ce qui compte, c'est l'amplificateur B2 que le déplacement implique, et si les sollicitations amplifiées dans les éléments passent encore. Le déplacement est le diagnostic, pas le verdict.

« Les forces fictives signifient que je n'ai jamais besoin d'une analyse au second ordre. » Seulement jusqu'aux seuils de passage au niveau supérieur. Dès que B2 dépasse environ 1,5, ou qu'alpha_cr descend sous 10, la force fictive a fait son véritable travail : elle vous a dit de lancer l'analyse P-Delta complète.

Une force fictive est une force horizontale factice, une fraction de pour cent de la charge gravitaire, qui porte le véritable défaut d'aplomb de l'ossature dans un modèle par ailleurs d'aplomb. Elle est obligatoire parce qu'un portique symétrique sous gravité se déplace exactement de zéro et masquerait sinon sa propre sensibilité au déplacement latéral. Et elle est efficace parce que le déplacement au premier ordre qu'elle produit livre l'amplificateur B2, le même multiplicateur du second ordre qu'une analyse P-Delta calculerait, sans en lancer aucune.

Lisez B2 et l'ossature vous dit ce qu'il lui faut : à 1,02 vous avez terminé, à 1,26 vous multipliez et vous concluez, à 1,56 vous passez au niveau supérieur. CalcSteel effectue l'analyse au premier ordre avec la force fictive, rapporte le déplacement et les moments en pied et au jarret que le défaut produit, et vérifie les sollicitations amplifiées dans les éléments au regard de l'AISC 360, de l'Eurocode 3 et de la NBR 8800, sur le même moteur éléments finis dont les flèches en console et sur poutre ont reproduit la théorie analytique au chiffre près. Vous obtenez le filtre de stabilité économique et le drapeau de passage au niveau supérieur en un seul calcul, avant même de vous engager dans l'analyse coûteuse.