Poutre pour une Portée Libre de 10 m : Trois Sections Candidates, et Celle qui l'Emporte

Demandez à un ingénieur structure "quelle poutre pour une portée libre de 10 m" et la réponse rapide est une section tirée d'un tableau. Choisissez le profil dont la capacité en flexion dépasse le moment, terminé. Pour une poutre courte cette réponse est même correcte, parce que sur une portée courte c'est la résistance qui s'épuise en premier. Le piège, c'est qu'une portée libre de 10 m n'est pas courte, et sur une grande portée le critère qui s'épuise en premier n'est pas la résistance du tout. C'est la flèche.

Cet article traite une poutre concrète de bout en bout et laisse les nombres régler la question. Une poutre de plancher simplement appuyée, 10,0 m entre appuis, portant un plancher commercial léger. Nous la résolvons sur le moteur aux éléments finis de CalcSteel, vérifions le moment et l'effort tranchant face à la statique manuelle, puis mettons en concurrence trois sections candidates, un IPE 360, un IPE 400 et un IPE 450, sur la résistance, l'effort tranchant et les deux limites de flèche. Voici tout l'enjeu résumé d'avance : chacune des trois dispose de bien plus que la résistance en flexion nécessaire, le moment ne désigne jamais de gagnant, et la section qui l'emporte est la plus haute et la plus lourde des trois, choisie non pour sa capacité mais pour sa faible flèche.

Voici l'élément que nous suivons tout au long de l'article. Une poutre simplement appuyée d'une seule travée, L = 10,0 m, articulée à une extrémité et sur un appui glissant à l'autre, une ligne dans une trame de plancher où les poutres sont espacées de 3,0 m, de sorte que cette poutre reprend une bande de plancher de 3,0 m de large. La semelle comprimée est maintenue sur toute sa longueur par la dalle ou le bac acier qui repose dessus, donc le déversement n'est pas le sujet ici : c'est une poutre maintenue contre le flambement latéral et libre de développer toute sa flexion dans le plan. Il ne reste donc exactement que deux choses qui peuvent la dimensionner : la résistance pour reprendre le moment, et la rigidité pour empêcher le plancher de trop fléchir.

Deux faits à propos d'une portée de 10 m décident de tout ce qui suit. D'abord, la portée est grande, et la flèche varie avec la quatrième puissance de la portée alors que le moment fléchissant ne varie qu'avec le carré, de sorte qu'à mesure que les portées s'allongent les deux critères s'écartent et la rigidité dépasse la résistance. Ensuite, c'est un plancher, et un plancher a un occupant qui ressent une poutre qui vibre ou qui fléchit visiblement bien avant qu'elle n'approche de sa résistance. Gardez les deux en tête, parce qu'ensemble ils expliquent pourquoi le gagnant n'est pas la section la plus légère qui reprend la charge.

Prenez les pressions de plancher sur l'entraxe de 3,0 m et chacune devient une charge linéique le long de la poutre. Un plancher commercial léger donne une charge permanente d'environ 3,0 kN/m2 pour la dalle, le bac, la chape et les équipements, et une charge d'exploitation d'environ 2,5 kN/m2. Sur la bande de 3,0 m :

• Charge permanente G = 3,0 x 3,0 = 9,0 kN/m.
• Charge d'exploitation Q = 2,5 x 3,0 = 7,5 kN/m.

La résistance se vérifie sous la charge pondérée (ELU). La combinaison de gravité est 1,2G + 1,6Q = 1,2 x 9,0 + 1,6 x 7,5 = 22,8 kN/m, et cette seule charge linéique pilote le moment et l'effort tranchant. L'aptitude au service se vérifie sous les charges de service non pondérées, et il y en a deux, parce que deux choses doivent rester faibles : la flèche sous la seule charge d'exploitation, que l'occupant ressent au quotidien, et la flèche sous la charge totale, que voient les finitions et l'œil. Trois sollicitations sortent donc d'une seule poutre :

• Résistance, à partir de w = 22,8 kN/m.
• Flèche d'exploitation, à partir de la charge linéique d'exploitation de 7,5 kN/m, limitée à L/360 = 10000/360 = 27,8 mm.
• Flèche totale, à partir de la charge linéique de service totale G + Q = 16,5 kN/m, limitée à L/250 = 10000/250 = 40,0 mm.

Remarquez que nous n'avons pas encore choisi de section. Le côté sollicitation est le même pour chaque candidate, il vient de la portée et de la charge, non de l'acier. C'est ce qui rend la comparaison nette : trois sections, un seul jeu de sollicitations, et nous observons quels critères chaque section vérifie.

Placez la poutre dans le moteur CalcSteel, appliquez la charge linéique pondérée de 22,8 kN/m, et lisez les diagrammes. Pour une travée simplement appuyée sous charge uniforme, la réponse est la plus familière en calcul des structures, et le moteur la restitue exactement :

• Moment fléchissant maximal à mi-travée, M = 285,0 kN·m, conforme à wL au carré divisé par 8 = 22,8 x 10 au carré / 8 = 285,0 à quatre décimales.
• Effort tranchant maximal aux appuis, V = 114,0 kN, conforme à wL divisé par 2 = 22,8 x 10 / 2 = 114,0.
• Chaque réaction de 114,0 kN descend dans l'appui.

Ce 285 kN·m est le nombre que chaque candidate doit dépasser en résistance, et 114 kN l'effort tranchant. Les deux sont fixés par la portée et la charge. Ce qui change d'une section à l'autre, c'est la capacité qui les affronte, et, surtout, la flèche, que le diagramme ci-dessus ne montre pas mais que le moteur donne aussi. Gardez le moment de 285 kN·m en tête, parce que dans un instant nous verrons les trois candidates le dépasser, puis nous regarderons un nombre bien plus discret décider de la poutre.

Avant la course à trois, prenez vous-même la mesure de la sollicitation. Le calculateur ci-dessous est le calculateur de poutre CalcSteel. Entrez une portée de 10 m, une charge uniforme de 22,8 kN/m et des appuis simples, et il renvoie les réactions, les diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant et la flèche à mi-travée, les mêmes 285 kN·m et 114 kN que le moteur a donnés ci-dessus. Remplacez ensuite par une charge de service de 16,5 kN/m et lisez la flèche qu'il indique pour la section que vous avez choisie : ce seul nombre, non le moment, est celui qui décide d'une poutre de 10 m.

Alignez trois sections qu'un tableau de portées pourrait vous proposer pour une travée de 10 m, toutes en nuance S355 (limite d'élasticité fy = 355 MPa). Elles montent en hauteur, et avec la hauteur viennent à la fois la résistance et la rigidité, mais au prix du poids :

Lisez les deux colonnes de droite avant de commencer. Le module qui fixe la résistance en flexion, Zx, grimpe modestement de 1019 à 1702 cm3, environ 67 pour cent, sur les trois. Le moment quadratique Ix, qui fixe la flèche, grimpe de 16 270 à 33 740 cm4, plus du double. La hauteur profite bien plus à la rigidité qu'à la résistance, parce que la flèche dépend de Ix, qui croît à peu près comme le cube de la hauteur, alors que la résistance dépend du module, qui ne croît qu'avec le carré. Cet écart est toute la raison pour laquelle un gagnant en résistance et un gagnant en flèche peuvent être des sections différentes, et sur une portée de 10 m ils le sont.

Vérifiez chaque section pour le moment de 285 kN·m. Les trois profils IPE sont compacts (Classe 1) en S355 et leur semelle comprimée est maintenue par la dalle, donc chacun atteint son moment plastique complet, Mp = fy x Zx, et la capacité de calcul est phi·Mp avec le facteur de résistance phi = 0,90 :

Chaque candidate dépasse la demande. Même la plus légère, l'IPE 360, se situe à 0,88, dans sa capacité avec de la marge. L'effort tranchant est loin d'être déterminant lui non plus : l'effort tranchant pondéré de 114 kN s'oppose à une capacité d'effort tranchant de l'âme d'environ 550 kN sur l'IPE 360, un taux de travail proche de 0,2, et il ne fait que baisser sur les sections plus hautes. Si la résistance était toute l'histoire, nous prendrions l'IPE 360, la section la moins chère qui passe, et nous nous arrêterions là. Un tableau de portées ferait exactement cela. Gardez cette idée, parce qu'elle est sur le point d'être fausse.

Voici maintenant le critère que le tableau ne peut pas vous montrer. Résolvez chaque candidate pour les deux charges de service et lisez la flèche à mi-travée que le moteur indique, puis comparez-la à sa limite. La flèche suit 5wL puissance quatre divisé par 384EI, et parce qu'elle croît avec la quatrième puissance de la portée, une poutre de 10 m fléchit bien plus, pour la même charge, que les poutres courtes avec lesquelles le critère de résistance est à l'aise.

Lisez de haut en bas. L'IPE 360, gagnant en résistance à 0,88, fléchit de 31,0 mm sous la seule charge d'exploitation face à une limite de 27,8 mm, et de 68,3 mm sous la charge totale face à une limite de 40 mm. Il échoue aux deux, largement, sur une section qui avait de la résistance en réserve. L'IPE 400 est plus rigide : il passe la limite d'exploitation à 22,0 mm, mais sous la charge de service totale il fléchit encore de 48,3 mm, au-delà de la limite de 40 mm, donc il échoue aussi. Seul l'IPE 450, à 15,0 mm en exploitation et 33,0 mm en total, reste sous les deux limites. Le moment sollicitant était identique pour les trois, 285 kN·m, et le moment n'a jamais compté. La poutre est choisie par la colonne la plus discrète du tableau.

Une vérification manuelle rapide garde le moteur honnête. Pour l'IPE 400 sous la charge de service totale, 5wL puissance quatre divisé par 384EI avec w = 16,5 kN/m, L = 10 m, E = 200 GPa et l'Ix tabulé = 23 130 cm4 donne 46,4 mm. Le moteur indique 48,3 mm, quelques pour cent de plus, parce que son modèle de section idéalise les congés de laminage et porte donc un moment quadratique environ 3 pour cent en dessous du tableau. Les deux se situent au-dessus de la limite de 40 mm, donc le verdict est le même dans les deux cas : l'IPE 400 échoue au critère de flèche totale.

Mettez tous les critères sur une seule fiche et la réponse est sans ambiguïté. La section gagnante est la plus légère qui vérifie tous les critères, et sur une portée de 10 m c'est l'IPE 450 :

L'IPE 450 est 36 pour cent plus lourd que l'IPE 360 qui avait toute la résistance, et il vaut chaque kilogramme, parce que l'acier supplémentaire achète une rigidité que le critère de résistance n'a jamais demandée et dont le plancher a réellement besoin. Regardez la ligne de l'élancement : le gagnant se situe à un rapport portée/hauteur d'environ 22, juste dans la fourchette de 20 à 24 vers laquelle se tournent les concepteurs expérimentés pour une poutre de plancher, précisément parce qu'elle tend à maîtriser la flèche, alors que l'IPE 360 en échec se situe à 28, trop faible en hauteur pour sa portée. La règle empirique et le calcul concordent, et c'est le calcul que vous soumettez.

L'instinct après un critère en échec est de se tourner vers un acier plus résistant. Ici ce levier ne fait rien, et la raison mérite d'être assimilée parce qu'elle piège les gens. La flèche vaut 5wL puissance quatre divisé par 384EI, et la seule propriété du matériau qui y figure est E, le module d'élasticité. Pour l'acier de construction, E vaut environ 200 GPa pour toutes les nuances, S235, S355, S460, toutes identiques. La limite d'élasticité n'apparaît pas. Ainsi, passer l'IPE 360 de S355 à S460 augmente son moment plastique et fait chuter son taux de travail en résistance de 0,88 à environ 0,68, plus de marge sur un critère déjà vérifié, et laisse sa flèche exactement à 31,0 mm et 68,3 mm. Il échoue aux deux limites de flèche de la même quantité qu'auparavant. Vous avez acheté un acier plus résistant et n'avez rien résolu.

La flèche n'a qu'une poignée de vrais leviers, et la nuance n'en fait pas partie. Plus de hauteur (un Ix plus grand, ce qui explique pourquoi l'IPE 450 l'emporte), une portée plus courte (ajoutez un appui intermédiaire et le terme en L puissance quatre s'effondre), une contreflèche (cintrer la poutre vers le haut en atelier pour annuler la flèche due à la charge permanente), ou une action mixte (relier la poutre à la dalle pour qu'elles fléchissent ensemble et que l'Ix effectif bondisse). Sur cette poutre, si la hauteur libre interdit de passer à l'IPE 450, la contreflèche est la solution élégante : la charge permanente cause environ 26 mm de la flèche totale de l'IPE 400, donc la compenser par contreflèche ne laisse que la part de 22 mm due à la charge d'exploitation, qui reste sous les deux limites. Même section, un cintrage en atelier, et le perdant passe. Mais tournez-vous vers un acier plus résistant et la flèche ne bouge pas d'un millimètre.

Le déroulé, charge pondérée pour la résistance puis charge de service pour la flèche face à une limite en fraction de portée, est le même partout. C'est l'emballage qui diffère.

• États-Unis (AISC 360 avec ASCE 7). Résistance par LRFD, phi·Mn face au 1,2G + 1,6Q pondéré. La flèche est une question d'aptitude au service laissée à l'IBC et aux critères de projet, couramment L/360 pour la charge d'exploitation et L/240 pour la charge totale sur des éléments de plancher supportant des finitions fragiles. Le principe, selon lequel un plancher de grande portée est généralement gouverné par la flèche, est une recommandation courante.
• Europe (EN 1993-1-1 avec EN 1990). Résistance à l'état limite ultime, MEd face à Mc,Rd. Flèche à l'état limite de service, avec la combinaison caractéristique et des limites fixées dans l'Annexe Nationale, souvent autour de L/350 pour la flèche due à l'action variable et L/250 pour la totale, et la contreflèche peut explicitement être déduite.
• Brésil (NBR 8800). Les deux mêmes états limites, résistance à l'ELU et flèche à l'ELS, avec les limites de déplacement de service tabulées (poutres de plancher couramment L/350 pour la part d'exploitation et L/250 en total). Le catalogue IPE utilisé dans cet exemple correspond directement aux profils W et VS que lamine le marché brésilien.

Des symboles différents, une seule idée. Chacun de ces codes vérifie la résistance face à une charge pondérée et la flèche face à une charge de service, et sur une portée de 10 m c'est le second critère qui mord. CalcSteel exécute les deux à partir du même modèle, forme les combinaisons et reporte le taux de travail déterminant pour AISC 360, Eurocode 3 et NBR 8800 à la fois, de sorte que le cas de flèche est calculé plutôt que retenu de mémoire. Pour le côté charges, notre note sur les combinaisons de charges explique d'où viennent les 22,8 et 16,5 kN/m, et notre guide sur l'aptitude au service, la flèche et les vibrations approfondit les limites.

"Choisir la section dont la capacité dépasse le moment, puis s'arrêter." C'est le critère de résistance, et sur une portée de 10 m c'est le critère qui ne gouverne pas. Ici il vous donnerait l'IPE 360 à un taux de travail de 0,88, une section qui fléchit ensuite de 68 mm et met le plancher en échec. Dépasser le moment est nécessaire, non suffisant.

"C'est le plus grand moment qui choisit la poutre." Le moment était identique, 285 kN·m, pour les trois candidates, et il n'en a départagé aucune. Ce qui les a départagées, c'est Ix, le moment quadratique, qui n'apparaît pas du tout dans le moment. Sur une grande portée, la propriété décisive est la rigidité, non la résistance.

"Utiliser un acier à plus haute résistance pour corriger l'échec en flèche." La flèche dépend de E, qui vaut environ 200 GPa pour toutes les nuances d'acier, non de la limite d'élasticité. Un acier plus résistant augmente la capacité et laisse la flèche intacte. Pour réduire la flèche, il faut plus de hauteur, une portée plus courte, une contreflèche ou une action mixte.

"La flèche n'est qu'une coquetterie esthétique." Sur un plancher c'est une vraie limite : trop de flèche sous charge d'exploitation donne une sensation de rebond et fissure les cloisons et les plafonds, trop de flèche totale retient l'eau sur une toiture ou se voit comme un affaissement visible. C'est pourquoi les codes plafonnent les deux, et pourquoi c'est le plafond, non le moment, qui dimensionne les poutres de plancher de grande portée.

"Une portée de 10 m en acier est inhabituelle." Elle est courante, et c'est exactement la portée où l'écart entre résistance et rigidité se creuse. Pour des portées bien plus grandes, la réponse change souvent entièrement de forme, vers une poutre mixte, une section à âme évidée ou alvéolaire, ou un treillis, précisément pour acheter de la rigidité et de la hauteur sans un poids illimité.

Alors, quelle poutre pour une portée libre de 10 m ? Pas la plus légère dont la capacité dépasse le moment. Sur ce plancher, l'IPE 360 a toute la résistance nécessaire et met la poutre en échec, l'IPE 400 est plus rigide et échoue encore à la limite de flèche totale, et l'IPE 450 est la section qui l'emporte, choisie non pour sa capacité mais parce qu'elle maintient la flèche sous 40 mm. La section est un résultat du critère déterminant, et sur une portée de 10 m ce critère est la flèche.

Le côté sollicitation n'est pas une supposition, c'est l'équilibre : le moteur a reproduit wL au carré divisé par 8 et wL divisé par 2 à quatre décimales, et 5wL puissance quatre divisé par 384EI à la modélisation des congés près. Le jugement réside dans le fait de savoir quelle limite mord, et sur une grande portée c'est la rigidité, gouvernée par E et Ix, non la résistance. CalcSteel exécute les cas de charge, forme les combinaisons et reporte le critère déterminant de résistance et de flèche pour chaque candidate à la fois, de sorte que le cas de flèche est calculé, non oublié. Modélisez votre propre poutre de 10 m dans l'éditeur, mettez quelques sections en concurrence, et regardez la colonne de la flèche, non le moment, désigner le gagnant. Pour le mécanisme derrière les nombres, nos guides sur les limites de flèche et le moment d'inertie couvrent la rigidité qui décide d'une grande portée.