Viga hiperestática: el criterio detrás de la norma, con una verificación resuelta

Pídele a un ingeniero que imagine una viga hiperestática y rara vez imagina un tramo simple con extremos empotrados. Imagina la viga que corre ininterrumpida sobre una línea de pilares, un solo elemento, varios apoyos: una viga continua. Es el elemento hiperestático más común en el acero real, la viga de piso sobre tres pilares, la línea de correas sobre una fila de pórticos, la viga carril de un puente grúa que salva vano tras vano, y es donde la hiperestaticidad deja de ser una definición y empieza a cambiar lo que construyes.

Una viga continua hace tres cosas que un conjunto de tramos simples nunca hace. Redistribuye momento, trasladando la flexión del centro del tramo hacia los apoyos interiores como momento negativo. Sus apoyos pueden levantarse bajo el patrón de carga equivocado. Y el caso de carga que produce el mayor momento en el tramo no es aquel con todos los tramos cargados. Cada una de esas cosas está gobernada por el mismo criterio, el que está detrás tanto del solver como de la norma de diseño, y en este artículo lo desarrollamos sobre una misma viga continua, de dos maneras, y confirmamos cada número en el motor FEM real de CalcSteel con tres decimales. Si quieres la definición general de la hiperestaticidad y cómo contar el grado para cualquier estructura, nuestro artículo complementario sobre estructuras hiperestáticas cubre ese terreno; aquí nos quedamos en la viga.

El grado de hiperestaticidad de una viga continua es sorprendentemente fácil de contar, porque los hiperestáticos son los propios apoyos. Un solo tramo simplemente apoyado necesita exactamente dos reacciones verticales, más una restricción horizontal para ser estable en el plano, y la estática aporta justo las ecuaciones suficientes para hallarlas: es isostático. Cada apoyo interior que agregas después de eso introduce una reacción vertical más de las que la estática puede resolver, y cada uno es un hiperestático.

Así que para una viga continua sobre apoyos simples la regla es simplemente GH = número de apoyos − 2 (contando las dos reacciones verticales que el tramo isostático ya necesitaba). Una viga sobre tres apoyos es GH 1, sobre cuatro apoyos GH 2, sobre cinco apoyos GH 3, y así sucesivamente. Empotra un extremo en lugar de articularlo y agregas un hiperestático más, porque un extremo empotrado toma una reacción de momento que la articulación no. La viga de dos tramos que desarrollamos abajo se sitúa en la base de esa escalera, GH 1: tres apoyos, un hiperestático, una condición extra necesaria más allá de la estática. Esa condición es lo que aporta el teorema de los tres momentos.

Mucho antes de las matrices de rigidez, los ingenieros resolvían vigas continuas con una ecuación elegante, el teorema de los tres momentos de Clapeyron, y sigue siendo la verificación a mano más rápida que existe. Actúa sobre el hiperestático que el criterio identificó, el momento flector sobre cada apoyo interior, y convierte la compatibilidad (la viga es continua, así que no puede quebrarse en un apoyo) en una única ecuación lineal que enlaza tres momentos de apoyo consecutivos.

Para dos tramos de longitud L₁ y L₂ que se encuentran sobre un apoyo interior, con los apoyos al mismo nivel y EI constante, el teorema dice:

M_A·L₁ + 2·M_B·(L₁ + L₂) + M_C·L₂ = −6·(A₁x̄₁/L₁ + A₂x̄₂/L₂)

El lado derecho es el término de carga: para un tramo que soporta una carga uniforme w se evalúa como wL³/4. Ese es todo el método para una viga de dos tramos. Ambos extremos de nuestra viga están simplemente apoyados, así que M_A = M_C = 0, la ecuación se reduce a una sola incógnita, el momento interior M_B, y cada reacción se obtiene de la estática una vez conocido ese momento. Sin matrices, sin iteración, una línea de álgebra por apoyo interior. El criterio nos dijo que debíamos exactamente una condición de compatibilidad; la ecuación de los tres momentos es esa condición, puesta por escrito.

Mantenemos la estructura fija y cambiamos solo la carga. La viga tiene dos tramos iguales de L = 6 m sobre tres apoyos simples A, B y C, y donde está cargada soporta w = 20 kN/m. Mantenemos a propósito el mismo tramo y la misma carga que los casos de un solo tramo del artículo complementario, para que puedas ver exactamente qué le hace la continuidad a la misma viga. Dos disposiciones cuentan toda la historia:

• Caso A, ambos tramos cargados. El caso simétrico y evidente. Produce el mayor momento negativo sobre el apoyo interior.
• Caso B, un solo tramo cargado. El caso de patrón que la norma te obliga a verificar. Produce el mayor momento positivo en un tramo, y levanta el apoyo lejano de su asiento.

Ambos se construyeron en el motor FEM real de CalcSteel, cada tramo subdividido en 48 elementos, y ambos se contrastan con el teorema de los tres momentos con tres decimales. Observa qué caso gobierna cada momento; la respuesta es la razón misma por la que existe la envolvente al final.

Con ambos tramos soportando w, la viga es simétrica, así que M_A = M_C = 0 y la ecuación de los tres momentos sobre B tiene un término de carga uniforme a cada lado:

2·M_B·(2L) = −(wL³/4 + wL³/4)   ⟹   M_B = −wL²/8 = −90 kN·m

El apoyo interior toma un momento negativo de 90 kN·m, la misma magnitud a la que llegaría el pico de un tramo simplemente apoyado de este tamaño, pero atraído hacia el apoyo en lugar de quedar en el centro del tramo. La estática termina el trabajo. Cada reacción de extremo es 3wL/8 = 45 kN, el apoyo interior toma 5wL/4 = 150 kN (sirve a dos tramos), y el mayor momento positivo en cada tramo es 9wL²/128 = 50,625 kN·m, en x = 3L/8 = 2,25 m desde el apoyo exterior. El momento cruza el cero, el punto de inflexión, en x = 3L/4 = 4,5 m.

El motor de CalcSteel devuelve un momento en el apoyo interior de −90,000 kN·m, reacciones de 45,000, 150,000 y 45,000 kN que suman exactamente 240 kN = 2wL, y un pico de momento positivo en el tramo de +50,625 kN·m en x = 2,250 m. Cada número coincide. Fíjate en el trato estructural: una viga continua simétrica de dos tramos se comporta exactamente como dos vigas empotradas y apoyadas dispuestas espalda con espalda, con el apoyo interior actuando como el extremo empotrado. Por eso el 90 y el 50,625 son idénticos a los números de la viga empotrada y apoyada del artículo complementario. Luego cambiamos la carga, y la equivalencia se rompe.

Ahora carga solo el tramo izquierdo y deja el tramo derecho descargado. Esta es la disposición que la norma de diseño te obliga a considerar, y la ecuación de los tres momentos sobre B conserva el término de carga solo en el lado cargado:

2·M_B·(2L) = −(wL³/4 + 0)   ⟹   M_B = −wL²/16 = −45 kN·m

El momento de apoyo se ha reducido a la mitad, de 90 a 45 kN·m, porque ahora solo un tramo se apoya sobre él. Pero observa qué le pasa al tramo cargado. Sus reacciones pasan a ser R_A = 7wL/16 = 52,5 kN y el apoyo interior da 5wL/8 = 75 kN, así que el cortante cruza el cero más afuera, en x = 2,625 m, y el momento positivo allí sube a 49wL²/512 = 68,906 kN·m. Eso es un 36 por ciento más alto que el caso totalmente cargado, en la misma viga, puramente porque el tramo derecho vacío ya no ayuda a hacer bajar el momento negativo del apoyo sobre la carga.

Y el apoyo lejano cuenta la otra mitad de la historia. Sin nada sobre el tramo BC, la reacción en C resulta negativa, R_C = −wL/16 = −7,5 kN: la viga está intentando levantar el extremo de su apoyo. En una viga que solo descansa sobre un asiento, el extremo se eleva y el análisis que corriste, que supuso un apoyo bilateral, ya no describe la estructura real.

El motor de CalcSteel lo confirma hasta el decimal: momento en el apoyo interior −45,000 kN·m, reacciones 52,500, 75,000 y −7,500 kN (que siguen sumando 120 kN = wL, lo que aporta un tramo), y un pico de momento positivo en el tramo cargado de +68,906 kN·m en x = 2,625 m. El patrón que parecía una carga más liviana produjo el mayor momento en el tramo y un levantamiento que el caso simétrico oculta por completo.

Esta es la razón misma por la que las vigas continuas se resuelven con patrones de carga. Ningún caso de carga por sí solo te da los dos momentos que gobiernan. Superpón los dos casos y los valores de diseño salen de la superposición:

• Momento negativo máximo sobre el apoyo interior: 90 kN·m, del Caso A (ambos tramos cargados).
• Momento positivo máximo en un tramo: 68,906 kN·m, del Caso B (un solo tramo cargado), no los 50,625 kN·m del caso totalmente cargado.

Esa superposición es la envolvente de momentos, y es el verdadero entregable de un análisis de viga continua. Por simetría, cargar el otro tramo lleva su momento positivo al mismo valor de 68,906 kN·m, así que la envolvente de diseño completa carga ese pico en ambos tramos. Dimensionas el ala superior, el ala inferior y las conexiones a partir del peor valor que cada una experimenta a lo largo de todos los patrones, no de una sola corrida simétrica y prolija. Un ingeniero que verifica solo el caso totalmente cargado lee un momento en el tramo de 50,625 kN·m y dimensiona para él, y queda cerca de un cuarto por debajo de la demanda real. La redundancia que permitió a la viga descargar momento hacia sus apoyos es la misma redundancia que hace que el patrón de carga importe, y la envolvente es donde ambos efectos quedan finalmente contabilizados juntos.

"El criterio detrás de la norma" tiene dos lecturas honestas para una viga continua, y el patrón de carga está detrás de ambas.

Detrás de la norma de cargas. Como una viga hiperestática responde a dónde se ubica la carga variable, no solo a cuánta hay, las normas de cargas te exigen considerar disposiciones desfavorables. El Eurocódigo EN 1991-1-1 y su base EN 1990 te hacen colocar la acción variable en los tramos que producen el peor efecto y dejarla fuera de los demás, exactamente nuestro Caso B. La práctica norteamericana llama a la misma idea carga por patrón o carga alternada para elementos continuos, y la ABNT NBR 8800 lleva el requisito correspondiente de combinación de cargas. La carga permanente está en todas partes; la carga variable se coloca para perjudicar. La norma se escribe de esta manera precisamente porque la hiperestaticidad hace que el patrón importe.

Detrás de la norma de diseño. Las normas de diseño en acero, AISC 360, NBR 8800 y el Eurocódigo EN 1993-1-1, se construyen luego sobre esa redistribución. Permiten una redistribución limitada y controlada del momento negativo sobre los apoyos interiores de vigas continuas de sección compacta, bajando el momento de apoyo y subiendo el momento del tramo para compensar, siempre que la sección sea lo bastante dúctil para rotar y entregarlo. La redundancia que contó el teorema de los tres momentos es la misma redundancia que la norma de diseño te deja capitalizar, hasta la ductilidad que el acero puede realmente aportar. Cuéntala, aplícale el patrón, y luego gástala: ese es el criterio cerrando el ciclo.

La calculadora de abajo ejecuta el mismo método directo de rigidez que los casos resueltos, en vivo en tu navegador. Construye la viga de dos tramos, carga ambos tramos y observa cómo el momento interior cae a 90 kN·m con reacciones de 45, 150, 45 kN; luego descarga el tramo derecho y mira cómo el momento del tramo sube a 68,9 kN·m y la reacción lejana se vuelve negativa. Haz tú mismo las verificaciones: las reacciones siguen sumando la carga sobre la viga, y el momento en el apoyo interior se mantiene entre wL²/16 (un tramo) y wL²/8 (ambos tramos) cada vez.

Es gratis, sin registro para el análisis, y no se detiene en dos tramos. Agrega apoyos hasta tener una viga continua de cinco tramos que ningún método a mano disfrutaría, y aun así resuelve, aun así equilibra, y aun así traza la envolvente en el mismo instante.

Dejarás que el solver maneje las vigas continuas reales. La habilidad que importa es auditar lo que devuelve, y el criterio te dice exactamente qué auditar. Cuatro verificaciones, en orden, atrapan la inmensa mayoría de los errores de modelado en una viga continua.

1. Cuenta los hiperestáticos. Apoyos menos dos (más uno por cada extremo empotrado) es el grado. Un modelo que esperabas que fuera GH 2 y que al contar da GH 0 tiene un apoyo faltante o una liberación que no querías agregar. También te dice cuántos momentos de apoyo interior tuvo que resolver el solver.

2. Cierra el equilibrio global. Suma las reacciones verticales y deben igualar la carga total aplicada, para cada caso de carga. En el Caso B, 52,5 + 75 − 7,5 = 120 kN, exactamente wL. Si una reacción resulta negativa, no la descartes, es un levantamiento real, y sobre un asiento que solo trabaja por gravedad significa que el modelo y la estructura han tomado caminos distintos.

3. Cierra la ecuación de los tres momentos en cada apoyo interior. Esta es la verificación de compatibilidad que el equilibrio no te puede dar, una por hiperestático. Toma los momentos de apoyo que reporta el solver y ponlos de vuelta en M_AL₁ + 2M_B(L₁+L₂) + M_CL₂ = −6(...); debería equilibrarse. Para nuestra viga reproduce directamente −90 y −45 kN·m en los dos casos.

4. Acota los momentos entre los patrones. Para tramos iguales bajo una carga variable uniforme, el momento negativo del apoyo interior vive entre wL²/16 y wL²/8, y el mayor momento positivo del tramo proviene de un caso de patrón y supera el valor del tramo totalmente cargado. Si tu envolvente muestra que el mayor momento del tramo proviene de la corrida con todos los tramos cargados, olvidaste aplicar el patrón de carga.

Ejecuta esas cuatro y estarás exigiéndole al solver la misma física que habrías usado a mano, a una fracción del esfuerzo.

Verificar solo el caso totalmente cargado. El error más común en vigas continuas. La corrida simétrica con todos los tramos cargados da el máximo momento negativo en el apoyo pero subestima el momento positivo del tramo, aquí en un 36 por ciento. El momento del tramo que gobierna vive en un caso de patrón.

Ignorar el levantamiento. Una reacción negativa bajo un tramo descargado no es un artefacto de redondeo; es la viga levantándose. Sobre un asiento simple el apoyo no la sujeta hacia abajo, la viga real tiene menos apoyos activos que tu modelo, y los momentos son otra vez distintos. O detallas la conexión para que tome tracción, o verificas el caso con ese apoyo retirado.

Suponer que la sección no importa. En una viga isostática los esfuerzos internos son independientes de la sección, y en una viga continua prismática de una sola sección uniforme lo siguen siendo, que es por lo que nuestro benchmark de sección C reproduce la teoría exactamente. Pero en el instante en que los tramos tienen secciones distintas, o los apoyos ceden, los momentos se redistribuyen según la rigidez relativa. Cambia un elemento en una viga continua real y sus vecinos lo sienten.

¿Una viga continua es siempre más liviana que tramos simples? Por lo general sí, porque el momento negativo del apoyo permite que baje el momento del tramo, pero solo si además tomas el momento negativo y su conexión, y solo después de verificar el caso de patrón. El ahorro es real pero no es gratis.

¿Sigo necesitando el teorema de los tres momentos si el solver lo maneja? Sí, como verificación. Es el cálculo a mano de una línea que confirma que el solver resolvió correctamente el hiperestático, y es como atrapas una longitud de tramo equivocada o un apoyo faltante antes de que llegue al plano.

¿El caso de patrón necesita una combinación distinta? No, se aplican los mismos factores de carga; solo colocas la carga variable en los tramos desfavorables. La carga permanente permanece en cada tramo; solo la carga variable se dispone en patrón.

• La viga hiperestática que dimensionas en la práctica es la viga continua. Su grado de hiperestaticidad es el número de apoyos redundantes: apoyos menos dos, más uno por cada extremo empotrado. Nuestra viga de dos tramos es GH 1.
• El teorema de los tres momentos es el criterio a la manera clásica: una ecuación lineal por apoyo interior. Para dos tramos iguales totalmente cargados da directamente el momento interior como wL²/8.
• Cada número lo calculó el motor FEM real de CalcSteel y coincide con el teorema de los tres momentos con tres decimales. Ambos tramos cargados: −90 kN·m sobre el apoyo, reacciones 45, 150, 45 kN, tramo +50,625 kN·m. Un solo tramo cargado: −45 kN·m, reacciones 52,5, 75, −7,5 kN, tramo +68,906 kN·m.
• El patrón de carga es el criterio detrás de la norma. Lleva el momento del tramo un 36 por ciento por encima del valor totalmente cargado y levanta el apoyo lejano. Dimensionas a partir de la envolvente, momento negativo máximo 90 kN·m y momento positivo máximo 68,906 kN·m, no a partir de ningún caso por sí solo.
• Audita el solver, no confíes en él: cuenta los hiperestáticos, cierra el equilibrio para cada patrón, cierra la ecuación de los tres momentos en cada apoyo interior, y acota los momentos entre los patrones.