Calculadora de Círculo de Mohr

O círculo de Mohr é a representação gráfica do estado de tensão em um ponto. Dadas as três componentes de um estado plano de tensões — as tensões normais σx e σy e a tensão de cisalhamento τxy — todo par possível de tensão normal e cisalhante (σx′, τx′y′) que você mediria girando o elemento para um novo ângulo θ está sobre um único círculo no plano σ–τ. Christian Otto Mohr publicou a construção em 1882, e ela continua sendo a forma mais rápida de enxergar como a tensão se transforma com a orientação.

O círculo tem centro no eixo σ na tensão normal média σméd = (σx + σy)/2 e raio R = √[((σx − σy)/2)² + τxy²]. Dois fatos aparecem de graça: as tensões principais σ1 e σ2 são os pontos onde o círculo cruza o eixo σ (o cisalhamento é nulo ali), e o cisalhamento máximo no plano τmáx é igual ao raio R, ocorrendo em planos a 45° das direções principais. É esse o objetivo da ferramenta — ler σ1, σ2, τmáx e a orientação θp diretamente da geometria, sem decorar seis fórmulas de transformação.

Esta calculadora já vem resolvida ao carregar, com o caso clássico σx = 80, σy = 20, τxy = 30 MPa (σ1 = 92,43, σ2 = 7,57, τmáx = 42,43 MPa, θp = 22,5°) e — diferente das imagens estáticas que a maioria dos sites entrega — o círculo é vivo: arraste o ponto âmbar X′ (ou o controle θ) e veja as tensões no elemento físico girarem junto.

O círculo é apenas a figura geométrica das equações de transformação do estado plano de tensões. Para um elemento girado no sentido anti-horário de um ângulo θ:

Grandeza	Fórmula
Tensão normal, face x′	σx′ = (σx+σy)/2 + (σx−σy)/2·cos2θ + τxy·sen2θ
Tensão normal, face y′	σy′ = (σx+σy)/2 − (σx−σy)/2·cos2θ − τxy·sen2θ
Tensão de cisalhamento	τx′y′ = −(σx−σy)/2·sen2θ + τxy·cos2θ
Centro (média)	σméd = (σx + σy)/2
Raio	R = √[((σx−σy)/2)² + τxy²]
Principal maior	σ1 = σméd + R
Principal menor	σ2 = σméd − R
Cisalhamento máx. no plano	τmáx = R (no plano σ = σméd)
Ângulo principal	tg 2θp = 2τxy / (σx − σy) → θp até σ1
Ângulo de cisalhamento máx.	θs = θp − 45°

Dois invariantes são ótimas verificações, e a calculadora satisfaz ambos exatamente: a soma das tensões normais é constante, σx′ + σy′ = σx + σy = σ1 + σ2 para qualquer θ; e nos planos principais o cisalhamento se anula (τx′y′ = 0), que é justamente por que σ1 e σ2 ficam sobre o eixo σ. Como o ângulo aparece como 2θ nas fórmulas, uma rotação física de θ percorre 2θ no círculo — girar 45° no elemento é varrer 90° no círculo, e é por isso que os planos de cisalhamento máximo ficam a 45° dos planos principais.

1. Informe seu estado de tensão — σx, σy e τxy nos campos (MPa, ou ksi pelo botão SI ⇄ imperial). Tração é positiva; um τxy positivo é o cisalhamento que tende a girar a face +x no sentido anti-horário. Digite σ negativo para compressão.
2. Leia os resultados principais na hora — a faixa de indicadores mostra σ1, σ2, o τmáx no plano, o ângulo principal θp, o cisalhamento máximo absoluto (fora do plano) e a tensão equivalente de von Mises. Sem botão "calcular": tudo atualiza enquanto você digita.
3. Arraste o círculo. Pegue o ponto âmbar X′ e varra o círculo, ou use o controle θ. O elemento de tensão à direita gira junto e o mostrador ao vivo imprime σx′, σy′ e τx′y′ para a orientação atual — a intuição que uma calculadora estática nunca dá.
4. Vá direto às orientações-chave com um clique — θp gira o elemento para os planos principais (cisalhamento = 0), θs para os planos de cisalhamento máximo, 0° de volta ao elemento de referência.
5. Experimente um preset — cisalhamento puro, tração uniaxial, tração–compressão biaxial e estado equibiaxial estão a um clique e ajudam a criar intuição de como o círculo se move.
6. Rode a verificação normativa — escolha um aço real (o fy vem do mesmo catálogo NBR 7007 / ASTM / EN / ZAR que alimenta o editor CalcSteel) e uma norma (NBR 8800 com γa1 = 1,10, ou AISC 360 com φ = 0,90). O painel mostra a utilização η = σvM / resistência com veredito PASSA/FALHA, e o plano σ1–σ2 desenha a elipse de von Mises e o hexágono de Tresca com o seu ponto de estado — uma verificação de projeto, não só um número.
7. Vá para 3-D. Ative triaxial (σz) e informe a tensão principal fora do plano: a ferramenta desenha os três círculos, informa σI/σII/σIII, o τmáx absoluto e um von Mises 3-D verdadeiro, e os leva à mesma verificação — a capacidade triaxial que as ferramentas 2-D adiam.
8. Carregue uma seção resolvida. Depois de analisar um modelo no editor 3D do CalcSteel, o painel "Do seu modelo resolvido" lista cada barra resolvida; escolha a barra, a extremidade e a fibra (fibra externa ou linha neutra) e o σ/τ que o solver FEM produziu ali entram direto no círculo — o círculo de Mohr vira a lente de inspeção do solver real.
9. Exporte ou compartilhe de graça — baixe SVG/PNG/CSV (sem marca-d'água), ou clique em Compartilhar link para copiar um permalink que codifica o estado exato de tensão, o aço e a norma — cole num TCC, numa aula ou numa mensagem e ele reabre já resolvido.

Dica: o polo P (origem dos planos) é desenhado no círculo. Uma reta a partir do polo, paralela a qualquer plano físico, encontra o círculo de novo nas tensões que atuam naquele plano — um atalho que vale aprender.

Tensões principais são as tensões normais máxima e mínima no ponto, e atuam em planos com cisalhamento nulo. Geometricamente são os dois cruzamentos do círculo com o eixo σ, σ1 = σméd + R e σ2 = σméd − R. Sua orientação θp vem de tg 2θp = 2τxy/(σx − σy); a calculadora a informa medida do eixo x até o plano de σ1 e a reduz ao intervalo (−90°, 90°] que os engenheiros usam. As principais importam porque a maioria dos critérios de falha é escrita em função delas — tensão normal máxima (Rankine) para materiais frágeis, e os valores principais alimentam diretamente os critérios de energia de distorção e de Tresca para os dúcteis.

Cisalhamento máximo. O topo e a base do círculo dão o cisalhamento máximo no plano, τmáx = R, em planos a 45° das direções principais e acompanhado da tensão normal σméd nesses mesmos planos (detalhe que iniciantes esquecem — os planos de τmáx não são só de cisalhamento, a menos que σméd = 0). Num estado plano de tensões a terceira principal é σ3 = 0, então existem na verdade três círculos de Mohr; o cisalhamento máximo absoluto — o que governa uma verificação de Tresca — é o raio do maior deles, τabs = máx(|σ1|, |σ2|, |σ1−σ2|)/2. Quando σ1 e σ2 têm o mesmo sinal esse valor fora do plano é maior que o τmáx no plano, então a calculadora o informa à parte.

O polo (origem dos planos) é a parte elegante. Localizado o polo P no círculo, qualquer reta por P traçada paralela a um plano físico cruza o círculo de novo exatamente na (σ, τ) que atua naquele plano — sem a conta do ângulo dobrado. Converte perguntas de orientação em construções com régua e paralelas, por isso é clássico no ensino de geotecnia e mecânica. Esta ferramenta desenha e rotula o polo para você praticar o método com seus próprios números.

A maioria das ferramentas grátis de Mohr para num número de von Mises. Esta fecha o ciclo numa verificação de escoamento de verdade. Escolha um aço real e a ferramenta lê o fy do mesmo catálogo de materiais que roda no editor 3D e nas páginas de perfil do CalcSteel — NBR 7007 (MR-250, AR-350…), ASTM (A36, A572, A992…), EN 10025 (S235–S460), aços australianos e indianos, além dos aços formados a frio ZAR / S___GD. A solicitação equivalente — von Mises σvM = √(σ1² − σ1σ2 + σ2²) no estado plano, ou a forma 3-D completa no modo triaxial, com opção de Tresca — é então comparada com a resistência de projeto:

Norma	Resistência de projeto	Utilização
NBR 8800:2008 (§5.4.2.2)	fy / γa1, γa1 = 1,10	η = σvM / (fy/γa1)
AISC 360-22	φ · fy, φ = 0,90	η = σvM / (φ·fy)

O resultado é um veredito PASSA/FALHA e uma razão de utilização η que você cita direto. Ao lado, o plano de projeto σ1–σ2 desenha a elipse de von Mises (lugar geométrico de escoamento em fy), o hexágono de Tresca inscrito e o lugar tracejado da resistência de projeto, com o seu ponto de estado plotado — se o ponto está dentro da curva de projeto, a seção está segura. Escolher um perfil e um aço reais transforma uma calculadora de transformação comum numa ferramenta de projeto.

Carregue do solver real. O diferencial de destaque: depois de analisar uma estrutura no editor 3D do CalcSteel, esta ferramenta lê os esforços de extremidade do solver (N, V, M, T) de qualquer barra, combina com as propriedades da seção do perfil atribuído e coloca o (σ, τ) resultante na fibra que você escolher — a fibra externa (tensão de flexão máxima, cisalhamento nulo) ou a linha neutra (flexão nula, cisalhamento máximo) — direto no círculo. Nenhum concorrente grátis faz isso porque nenhum tem solver; aqui, o círculo de Mohr vira a lente de inspeção do seu modelo FEM real.

Convenções de sinais são a maior fonte de confusão no círculo de Mohr, então aqui está exatamente o que a ferramenta faz:

• Tensão normal σ: tração é positiva (à direita no eixo σ); compressão é negativa (à esquerda).
• Cisalhamento τxy: positivo significa que o cisalhamento na face +x aponta na direção +y — ou seja, tende a girar o elemento no sentido anti-horário. É a convenção de Gere/Hibbeler.
• Plotagem: o ponto X = (σx, −τxy) e o ponto Y = (σy, +τxy) ficam nas extremidades opostas de um diâmetro. Plotar a face x com −τxy é o truque padrão que faz uma rotação física anti-horária θ corresponder a uma varredura anti-horária de 2θ no círculo, de modo que círculo e elemento giram sempre no mesmo sentido.
• Ângulo θ: medido no sentido anti-horário a partir do eixo x de referência. O θp informado é o ângulo até o plano de σ1; θs = θp − 45° é o ângulo até o plano de cisalhamento máximo.
• Ângulo físico × ângulo no círculo: lembre do fator dois — θ no elemento é 2θ no círculo.

Se o seu livro plota cisalhamento positivo para baixo ou mede ângulos no sentido horário, os números (σ1, σ2, τmáx, |θp|) são idênticos; só a figura é espelhada. As equações de transformação que esta calculadora avalia são independentes de convenção para as magnitudes.

Os resultados são analíticos, não numéricos — a transformação em estado plano é álgebra exata, então σ1, σ2, τmáx e θp são calculados com precisão de máquina diretamente de σx, σy e τxy. Não há malha, iteração ou tolerância; o único arredondamento é na exibição (a conta interna mantém dupla precisão). Todos os valores foram conferidos contra as equações de transformação: girar o elemento para θp devolve τx′y′ = 0 e σx′ = σ1, girar para θs devolve σx′ = σméd e |τx′y′| = τmáx, e σx′ + σy′ permanece igual a σx + σy em todo ângulo — tudo satisfeito com erro < 1 × 10⁻³.

Hipóteses e escopo: por padrão é um estado plano de tensões — σz = τxz = τyz = 0, modelo correto para placas finas, superfícies livres e a fibra externa de uma viga ou eixo — e o cisalhamento absoluto e o von Mises informados já levam em conta o círculo σ3 = 0. Ative o modo triaxial para fornecer a principal fora do plano σz diretamente (ainda com z principal, τxz = τyz = 0): a ferramenta desenha os três círculos e calcula o von Mises 3-D verdadeiro √[((σI−σII)²+(σII−σIII)²+(σIII−σI)²)/2] e τabs = (σI−σIII)/2. A verificação normativa é real: a tensão equivalente é comparada ao fy de um aço do catálogo com o coeficiente da norma (NBR 8800 γa1 = 1,10; AISC 360 φ = 0,90), gerando a utilização PASSA/FALHA. Para montar automaticamente a tensão governante de vários casos de carga, ou rodar a verificação completa de barra/ligação, continue no editor 3D do CalcSteel — de onde você também pode carregar uma seção resolvida direto nesta ferramenta.