Método do Trabalho Virtual: Calculando uma Flecha Sem Nenhuma Equação Diferencial

Todo curso de mecânica ensina a flecha de uma viga da mesma forma: parte da equação da linha elástica EI y'' = M(x), integra uma vez para obter a rotação, integra de novo para obter a flecha, e sobram duas constantes de integração que só as condições de contorno conseguem fixar. Funciona. Mas também é um imposto que você paga de novo toda vez que a pergunta muda. Quer a rotação em vez da flecha? Reavalie tudo. Quer o valor no quarto do vão em vez do meio do vão? Reavalie tudo de novo. Passe para um pórtico, onde a linha elástica se curva ao redor de um canto rígido, e não existe sequer um y(x) único e organizado para integrar. Passe para uma treliça e a equação diferencial nunca foi a ferramenta certa, para começo de conversa.

O método do trabalho virtual, também chamado de método da carga unitária, descarta a equação diferencial e a substitui por um único número que você monta a partir de dois diagramas de força. A ideia em uma frase: para encontrar o deslocamento em um ponto, aplica-se ali uma carga unitária imaginária, e iguala-se o trabalho externo que essa carga unitária realizaria através do deslocamento real ao trabalho interno de suas forças através das deformações reais. Rearranjada, essa igualdade é o deslocamento. Sem segunda integração, sem constantes, sem condições de contorno para perseguir. Este artigo resolve o método do início ao fim, duas vezes, com o motor de elementos finitos (FEM) do CalcSteel em produção como árbitro: uma viga de aço real em que uma única análise produz duas respostas diferentes, e uma treliça de aço real em que todo o cálculo cabe em uma tabela de cinco linhas.

O princípio do trabalho virtual diz que, para um corpo em equilíbrio, o trabalho externo realizado por um sistema de forças ao percorrer qualquer conjunto compatível de deslocamentos é igual ao trabalho interno realizado por suas tensões através das deformações correspondentes. O método da carga unitária é um uso engenhoso desse princípio. Monta-se um sistema virtual (fictício): a mesma estrutura, com todas as cargas reais removidas, carregando uma única carga unitária colocada exatamente no ponto e exatamente na direção do deslocamento que se quer (uma força unitária para uma translação, um binário unitário para uma rotação). Essa carga unitária é o sistema de forças externo, e as deformações reais são os deslocamentos pelos quais ele percorre.

O trabalho virtual externo é então simplesmente 1 × delta, a carga unitária vezes o deslocamento desconhecido. O trabalho virtual interno é a soma, em toda a estrutura, de cada força interna virtual atuando ao longo da deformação real que ela provoca. Para uma barra em flexão, a curvatura real é M/EI, então a densidade de trabalho interno é m × (M/EI); para uma barra sob carga axial, o alongamento real é NL/EA, então é n × (NL/EA). Igualando externo a interno, chega-se à equação mestra, uma única linha que cobre vigas, pórticos e treliças:

1 · delta = integral de (M m / EI) ds + integral de (N n / EA) ds + integral de (V v / GA) ds + integral de (T t / GJ) ds

Aqui as maiúsculas (M, N, V, T) são as forças internas reais e as minúsculas (m, n, v, t) são as forças virtuais vindas da carga unitária. Mantém-se apenas os termos que a estrutura de fato possui: uma viga esbelta é quase flexão pura, uma treliça é axial pura, um eixo é torção pura. Tudo o que vem a seguir é apenas essa equação, avaliada.

Reduzido a um procedimento, calcular qualquer flecha ou rotação isolada são quatro movimentos:

1. Sistema real. Aplique as cargas reais e encontre o diagrama de forças internas real: M(x) para uma viga ou pórtico, a força axial N em cada barra da treliça. Essa é a única análise que você já ia fazer de qualquer forma; aqui, o motor FEM a produz.
2. Sistema virtual. Remova todas as cargas reais. Aplique uma única carga unitária exatamente no local e na direção do deslocamento que você quer: uma força unitária para uma translação, um binário unitário para uma rotação. Encontre seu diagrama interno m(x) ou n. Por carregar apenas uma carga unitária, esse diagrama é sempre simples: retas por trechos para uma viga, uma solução rápida de nós para uma treliça.
3. Multiplique. Integre o produto M · m ao longo de cada barra (vigas e pórticos), ou some n · N · L sobre as barras (treliças).
4. Divida pela rigidez. Divida o termo de flexão por EI e o termo axial por EA. O resultado é o deslocamento. Seu sinal indica se o movimento acompanha a carga unitária (positivo) ou vai contra ela (negativo).

O motivo de isso superar a dupla integração na prática é que o passo 1 acontece uma única vez. Cada pergunta nova, um ponto diferente, uma rotação, o deslocamento relativo entre dois nós, só troca o sistema virtual barato do passo 2. É exatamente isso que faremos a seguir: uma única análise real de viga, dois deslocamentos diferentes.

Considere uma viga biapoiada IPE 360, vão L = 6,0 m, carregando uma carga uniforme w = 15 kN/m (uma carga distribuída típica de viga de piso), em aço grau MR250. As reações são wL/2 = 45 kN em cada extremidade. O momento fletor real é uma parábola, nula nos apoios e com pico no meio do vão:

M(x) = 45x − 7,5x^2 (kN·m, x em m), com M_max = wL^2/8 = 67,5 kN·m.

Construímos essa viga no motor FEM do CalcSteel em produção (o vão discretizado em oito elementos). Ele retorna as reações e M_max = 67,500 kN·m, batendo na casa decimal. Ele também reporta a seção que de fato usou: o motor recalcula as propriedades da seção a partir da geometria e retorna A = 72,7 cm^2 (batendo com o catálogo) e um momento de inércia I = 15 728 cm^4, cerca de 3 por cento abaixo do valor de tabela de 16 270 cm^4, porque as mesas inclinadas e os raios de concordância da alma ficam fora da fórmula fechada. Usamos o I do próprio motor do início ao fim, então a integral feita à mão e a flecha do FEM chegam ao mesmo número. Com E = 200 GPa, isso dá EI = 31 456 kN·m^2. Agora fazemos à viga duas perguntas diferentes, e respondemos as duas a partir deste único diagrama.

Primeira pergunta: a flecha vertical no meio do vão. Monte o sistema virtual: remova w e pendure uma única força unitária para baixo (1) no meio do vão. Seu diagrama de momento m(x) é um triângulo, nulo nos dois apoios e com pico de L/4 = 1,5 kN·m no centro. A flecha é a equação mestra com apenas o termo de flexão:

delta = (1/EI) · integral de M(x) m(x) dx

Multiplicando a parábola real pelo triângulo virtual ao longo do vão, obtém-se integral de M m dx = 253,125 kN·m^3, um produto puramente geométrico que não conhece a seção. Divida por EI:

delta = 253,125 / 31 456 = 0,008047 m = 8,05 mm.

Isso é exatamente o clássico 5wL^4/384EI, e o nó do meio do vão no motor FEM reporta 8,047 mm, o mesmo valor na casa decimal. Sem constantes de integração, sem condições de contorno. E repare no que fez o trabalho: um triângulo vezes uma parábola, uma integral, uma divisão.

Segunda pergunta, e é aqui que o método mostra seu valor: a inclinação (rotação) no apoio esquerdo. O sistema real não muda, então M(x) é a mesma parábola. Só o sistema virtual muda: remova w e aplique um binário unitário (1 kN·m) no apoio esquerdo. Seu diagrama de momento m-bar(x) é uma reta que vai de 1 no apoio esquerdo até 0 no direito.

Como m-bar é uma única reta ao longo de todo o vão, a multiplicação é um único passo da regra de Vereshchagin: pegue a área da parábola real e multiplique pela ordenada do diagrama virtual reto no centroide dessa área. A área da parábola é (2/3) × L × M_max = (2/3) × 6 × 67,5 = 270 kN·m^2, seu centroide está no meio do vão, e m-bar ali vale 0,5. Então integral de M m-bar dx = 270 × 0,5 = 135 kN·m^2, e:

theta = 135 / 31 456 = 0,004292 rad = 0,246 graus.

Isso é exatamente wL^3/24EI, e a rotação no nó do motor FEM é 0,00429 rad. Uma única análise real agora produziu duas respostas independentes, uma flecha e uma rotação, cada uma pelo custo de um diagrama virtual de uma linha. Peça a flecha no quarto do vão e é o mesmo movimento pela terceira vez (o motor a coloca em 5,73 mm). Esse reaproveitamento é a razão de o método existir.

O passo que parece mágica, substituir uma integral por um único produto, é a regra de Vereshchagin, e ela é exata sempre que pelo menos um dos dois diagramas for uma reta ao longo do trecho. Nesse trecho:

integral de M m dx = (área de um diagrama) × (ordenada do diagrama reto no centroide do primeiro).

Uma pequena tabela dos pares comuns, retângulo por retângulo, triângulo por triângulo, parábola por triângulo, e assim por diante, transforma toda flecha de viga e pórtico em áreas e ordenadas de centroide que se leem direto de um esboço. A análise estrutural usa essas tabelas de acoplamento exatamente para que ninguém precise integrar um produto de diagramas à mão.

Dois cuidados mantêm isso honesto. Primeiro, o atalho exige que um dos diagramas seja reto; uma parábola vezes uma parábola precisa ser integrada ou dividida em partes. Segundo, uma quebra conta. O triângulo virtual do meio do vão acima se dobra no centro, então, a rigor, você divide o vão na quebra e soma dois produtos (cada um um trecho reto vezes a parábola); ainda assim dá 253,125, ainda pura aritmética. O diagrama virtual da rotação no apoio não tinha quebra, então foi um único 270 × 0,5.

Uma barra de treliça carrega apenas força axial, constante ao longo do seu comprimento, então a integral de flexão colapsa numa soma com uma linha por barra. Não há absolutamente nenhuma equação diferencial numa treliça, para começar:

delta = soma de (n N L / EA)

Considere uma treliça tipo tesoura com pendural (king-post): um banzo inferior passando por L(0,0), M(3,0), R(6,0) em metros, com um vértice em T(3,3); as barras são os banzos inferiores LM e MR, as diagonais LT e TR, e o pendural vertical TM. Ela é articulada em L, sobre um apoio móvel em R, e uma carga P = 40 kN é pendurada no nó inferior central M. Cada barra é uma RHS 90x90x5 (A = 17,0 cm^2), grau MR250.

As forças reais vêm do método dos nós, e o motor FEM as retorna na casa decimal: banzos LM = MR = +20 kN (tração), diagonais LT = TR = −28,28 kN (compressão, −P/√2), vertical TM = +40 kN (tração). Queremos a flecha vertical em M, então o sistema virtual é uma carga unitária para baixo em M. Como a geometria e os apoios não mudam, suas forças de barra são simplesmente n = N/P. Todo o cálculo cabe em uma tabela:

Depois divida pela rigidez axial EA = 17,0 cm^2 × 20 000 kN/cm^2 = 340 000 kN:

delta = 349,7 / 340 000 = 0,00103 m = 1,03 mm.

O nó M do FEM cai 1,029 mm. Uma flecha de aço real obtida a partir de cinco linhas de aritmética, sem nenhuma equação diferencial à vista.

A mesma equação mestra se expande em três direções que valem a pena conhecer.

Pórticos e todas as ações de uma vez. Um pórtico simplesmente carrega mais termos: delta = integral de (Mm/EI) + integral de (Nn/EA) + integral de (V v/GA) + integral de (Tt/GJ). Você soma os termos que a estrutura tem e descarta o resto. Descartamos cortante e axial da viga e ainda assim batemos com o FEM na casa decimal, porque, para uma viga esbelta, eles são genuinamente desprezíveis; uma treliça mantém apenas o termo axial; um eixo mantém apenas a torção. A contabilidade nunca muda: diagrama real vezes diagrama virtual sobre a rigidez.

Estruturas estaticamente indeterminadas. O trabalho virtual é o motor do clássico método das forças (método da flexibilidade). Você libera a estrutura para uma versão determinada, trata cada hiperestático como uma carga unitária desconhecida, usa a integral da carga unitária para calcular os deslocamentos que os hiperestáticos precisam anular, e resolve um pequeno sistema de compatibilidade para eles. É a mesma integral, agora impondo compatibilidade em vez de reportar uma flecha. Veja nossos artigos irmãos sobre onde o método manual para e a verificação resolvida de viga contínua.

Reciprocidade de graça. Como M m e m M são o mesmo produto, a reciprocidade de Maxwell-Betti aparece de bandeja: a flecha em A devido a uma carga unitária em B é igual à flecha em B devido a uma carga unitária em A. Isso não é só elegante, é uma auditoria gratuita para qualquer coeficiente de influência que você calcular.

A calculadora abaixo é a mesma viga biapoiada. Ajuste o vão para 6 m e uma carga uniforme de 15 kN/m, escolha uma IPE 360, e leia a flecha máxima: é o 8,05 mm que você acabou de montar multiplicando uma parábola e um triângulo, agora mostrado ao lado do limite normativo de flecha (L/250, L/360, e assim por diante) para que você veja a verificação de serviço no mesmo lugar. Mude a seção ou a carga e a flecha acompanha ao vivo, que é a forma mais rápida de sentir como delta escala com L^4 e 1/I.

Ela calcula a flecha máxima da viga diretamente pela forma fechada, então use-a como conferência instantânea de qualquer integral de trabalho virtual que você fizer à mão: se sua resposta pelo produto de diagramas e esse número divergirem, um dos dois tem um erro. É gratuita e não exige login para o cálculo.

Você vai deixar um solver ou uma calculadora produzir a maioria das flechas. A habilidade que vale a pena manter é auditá-las, e o trabalho virtual dá conferências rápidas e baratas.

1. Uma convenção de sinais para os dois sistemas. Use a mesma regra de sinal para M e m (e para N e n). Uma resposta positiva significa que o deslocamento real está na direção da carga unitária; negativa significa o oposto. Misturar convenções entre o sistema real e o virtual é o erro silencioso mais comum.

2. A carga unitária corresponde à incógnita. Uma translação precisa de uma força unitária e sai em unidade de comprimento; uma rotação precisa de um binário unitário e sai em radianos. Se uma consulta de rotação usou uma força unitária, as dimensões não vão fechar.

3. Reciprocidade é uma reconferência de graça. Troque o ponto de carga com o ponto de medição; Maxwell-Betti diz que você tem que obter o mesmo número. Custa um sistema virtual extra e pega erros de transcrição.

4. Vereshchagin exige um diagrama reto. Se os dois diagramas se curvam ao longo de um trecho, o atalho de área vezes centroide é inválido ali: divida nas quebras ou integre aquele trecho. Uma parábola vezes uma parábola é a armadilha clássica.

5. Confira no nó do FEM. O solver reporta o deslocamento nodal diretamente. Sua integral manual deveria bater com ele; aqui, as duas conferências resolvidas bateram até a terceira casa decimal (8,05 vs 8,047 mm, 1,03 vs 1,029 mm). Uma diferença maior que arredondamento significa que falta um termo ou que um diagrama está errado.

Deixar a carga real no sistema virtual. O sistema virtual carrega SOMENTE a carga fictícia unitária. Se o w ou o P real ainda estiver nele enquanto você lê m, o diagrama virtual está errado, e todo produto construído a partir dele também.

Usar uma força quando se quer uma rotação. Uma força unitária dá uma translação; um binário unitário dá uma rotação. Elas são duais, e escolher a errada dá uma resposta com as dimensões erradas.

Multiplicar dois diagramas curvos com o atalho. A regra de Vereshchagin exige que um diagrama seja reto ao longo do trecho. Uma parábola contra outra parábola precisa ser integrada ou dividida; aplicar área vezes centroide cegamente ali é simplesmente errado.

Descartar os termos axial e cortante quando eles importam. Para vigas e pórticos esbeltos, a flexão domina e a integral única de Mm/EI basta (aqui ela bateu com o FEM na casa decimal). Para barras curtas e altas, ou quando você quer especificamente o encurtamento axial, mantenha a integral de Nn/EA e o termo de cortante.

Funciona para estruturas estaticamente indeterminadas? Sim, como motor do método das forças: a mesma integral da carga unitária, usada para impor compatibilidade nos hiperestáticos.

A seção precisa ser prismática? Não. EI pode variar ao longo da barra; a integral simplesmente carrega I(x), ou você soma trecho por trecho com a rigidez de cada trecho.

Por que um FEM matricial bate tão exatamente com esse método manual clássico? Porque a solução do método dos deslocamentos por elementos finitos para uma viga de Euler-Bernoulli prismática é nodalmente exata sob carga distribuída, e o trabalho virtual é exatamente a afirmação de energia sobre a qual o método dos elementos finitos é construído. São duas visões de um mesmo princípio, e é por isso que concordam até a casa decimal.

• O trabalho virtual (método da carga unitária) calcula diretamente uma flecha ou rotação, sem equação diferencial e sem constantes de integração: 1 · delta = integral de Mm/EI ds para flexão, soma de nNL/EA para treliças.
• A receita tem quatro passos: diagrama real (M ou N), uma única carga unitária no alvo para o diagrama virtual (m ou n), multiplique os dois, divida por EI ou EA. Uma força unitária dá uma translação; um binário unitário dá uma rotação.
• A regra de Vereshchagin transforma a multiplicação em aritmética: área de um diagrama vezes a ordenada do diagrama reto no centroide dessa área. Nenhum sinal de integral, desde que um diagrama seja reto ao longo do trecho.
• Resolvido numa viga IPE 360 (L = 6 m, w = 15 kN/m) no motor FEM: flecha no meio do vão de 8,05 mm e rotação no apoio de 0,00429 rad, ambas a partir de uma única análise real, cada uma batendo com o solver na casa decimal.
• Resolvido numa treliça tipo tesoura com pendural (RHS 90x90x5, 40 kN): a flecha do nó carregado é 1,03 mm a partir de uma soma de cinco linhas de nNL/EA, batendo de novo com o nó do FEM. O mesmo princípio impulsiona o método das forças e entrega de graça a reciprocidade de Maxwell-Betti.