Tensão Verdadeira e Tensão de Engenharia: o Critério de Estricção e uma Verificação Resolvida

Um único ensaio de tração produz duas curvas tensão-deformação, e o trabalho estrutural as usa em duas salas diferentes. A curva de engenharia divide a força medida pela seção transversal original, σ_eng = P/A₀. É a curva em que a norma vive: f_y e f_u são pontos sobre ela, e um artigo companheiro defende por que toda prescrição de dimensionamento mantém deliberadamente esse valor de engenharia. A curva verdadeira divide a mesma força pela seção transversal real naquele instante, σ_true = P/A_i, a área que já afinou sob carga. Essa é a curva em que o material vive, e a curva que você precisa entregar a um solver não linear, a uma simulação de conformação ou a um modelo de fratura.

Este artigo trata da segunda curva: como ela se relaciona com a primeira, a conversão de uma linha entre elas, o critério que prevê exatamente onde as duas se separam, e como construir uma curva tensão-deformação verdadeira utilizável para análise. Ancoramos isso com uma verificação resolvida em um tirante real de barra redonda A572-50, usando o motor de elementos finitos do CalcSteel para fixar o trecho elástico até a quarta casa decimal antes de percorrermos a curva até a estricção à mão. O tema é o oposto do artigo companheiro: não por que a diferença é segura de ignorar numa verificação de norma, mas o que fazer no momento em que você deixa a norma para trás.

Ambas as curvas são construídas a partir da mesma força medida P, do comprimento original L₀ e da área original A₀. Quatro definições:

• Tensão de engenharia, σ_eng = P / A₀: a carga sobre cada milímetro quadrado com que a barra começou.
• Deformação de engenharia, ε_eng = ΔL / L₀: o alongamento como fração do comprimento original.
• Tensão verdadeira, σ_true = P / A_i: a carga sobre a área instantânea A_i, que encolhe conforme a barra se alonga (contração de Poisson na fase elástica, depois escoamento plástico a volume constante).
• Deformação verdadeira, ε_true = ln(L_i / L₀) = ln(1 + ε_eng): a soma de cada alongamento incremental dL/L integrado ao longo da deformação.

Na tração A_i é menor que A₀, então a tensão verdadeira é sempre a maior das duas, e a deformação verdadeira é sempre a menor (porque ln(1 + x) < x). A distinção é invisível enquanto a barra mal se move e cresce à medida que ela se deforma. As medidas de engenharia estão ancoradas na geometria que você pode medir com um paquímetro antes do ensaio; as medidas verdadeiras acompanham a geometria que de fato existe a cada instante.

As duas curvas não são independentes. Enquanto a deformação for uniforme ao longo da barra (antes de qualquer estricção se formar) e o escoamento plástico conservar o volume, A_iL_i = A₀L₀. Isso dá A_i = A₀ / (1 + ε_eng), e portanto:

σ_true = σ_eng (1 + ε_eng)    e    ε_true = ln(1 + ε_eng)

Veja o que isso significa: o fator de conversão (1 + ε) depende apenas da deformação, não do material nem do nível de tensão. Então o tamanho da diferença é decidido inteiramente por quanto a barra se alongou. Esse único fato é toda a história de quando a tensão verdadeira e a de engenharia importam, exposta em toda a faixa abaixo.

As linhas do topo são a razão pela qual a norma mantém a tensão de engenharia: nas deformações de projeto a diferença é um erro de arredondamento, e seu valor exato é fixado apenas pela deformação. As linhas de baixo são a razão pela qual engenheiros de materiais e de conformação nunca usam nada além da tensão verdadeira: lá fora, onde o aço é deliberadamente levado, os dois números diferem em dezenas por cento. Duas condições dependem da fórmula, e são as letras miúdas que as pessoas esquecem. Ela vale apenas enquanto a seção permanece uniforme, então morre no instante em que a barra sofre estricção, e apenas enquanto o volume é conservado, o que é um bom modelo para o escoamento plástico (coeficiente de Poisson efetivamente 0,5) mas não para a faixa elástica (cerca de 0,3, em que a barra de fato muda ligeiramente de volume). Na faixa elástica, portanto, a forma a volume constante superestima levemente a diferença, o que a torna a mais segura de citar.

Tudo acima pressupôs deformação uniforme. O critério que diz exatamente quando essa hipótese se rompe é o de Considère, e é a ideia mais aguçada de todo este assunto. Uma barra dúctil em tração é uma corrida entre dois efeitos: o encruamento torna o aço mais forte à medida que ele se deforma, enquanto a seção que afina faz com que ela suporte menos carga para uma dada tensão. No começo, o encruamento vence e a carga sobe. A estricção começa no instante em que a seção perde essa corrida, o ponto de carga máxima, que é também a resistência última de engenharia f_u.

Escrever dP = 0 com P = σ_trueA_i e volume constante fornece o critério em medidas verdadeiras:

dσ_true / dε_true = σ_true

A estricção começa onde a inclinação da curva tensão-deformação verdadeira iguala a sua própria altura. Se você modelar a região de encruamento com uma lei de potência (a forma de Hollomon) σ_true = K ε_trueⁿ, o critério se resume a uma linha: dσ_true/dε_true = nK ε_trueⁿ⁻¹, e igualar isso a K ε_trueⁿ dá ε_true = n no início da estricção. O expoente de encruamento n é a deformação verdadeira em que a barra começa a sofrer estricção. Convertendo de volta, o alongamento uniforme (de engenharia) é eⁿ − 1. Para um aço estrutural dúctil com n em torno de 0,16, isso é uma deformação uniforme de cerca de 17%, razão pela qual ensaios de corpos de prova de aços estruturais reportam alongamentos uniformes nessa faixa. Este é o critério para o qual o título do artigo aponta: não uma prescrição da norma, mas a lei do material que decide onde a curva de engenharia da norma tem permissão de virar para baixo.

A razão para se importar com tudo isso na prática é que um modelo de elementos finitos não linear do aço precisa de uma curva tensão verdadeira versus deformação verdadeira (ou plástica) como entrada, e o dado que você tem é uma curva de engenharia de corpo de prova. Eis como transformar uma na outra.

• Ramo elástico. Até o escoamento, mantenha a reta elástica σ = Eε com E = 200 GPa. A correção verdadeira aqui fica abaixo de 0,2% (veja o tirante resolvido adiante), então não muda nada; a maioria dos solvers recebe E e f_y diretamente.
• Ramo plástico uniforme. Do escoamento até o ponto último, converta cada par de engenharia com σ_true = σ_eng(1 + ε) e ε_true = ln(1 + ε). Depois separe a deformação plástica que o solver quer: ε_pl = ε_true − σ_true/E. Este ramo é exato e é o cavalo de batalha do modelo.
• Após a estricção. A conversão elegante é inválida além de f_u porque a deformação deixa de ser uniforme e o estado de tensão na estricção é triaxial. Se a sua análise vai tão longe, você ou mede a área da estricção diretamente, ou aplica uma correção de Bridgman, ou extrapola a lei de potência σ_true = K ε_trueⁿ e a aceita como modelo, não como medição.

Pule essa conversão e alimente o solver com a curva de engenharia crua, e você lhe diz que o material amolece após f_u. Ele não amolece: a queda da curva de engenharia é um artefato de dividir uma carga que cai por uma área original fixa. Um solver alimentado com essa curva ou prevê amolecimento e localização espúrios, ou não converge. O erro grave mais comum na modelagem não linear de aço é exatamente esse.

Agora meça em vez de afirmar. O objeto mais honesto para um estado de tensão puramente axial é um tirante de barra redonda, que é ao mesmo tempo uma barra estrutural real (tirantes de contenção de terças, barras de contraventamento, tirantes de marquises) e a geometria exata de um corpo de prova redondo de tração da ASTM E8. Considere uma barra Ø 45,1 mm, A = 16,0 cm², com 6 m de comprimento, em A572-50 (f_y = 345 MPa).

Nós a modelamos no motor de elementos finitos do CalcSteel, o mesmo solver por trás das calculadoras. Sob uma tração de serviço de N = 276 kN o motor retorna a força axial na barra como 276,0 kN (equilíbrio, como deve ser), a área da seção como A = 16,0 cm², e o alongamento da extremidade carregada como 5,175 mm. Esse último número é a verificação do próprio motor: a forma fechada N L / (A E) = 276 × 600 / (16,0 × 20000) = 0,5175 cm = 5,175 mm, coincidindo até a terceira casa decimal. A rigidez está certa, então a tensão e a deformação que extraímos dela são confiáveis, e tudo daqui para a frente é aritmética que o material de fato obedece.

Transforme a análise nas duas tensões e depois percorra a curva. Na carga de serviço, a tensão de engenharia é a força sobre a área original: σ_eng = 276 kN / 16,0 cm² = 17,25 kN/cm² = 172,5 MPa. A deformação é essa tensão sobre o módulo, ε = 172,5 / 200000 = 0,000863, o mesmo valor que os 5,175 mm sobre 6000 mm do motor fornecem diretamente. A tensão verdadeira aplica a conversão: σ_true = 172,5 × 1,000863 = 172,65 MPa. O material suporta 172,65 MPa; seu modelo, sua verificação de norma e sua calculadora todos dizem 172,5 MPa. A diferença é de 0,15 MPa, ou 0,086%.

Leve o tirante até o primeiro escoamento. σ = f_y = 345 MPa exige N = 34,5 kN/cm² × 16,0 cm² = 552 kN. Reexecute o motor em N = 552 kN e ele retorna σ = 345,0 MPa, um alongamento de 10,350 mm (então ε = 10,350 / 6000 = 0,001725, exatamente a deformação de escoamento do A572-50), e a força axial de volta como 552,0 kN. Converta: σ_true = 345,0 × 1,001725 = 345,60 MPa, ε_true = ln(1,001725) = 0,001724. No único ponto com que a norma se importa, o primeiro escoamento, a tensão verdadeira está 0,60 MPa acima do f_y tabelado, três décimos de um por cento, e no sentido a favor da segurança.

Agora deixe a norma para trás, que é todo o propósito deste artigo. Leve o A572-50 desse mesmo tirante ao longo da sua curva verdadeira com n em torno de 0,16. Considère põe o início da estricção em ε_true = 0,16, uma deformação de engenharia de e^0,16 − 1 = 17,4%, na resistência última de engenharia f_u = 450 MPa. A tensão verdadeira ali é σ_true = 450 × 1,174 = 528 MPa, já 17% acima do valor de engenharia. Depois disso a barra sofre estricção: a tensão de engenharia divide uma carga que cai pelos 16,0 cm² originais fixos e desliza para baixo até a fratura, enquanto a tensão verdadeira divide essa mesma carga pela área da estricção que colapsa e continua subindo bem além de 600 MPa. Mesma barra, mesmo ensaio, três regimes: idênticos até a terceira casa decimal em serviço, um erro de arredondamento no escoamento, e dois números completamente diferentes na ruptura.

Reproduza o exercício. Na calculadora abaixo, escolha um aço (experimente o A572-50, o aço do tirante), defina uma seção e uma carga, e leia a tensão que ela reporta. Divida essa tensão por 200.000 MPa para obter a deformação ε, depois multiplique a tensão por (1 + ε) para a tensão verdadeira. Você verá a correção ficar na terceira ou quarta casa decimal para qualquer coisa aquém do escoamento.

Uma reviravolta que vale a pena tentar: esta é uma coluna em compressão, e ali o sinal da correção se inverte. A seção engorda sob compressão, então a área real cresce, A_i > A₀, e a tensão verdadeira fica logo abaixo do valor de engenharia, σ_true = σ_eng(1 − ε) em primeira ordem. Nas deformações de projeto ela é de novo desprezível, e a compressão é governada pela flambagem muito antes que ela pudesse importar, que é exatamente o que esta ferramenta calcula.

Nada disso aparece numa verificação de resistência de barra, e o artigo companheiro explica por que não deve aparecer. Mas no momento em que o aço é deliberadamente levado a grande deformação plástica, a curva verdadeira é a única descrição correta, e recorrer à curva de engenharia é um erro de verdade:

• Análise não linear por elementos finitos. Qualquer análise que acompanhe o aço além do escoamento, ductilidade de ligação, fusíveis sísmicos, colapso plástico, explosão, impacto, precisa ser alimentada com tensão verdadeira versus deformação verdadeira (ou plástica), construída como na seção acima. A curva de engenharia faz o modelo amolecer artificialmente após f_u.
• Conformação a frio. Dobrar uma chapa na prensa dobradeira ou perfilar a frio um perfil impõe de 10% a 30% de deformação na dobra. A força de conformação, o retorno elástico e a tensão residual dependem todos da tensão de escoamento (verdadeira) ali; a curva de engenharia, já em queda, enganaria feio.
• Fratura e fadiga de baixo ciclo. A redução de área, a deformação verdadeira de fratura e as relações deformação-vida por trás do detalhamento sísmico são todas escritas em medidas verdadeiras, porque é ali que vive o estado real do material.

Há um lugar onde os dois mundos se encontram dentro da norma, e vale nomeá-lo. A razão mínima f_u/f_y e o alongamento mínimo que todo aço estrutural precisa atender são exigências em tensão de engenharia cujo propósito inteiro é garantir uma longa pista plástica, justamente a região onde a curva verdadeira faz o seu trabalho. A norma verifica resistência em tensão de engenharia e compra ductilidade, medida do mesmo modo, para proteger uma reserva plástica que ela descreverá em tensão verdadeira no dia em que tiver de modelar essa reserva sendo gasta.

Alimentar um solver não linear com uma curva de engenharia. O erro característico. Os modelos de material esperam tensão verdadeira versus deformação verdadeira (ou plástica); a curva de engenharia diz ao solver que o aço enfraquece após f_u, o que nunca acontece.

Aplicar σ_true = σ_eng(1 + ε) após a estricção. A conversão pressupõe deformação uniforme e morre na estricção. Além dela o estado é triaxial e localizado; a tensão verdadeira precisa de uma área de estricção medida ou de uma correção de Bridgman, não da fórmula elegante.

Achar que f_u é a maior tensão que o aço já atinge. f_u é o pico da curva de engenharia. A tensão verdadeira na fratura é muito maior, muitas vezes de 1,5 a 2 vezes f_u, porque a área real da estricção é uma fração da original.

Ler a queda pós-último como enfraquecimento do material. A curva de engenharia cai após f_u apenas porque divide uma carga que encolhe por uma área original fixa. O material encrua até a fratura; a tensão verdadeira nunca diminui.

Qual tensão a minha calculadora reporta? Tensão de engenharia, sempre, porque ela calcula força sobre a seção modelada (original), que é o número certo para comparar com um f_y ou f_u de norma. Para obter a tensão verdadeira, multiplique por (1 + ε).

Como isto difere do artigo companheiro focado na engenharia? Aquele responde à pergunta da faixa de dimensionamento: por que a norma mantém o valor de engenharia e quase nada perde. Este responde à pergunta oposta: o que é a curva verdadeira, onde Considère diz que ela diverge, e como construí-la para análise. Mesmo assunto, duas salas.

A tensão verdadeira é o que o aço suporta e do que uma análise além do escoamento precisa; a tensão de engenharia é o que a norma e o relatório de ensaio reportam. Guarde ambas, e saiba em qual sala você está.

• σ_eng = P/A₀, σ_true = P/A_i; antes da estricção, σ_true = σ_eng(1 + ε) e ε_true = ln(1 + ε). O fator depende apenas da deformação.
• O critério de Considère dσ_true/dε_true = σ_true localiza a estricção; para um aço regido por lei de potência é ε_true = n, alongamento uniforme eⁿ − 1.
• Tirante A572-50 resolvido (Ø 45,1 mm, A = 16,0 cm2, 6 m): o motor dá 5,175 mm em N = 276 kN, então σ = 172,5 MPa e σ_true = 172,65 MPa (+0,086%).
• Em N = 552 kN o motor retorna σ = 345,0 MPa = f_y com um alongamento de 10,350 mm; tensão verdadeira 345,60 MPa (+0,17%).
• Lá na estricção (17,4% de deformação, f_u = 450 MPa) a tensão verdadeira é 528 MPa e subindo; alimente o solver com a curva verdadeira, nunca com a de engenharia.