Longarina de Escada de Aço: Dimensionada para a Carga que a Norma Realmente Pede

De todas as peças de aço que um edifício esconde, a longarina de escada é a que mais vezes é dimensionada com um dar de ombros. Parece secundária: um perfil U correndo sob os degraus, uma peça que você poderia escolher de uma tabela a olho. Mesmo assim ela reprova na revisão de projeto por duas razões específicas, repetidas vezes, e ambas vêm de tratá-la como algo mais simples do que ela é.

A primeira é a carga. Uma escada não é um piso. Toda norma importante pede deliberadamente que uma escada carregue mais do que o ambiente que ela serve, porque uma escada é onde uma multidão se aglomera, e onde uma única pessoa aterrissa todo o seu peso em um degrau. Dimensione a longarina para os 2 kN/m2 que você usou na laje do piso e você a subcarregou antes mesmo de começar.

A segunda é a geometria. Uma longarina não é uma viga plana; ela é inclinada, tipicamente em torno de 30 graus. Essa inclinação muda qual vão você usa, e aqui está a armadilha que pega até engenheiros cuidadosos: o momento fletor e a flecha não usam o mesmo comprimento. O momento segue a projeção horizontal; a flecha segue a peça inclinada real. Confunda essas duas coisas e você ou desperdiça aço ou, pior, entrega uma escada que vibra.

Este guia corrige as duas. Tomamos uma escada pública real, lemos a carga que a norma realmente pede, e dimensionamos o perfil U do momento à flecha à verificação da carga concentrada, com cada número produzido pelo motor de elementos finitos do CalcSteel e conferido contra a teoria de forma fechada até três casas decimais. A calculadora de vigas gratuita do CalcSteel roda a mesma matemática no seu navegador, e é a ferramenta embutida na metade do texto para você dimensionar sua própria longarina enquanto lê.

Uma longarina de escada é a viga inclinada que corre ao longo do lance e leva os degraus até os apoios em cada extremidade. Em aço, geralmente é um perfil U (um U laminado a quente ou um C formado a frio), às vezes uma chapa plana ou uma chapa dobrada, e um lance típico se apoia em duas delas, uma sob cada lado dos degraus.

Os degraus vencem o vão entre as duas longarinas e entregam sua carga a elas como uma linha de pequenas reações; distribuída ao longo da longarina, isso é uma carga uniforme por metro. Cada longarina, portanto, se comporta como uma viga que carrega aproximadamente metade da escada, e a idealização padrão e segura é uma viga biapoiada: rotulada no patamar inferior, sobre um apoio móvel no topo (ou o inverso), livre para girar nas duas extremidades. Isso é conservador para a resistência, porque uma longarina real costuma ter alguma continuidade de extremidade ou uma ligação parafusada que ajuda, e é o modelo que todo método manual e toda calculadora deste artigo usa.

Dois detalhes do mundo real tornam a idealização honesta. Primeiro, os degraus, soldados ou parafusados sobre a mesa superior com espaçamento pequeno, contraventam a longarina contra a flambagem lateral com torção, então para um perfil U sob gravidade você geralmente pode tomar a capacidade total de flexão sem penalidade de esbeltez. Segundo, a peça é inclinada, o que significa que a carga vertical que ela carrega tem uma componente ao longo de seu próprio eixo: uma pequena força axial acompanha a flexão. Vamos dimensionar a flexão primeiro, porque ela domina, e depois voltar e mostrar que a axial é um efeito de dois por cento.

Aqui está a parte que se pula. Abra qualquer norma moderna de cargas na sua tabela de sobrecargas e as escadas ganham sua própria linha, e essa linha é mais alta do que a do piso ao qual ela se conecta. A razão é física: escadas concentram pessoas durante o uso normal e especialmente durante a evacuação, e recebem uma carga severa de um único degrau.

Toda norma combina duas exigências, e você verifica as duas:

• Uma carga uniforme sobre a área em planta, para o caso de multidão.
• Uma carga concentrada em uma área pequena, para o único degrau pesado, roda ou ponto.

Você então dimensiona para a que produzir o maior efeito. As três normas que um engenheiro tem mais chance de encontrar se alinham assim:

Repare na dispersão. Um piso residencial fica perto de 1,5 a 2,0 kN/m2; a escada de evacuação do mesmo edifício pode ser exigida a 4 a 5 kN/m2, mais do que o dobro. Esse único fato é para o qual o título deste artigo aponta, e o erro de dimensionamento mais comum de todo o assunto: a longarina herda a carga do piso, não a carga da escada. Para o exemplo resolvido, dimensionamos uma escada de acesso público para uma sobrecarga uniforme de 4,0 kN/m2, um valor que fica dentro das faixas públicas do Eurocode e da NBR e logo abaixo do valor da ASCE, e carregamos o caso concentrado ao lado dele.

Agora transforme essa pressão em uma carga por metro em uma longarina, o que exige a geometria da escada. Nosso lance resolvido é uma escada pública reta:

• Projeção horizontal (vão horizontal) a = 4,20 m, a distância que a escada cobre em planta.
• Altura a vencer H = 2,40 m, a altura que ela sobe.
• Então o ângulo é theta = arctan(2,40 / 4,20) = 29,7 graus, e cos(theta) = 0,868, uma inclinação pública normal e confortável.
• O comprimento inclinado da peça é s = sqrt(a^2 + H^2) = 4,84 m. Este é o comprimento real de aço que você pede, e é maior que a projeção horizontal.
• O lance tem 1,40 m de largura sobre duas longarinas, então cada uma toma uma largura de influência de 0,70 m.

As normas dão carga por unidade de área em planta, porque é assim que pessoas e mobiliário são contados, então a largura de influência é medida horizontalmente. A carga linear uniforme de uma longarina, referida à projeção horizontal, é a pressão vezes a largura de influência:

• Sobrecarga: w_h,live = 4,0 kN/m2 x 0,70 m = 2,80 kN/m.
• Permanente (degraus de aço, dois perfis U, um revestimento leve e uma reserva para o guarda-corpo, cerca de 1,5 kN/m2): w_h,dead = 1,5 x 0,70 = 1,05 kN/m.
• Majorada para a resistência (EN 1990: 1,35 permanente + 1,5 sobrecarga): w_h = 1,35 x 1,05 + 1,5 x 2,80 = 5,62 kN/m. (Uma combinação ASCE LRFD 1,2D + 1,6L cai a poucos por cento do mesmo valor.)

O subscrito h está fazendo um trabalho real aqui. Esta é a carga por metro de projeção horizontal, e na próxima seção é exatamente a intensidade que a fórmula do momento quer. Mantenha-a separada, na sua cabeça, de uma carga por metro de aço inclinado; as duas diferem por cos(theta), e confundi-las é o segundo erro clássico.

Aqui está o resultado que torna as longarinas de escada fáceis quando você o conhece, e uma fonte de superdimensionamento quando não: o momento fletor máximo de uma viga inclinada sob carga vertical é igual ao de uma viga plana que vence a projeção horizontal.

A razão é curta. Um momento fletor é uma força vezes um braço de alavanca, e para cargas verticais o braço de alavanca que importa é horizontal. Decomponha a carga vertical em uma componente perpendicular à peça (que a flexiona) e uma componente ao longo da peça (que é axial). A componente perpendicular é w cos(theta), mas atua sobre o comprimento inclinado maior s = a / cos(theta), e quando você leva a álgebra até o fim, todo cos(theta) se cancela. O que sobra é a fórmula da viga plana escrita com a projeção horizontal:

M_max = w_h a² / 8

com w_h a carga por metro horizontal e a a projeção horizontal. Para nossa escada na resistência: M_Ed = 5,62 x 4,20² / 8 = 12,39 kN·m, e o esforço cortante nos apoios é V_Ed = w_h a / 2 = 11,80 kN.

Este é exatamente o tipo de afirmação que vale a pena conferir contra o solver real em vez de confiar em um cancelamento de livro-texto. Construímos a escada de duas formas no motor de elementos finitos do CalcSteel: uma como viga plana de vão 4,20 m sob 5,62 kN/m, e outra como a peça inclinada real de (0, 0) a (4,20, 2,40) carregando a mesma carga vertical total. O motor retorna M = 12,387 kN·m para as duas, batendo entre si e com a fórmula manual até cinco algarismos significativos, e V = 11,80 kN como previsto. O momento genuinamente não se importa com a inclinação. A lição prática: use a projeção horizontal para o momento, e não a infle com o comprimento inclinado; isso só lhe compra um perfil mais pesado à toa.

Com M_Ed = 12,39 kN·m e V_Ed = 11,80 kN em mãos, dimensione o perfil U. Usamos perfis U europeus laminados a quente em aço S235 (f_y = 235 MPa) e verificamos a flexão no sentido elástico, tensão igual a momento sobre o módulo de resistência elástico, sigma = M_Ed / S_x. O elástico é o nível certo de rigor para uma longarina e evita reivindicar em excesso uma reserva plástica. Subindo pela faixa de perfis U:

Lido puramente pela resistência, a resposta é um UPN 120: ele carrega o momento majorado com 85% de utilização, confortavelmente dentro do limite de escoamento, e um UPN 100 claramente ultrapassa a tensão. Se a flexão fosse a história toda, você pediria o UPN 120 e seguiria em frente. É exatamente aí que a maioria dos dimensionamentos rápidos de escada para, e é um perfil pequeno demais. A razão não tem nada a ver com resistência, e tudo a ver com o quanto essa viga inclinada se move sob carga.

O estado-limite de serviço é onde a inclinação da longarina finalmente morde, e no sentido oposto ao do momento. O momento fletor ignorou a inclinação; a flecha não ignora.

Desenvolva do mesmo jeito. A componente de carga perpendicular w cos(theta) gera uma flecha no meio do vão perpendicular à peça, da forma padrão 5 w L⁴ / 384EI, mas agora L é o comprimento inclinado completo s, que é maior que a. Então essa flecha perpendicular se projeta de volta na vertical por outro cos(theta). Os dois fatores não se cancelam desta vez; eles deixam uma flecha vertical líquida de:

delta_v = delta_flat / cos(theta)

A longarina inclinada real deflete 1/cos(theta) mais do que sua projeção plana defletiria, cerca de 15% mais na nossa inclinação de 30 graus. Isso não é um erro de arredondamento, e é fácil de passar despercebido se você verifica a flecha na viga horizontal por hábito. Confirmamos no motor: o modelo plano deflete 9,19 mm sob a sobrecarga de serviço, a peça inclinada real 10,59 mm, uma razão de 1,152 que bate com 1/cos(29,7 graus) = 1,152 exatamente.

Agora aplique o limite. O limite de flecha para a sobrecarga é comumente L/360, tomado aqui sobre o comprimento real da peça s = 4,84 m, então o teto é s/360 = 13,4 mm. Rode de novo os quatro perfis U para sua flecha inclinada real sob a carga linear de sobrecarga de 2,80 kN/m:

Aí está. O UPN 120 que passou tranquilo na resistência com 85% deflete até s/276 na peça inclinada real, o dobro do movimento que o limite L/360 permite, e uma escada tão flexível parece viva sob os pés. O perfil que satisfaz tanto a resistência quanto a flecha é o UPN 140: 60% na tensão, s/457 no movimento, com a flecha para a carga total (14,6 mm) ainda dentro do limite mais folgado s/300. A flecha governa, e ela escolhe o perfil um tamanho acima do que a resistência sozinha teria escolhido. Perca o fator 1/cos(theta) e você poderia até ter se convencido a usar o UPN 120 com base numa flecha de viga plana de 15,2 mm lida contra um teto generoso. A inclinação é a diferença toda.

Restam duas verificações exigidas pela norma, e vale a pena ver que nenhuma delas muda o perfil, porque saber por que elas raramente governam é tão útil quanto executá-las.

A carga concentrada. O Eurocode pede uma carga concentrada de 2,0 kN na nossa escada de categoria A a C (a ASCE usa 1,33 kN, a NBR 2,5 kN); majorada, tome 3,0 kN. Posicionada no meio do vão, ela produz M = P a / 4 = 3,0 x 4,20 / 4 = 3,15 kN·m, usando a projeção horizontal exatamente pela mesma razão que o caso uniforme usou. Isso é cerca de um quarto dos 12,39 kN·m da carga uniforme de multidão, então em um lance completo o caso uniforme governa a longarina e a carga concentrada é na verdade uma verificação local do degrau e de sua ligação, onde um único degrau não pode falhar sob um pé pesado. Em uma escada curta ou em um único degrau em balanço, o caso concentrado pode vencer, então você sempre o executa, mas aqui ele não muda a resposta.

A força axial. Como a peça é inclinada, a reação vertical de apoio tem uma componente ao longo do eixo da longarina: N = V sin(theta) = 11,80 x sin(29,7 graus) = 5,85 kN de compressão, que o motor retorna diretamente no modelo inclinado. Combinada com a flexão, a interação N/(A f_y) + M/(S_x f_y) para o UPN 140 sobe de 0,598 (só flexão) para 0,610, um aumento de cerca de dois pontos de utilização. É real, é exigida pela norma, e é desprezível para uma inclinação normal de escada. Ela cresce com a inclinação, então uma escada industrial íngreme ou uma escada de marinheiro a 45 graus ou mais é onde a axial começa a importar, e onde você levaria a verificação combinada completa em vez de descartá-la.

Reproduza a verificação inteira na calculadora abaixo. Defina uma viga biapoiada, insira o vão como sua projeção horizontal a (aqui 4,20 m), e aplique sua carga linear majorada w_h como uma carga distribuída uniforme (aqui 5,62 kN/m). A ferramenta retorna o momento, o cortante e a flecha e verifica o perfil contra a NBR 8800 e a AISC 360 lado a lado. Você verá M_Ed cair em 12,4 kN·m e V_Ed em 11,8 kN, batendo com este artigo.

Dois hábitos a tornam exata para uma escada. Primeiro, para a verificação de momento e resistência, a projeção horizontal é o vão correto, então leia esses resultados diretamente. Segundo, para a flecha, a calculadora reporta o valor da viga plana; multiplique-o por 1/cos(theta) para obter a flecha inclinada real antes de comparar com seu limite L/360 (e use o comprimento inclinado s para esse limite). Faça isso e a ferramenta reproduz exatamente o resultado UPN 120-reprova, UPN 140-passa. É a forma mais rápida de testar uma inclinação, carga ou combinação de normas diferente contra sua própria escada.

O lance resolvido cobre a mecânica; uma longarina construível precisa de mais algumas decisões, cada uma das quais o dimensionamento acima assumiu silenciosamente.

• Flambagem lateral com torção. Um perfil U fletido em torno do seu eixo forte quer flambar para o lado, mas os degraus parafusados ou soldados sobre a mesa superior com passo pequeno o contraventam, então o comprimento destravado é um espaçamento de degrau e a capacidade total de flexão está disponível. Se os degraus não restringem a longarina (projetos abertos, ou uma única longarina central em espinha), você precisa rodar a verificação real de FLT e a capacidade pode cair bruscamente.
• Ligações de extremidade. O modelo biapoiado é conservador; um console de apoio parafusado ou soldado em cada patamar adiciona um engastamento de extremidade real que reduz tanto o momento quanto a flecha. Não conte com ele para a resistência a menos que você o detalhe e o verifique, mas é por isso que uma escada que passa como rótula-rótula tem uma reserva genuína.
• Vibração e sensação. Uma escada em s/276 não colapsa, ela incomoda. Escadas públicas são um clássico problema de conforto humano, e o limite L/360 (ou mais rígido) tem tanto a ver com a escada não parecer mole quanto com qualquer margem de resistência. Esta é a verdadeira razão pela qual a flecha, não a tensão, dimensiona a maioria das longarinas.
• Perfis U formados a frio. Escadas mais leves costumam usar um C formado a frio em vez de um U laminado a quente. O método é idêntico, mas a flambagem local das mesas e da alma finas significa que você verifica uma seção efetiva (Eurocode EN 1993-1-3 ou AISI), não a bruta. A biblioteca de perfis do CalcSteel traz as duas famílias.
• Peso próprio. Embutimos o aço da longarina e dos degraus na carga permanente de 1,5 kN/m2; em uma escada arquitetônica mais pesada com degraus de pedra, reestime a carga permanente primeiro, porque ela alimenta diretamente tanto o momento quanto a flecha.

Dimensionar a escada como o piso. O erro mais comum de todos. A sobrecarga de uma escada é mais alta do que a do piso que ela serve, muitas vezes mais que o dobro, e é uma linha nomeada em toda norma. Comece pela carga da escada, não pela carga do ambiente.

Usar o comprimento inclinado para o momento. Conservador demais. O momento segue a projeção horizontal, M = w_h a²/8; usar s aqui só lhe entrega um perfil mais pesado e mais caro sem benefício.

Usar a projeção horizontal para a flecha. A favor da insegurança, e a imagem espelhada do erro anterior. A flecha segue a peça inclinada real e é 1/cos(theta) maior; verifique-a em s.

Pular a carga concentrada. Ela raramente governa um lance completo, mas sempre governa o degrau e a ligação do degrau, e em uma escada curta ou em balanço ela pode dimensionar a própria longarina. Execute-a toda vez.

Qual vão eu digito na calculadora de vigas? A projeção horizontal a para momento, cortante e resistência. Para a flecha, a calculadora dá o valor plano; multiplique-o por 1/cos(theta) e julgue-o contra um limite tomado sobre o comprimento inclinado s.

Preciso da força axial? Para uma escada normal de 25 a 35 graus, ela muda a utilização em um ponto ou dois e raramente importa. Para uma escada industrial íngreme ou escada de marinheiro (45 graus ou mais) ela cresce e você deve levar a verificação combinada completa de flexão mais axial.

Uma longarina ou duas? A escada resolvida usou duas, cada uma tomando metade da largura. Uma única longarina central em espinha carrega a largura toda e perde o contraventamento dos degraus, então ela é ao mesmo tempo mais carregada e mais suscetível à FLT; espere um perfil bem maior.

Uma longarina de escada de aço é uma viga inclinada e biapoiada, e fazê-la certo é, na maior parte, respeitar duas coisas que a inclinação faz com ela, além de carregá-la como uma escada e não como um piso.

• Carregue-a como uma escada: uma carga uniforme de 3 a 5 kN/m2 (ASCE 4,79, Eurocode 2 a 5, NBR 3,0) mais uma carga concentrada separada, dimensionada para a que governar.
• O momento segue a projeção horizontal: M_max = w_h a²/8. O motor dá 12,39 kN·m tanto para a peça inclinada quanto para sua projeção plana, até cinco algarismos.
• A flecha segue a inclinação: a flecha vertical real é 1/cos(theta) maior que o valor plano (cerca de 15% a 30 graus). Verifique-a no comprimento inclinado s.
• Escada pública resolvida (projeção horizontal 4,20 m, altura a vencer 2,40 m, sobrecarga 4,0 kN/m2): um UPN 120 passa na resistência com 85% mas deflete até s/276; o limite L/360 o dimensiona para cima até um UPN 140. A flecha governa.
• A carga concentrada (3,15 kN·m aqui) é uma verificação local do degrau, e a inclinação adiciona uma pequena força axial (5,85 kN, cerca de dois pontos de utilização); ambas são exigidas, nenhuma é decisiva em uma inclinação normal.