Círculo de Mohr e Tensões Principais: O Critério por Trás do Código, Com uma Verificação Resolvida

Abra qualquer norma de aço na cláusula que verifica o escoamento e você não encontrará um limite sobre a maior tensão normal em uma barra, nem um limite separado sobre a maior tensão de cisalhamento. O que a norma limita é uma tensão equivalente: um único número, construído a partir das duas tensões principais atuando em um ponto, que representa todo o estado multiaxial. Uma fibra com 100 MPa de flexão e 47 MPa de cisalhamento não é verificada contra 100, e não é verificada contra 47. Ela é verificada contra a tensão equivalente que as duas produzem juntas, e esse número pode ser maior do que qualquer uma delas.

A distância entre o que você consegue ler de uma barra e o que a norma de fato verifica é exatamente a distância que o círculo de Mohr fecha. Ele parte do estado que você consegue calcular, uma tensão normal e uma tensão de cisalhamento em uma face, e devolve as tensões principais de que o critério precisa. Este artigo não é um tutorial de como desenhar o círculo; para isso, o nosso guia complementar sobre o círculo de Mohr do elemento ao EF percorre cada passo. Aqui ficamos no critério por trás do código, e o resolvemos em um console de aço real, com os esforços vindos do motor de EF do CalcSteel em produção e a transformação verificada até a casa decimal contra a calculadora ao vivo. O resultado é uma lição sobre onde a verificação governa que um cálculo apenas de flexão nunca lhe mostra.

O aço escoa por mudança de forma, não por compressão. Coloque uma barra sob pressão igual em todos os lados (tensão hidrostática pura) e ela quase não escoa; torça-a, e ela escoa com facilidade. Esse é o fato físico que os dois principais critérios de escoamento codificam, e é por isso que a norma limita uma tensão equivalente em vez de qualquer componente isolado.

Von Mises (energia de distorção) é o padrão em toda norma de aço moderna. Para um ponto em estado plano de tensão é sigma_vM = sqrt(sigma_1^2 − sigma_1 sigma_2 + sigma_2^2), onde sigma_1 e sigma_2 são as tensões principais. Tresca (cisalhamento máximo) é a alternativa um pouco mais conservadora, sigma_Tr = sigma_1 − sigma_2 para o par no plano. O escoamento começa quando a tensão equivalente atinge a resistência ao escoamento f_y. Plotado no espaço das tensões principais, von Mises é uma elipse e Tresca é um hexágono nela inscrito; qualquer estado dentro da curva é elástico, qualquer estado sobre ela está no início do escoamento.

As normas escrevem isso da mesma forma, com contabilidade de segurança diferente. EN 1993-1-1 6.2.1(5) o enuncia para uma fibra de viga diretamente como sqrt(sigma^2 + 3 tau^2) ≤ f_y / gamma_M0. NBR 8800 5.4.2.2 limita a demanda de von Mises a f_y / gamma_a1 com gamma_a1 = 1.10. AISC 360 verifica um estado de tensão contra phi f_y com phi = 0.90. Letras diferentes, uma ideia: reduzir o estado multiaxial a uma tensão equivalente, depois mantê-la abaixo de um escoamento ponderado. Todo o resto deste artigo é sobre acertar essa tensão equivalente, e o círculo de Mohr é o como.

Você só precisa de quatro resultados do círculo para alimentar o critério, então aqui estão eles em um único gráfico. Tome um ponto em estado plano de tensão com uma tensão normal na face x sigma_x, uma tensão normal na face y sigma_y, e um cisalhamento tau_xy. Plote sigma na horizontal e tau na vertical. O círculo é centrado no eixo sigma em sigma_avg = (sigma_x + sigma_y)/2 com raio R = sqrt(((sigma_x − sigma_y)/2)^2 + tau_xy^2).

Desse círculo os números de projeto saem geometricamente: os dois pontos onde ele cruza o eixo sigma são as tensões principais sigma_1 = sigma_avg + R e sigma_2 = sigma_avg − R; o topo do círculo é o cisalhamento máximo no plano tau_max = R; e o ângulo até o plano principal é tan(2 theta_p) = 2 tau_xy / (sigma_x − sigma_y). Os ângulos dobram no círculo, então o plano de cisalhamento máximo fica sempre a 45 graus do plano principal na barra.

Uma leitura rápida resolvida, o exemplo padrão da calculadora: sigma_x = 80, sigma_y = 20, tau_xy = 30 MPa. Centro = 50, R = sqrt(30^2 + 30^2) = 42,426, então sigma_1 = 92,426, sigma_2 = 7,574 MPa, tau_max = 42,426 MPa em theta_p = 22,5 graus. O seu von Mises dá 88,882 MPa, acima de sigma_1 sozinho, que é justamente o ponto: a tensão equivalente não é nenhuma leitura isolada no elemento. Agora colocamos o círculo para trabalhar no aço.

Queremos uma barra onde a flexão e o cisalhamento sejam ambos grandes na mesma seção transversal, porque é aí que o critério combinado justifica a sua existência. Um console curto em balanço é exatamente esse caso: no engaste o momento fletor e o esforço cortante estão ambos no seu máximo, na mesma seção. Pense em um consolo carregando um ponto pesado de apoio, ou em um console curto saindo de um pilar.

O console é um IPE 300, um balanço de comprimento L = 1,0 m, carregando uma carga uniforme de w = 120 kN/m (um console curto e pesado, 120 kN no total), em aço grau MR250 (f_y = 250 MPa). No engaste a estática dá M = wL^2/2 = 60 kN.m e V = wL = 120 kN. Construímos isto no motor de EF do CalcSteel em produção, o balanço discretizado em 24 elementos, e ele retorna as reações até a casa decimal: M = 60,000 kN.m e V = 120,000 kN. Os esforços internos são do motor; daqui em diante a transformação de tensões é trabalho manual, verificado contra a mesma rotina que a calculadora ao vivo executa.

As propriedades da seção IPE 300 que usamos são os valores de catálogo que um engenheiro consulta: área 53,8 cm^2, momento de inércia I = 8356 cm^4, módulo elástico de flexão W_el = 557 cm^3, espessura da alma 7,1 mm, espessura da mesa 10,7 mm. (A própria rotina de geometria do motor retorna I = 8097 cm^4 e W_el = 540 cm^3, cerca de 3 por cento abaixo do catálogo, que é a concordância esperada para uma seção calculada e não muda a história.) Agora lemos o estado de tensão em três fibras dessa seção, e deixamos o círculo de Mohr nos dizer com qual delas a norma se importa.

A mesma seção transversal carrega um estado de tensão diferente em cada altura, então ela desenha um círculo de Mohr diferente em cada fibra. Três fibras contam a história inteira.

A fibra extrema (ponta da mesa). A flexão é máxima, o cisalhamento é zero. O estado é uniaxial: sigma = M / W_el = 6000 kN.cm / 557 cm^3 = 10,77 kN/cm^2 = 107,7 MPa, tau = 0. O círculo se reduz a um ponto no eixo sigma: sigma_1 = 107,7, sigma_2 = 0, e a tensão de von Mises é igual à tensão aplicada, 107,7 MPa. Este é o ponto que uma verificação de flexão observa, e por si só ele parece confortável.

A linha neutra (meia-altura). A flexão é zero, o cisalhamento é máximo. Usando a distribuição exata VQ/It o cisalhamento atinge o pico em tau = 60,9 MPa (a média simplificada da norma, V dividido pela área da alma, é 56,3 MPa). Este é o cisalhamento puro: o círculo é centrado na origem, as tensões principais são iguais e opostas em sigma_1 = +60,9 e sigma_2 = −60,9 MPa, giradas 45 graus fora do eixo, e a tensão de von Mises é sqrt(3) vezes o cisalhamento, 105,5 MPa. Ainda abaixo da fibra extrema.

A junção alma-mesa. Logo abaixo da mesa, ambos são grandes ao mesmo tempo: a flexão ainda é 100 MPa (a fibra está perto da extrema, na altura 139,3 mm da meia-altura de 150 mm) e a alma carrega ali um cisalhamento de 47 MPa. Agora o círculo é um círculo de verdade, com centro deslocado: sigma_avg = 50 MPa, R = sqrt(50^2 + 47^2) = 68,6 MPa, então sigma_1 = 118,6, sigma_2 = −18,6 MPa, tau_max = 68,6 MPa, em theta_p = 21,6 graus. A principal de tração subiu além do valor da fibra extrema, e uma principal de compressão surgiu do nada. Esse é o estado que o critério está prestes a punir.

Agora alimente as tensões principais de cada fibra no critério de von Mises e a classificação se inverte contra a intuição:

• Fibra extrema: sigma_vM = 107,7 MPa.
• Linha neutra: sigma_vM = 105,5 MPa.
• Junção alma-mesa: sigma_vM = 128,9 MPa.

A junção governa em 19,7 por cento sobre a fibra extrema, mesmo que a sua tensão de flexão seja menor e a sua tensão de cisalhamento seja menor do que os picos em outros lugares. A razão é o atalho da fibra de viga: com sigma_y = 0 a tensão de von Mises é exatamente sigma_vM = sqrt(sigma^2 + 3 tau^2), então na junção sqrt(100^2 + 3 × 47^2) = sqrt(10000 + 6627) = 128,9 MPa. O cisalhamento não se soma à flexão aritmeticamente; ele se soma sob uma raiz quadrada com um fator três, e o máximo dessa soma vive na junção alma-mesa, onde a flexão ainda está perto do seu pico e a alma está carregando o seu cisalhamento pleno.

Esse é todo o valor prático do critério. Uma verificação de flexão lê 107,7 MPa na fibra extrema e para. Uma verificação de cisalhamento lê o cisalhamento da alma e para. Nenhuma das duas enxerga os 128,9 MPa que o material realmente sente na junção. A cláusula de tensão combinada existe justamente porque esse pico é invisível para as duas verificações feitas separadamente, e o círculo de Mohr é o que o torna visível: o círculo da junção é simplesmente maior do que os outros dois.

Com a demanda governante fixada em 128,9 MPa e aço MR250 (f_y = 250 MPa), as três normas diferem apenas em como ponderam a resistência:

EN 1993-1-1 (gamma_M0 = 1.0): resistência 250 MPa, aproveitamento na junção eta = 128,9 / 250 = 0,52; na fibra extrema 107,7 / 250 = 0,43.
NBR 8800 (gamma_a1 = 1.10): resistência 227,3 MPa, eta = 128,9 / 227,3 = 0,57; fibra extrema 0,47.
AISC 360 (phi = 0.90): resistência 225 MPa, eta = 128,9 / 225 = 0,57; fibra extrema 0,48.

Todas as normas passam, confortavelmente, e tudo bem, o console não é o ponto. O ponto é a diferença entre as duas colunas. Em cada norma o aproveitamento governante verdadeiro é cerca de 20 por cento maior do que o número da fibra extrema que uma verificação apenas de flexão reportaria. Neste console isso é a diferença entre ler 47 por cento de aproveitamento e ler 57 por cento (NBR). Em uma seção escolhida mais perto do limite é a diferença entre uma verificação que passa e uma que não passa. O critério por trás do código não é uma formalidade; ele decide a seção sempre que a flexão e o cisalhamento são ambos significativos no mesmo corte, que é a condição cotidiana na raiz de um console, na extremidade de uma viga com recorte, ou em um apoio interno de uma viga contínua.

A calculadora abaixo executa a mesma transformação em estado plano de tensão e verificação de escoamento usadas acima, ao vivo no seu navegador. Digite o estado da junção, sigma_x = 100, sigma_y = 0, tau_xy = 47, e leia sigma_1 = 118,6, sigma_2 = −18,6, tau_max = 68,6 e von Mises 128,9 MPa direto do círculo. Depois arraste o diâmetro e veja cada número se mover em conjunto, ou alterne a verificação de escoamento entre NBR 8800 e AISC 360 e veja o aproveitamento mudar com o coeficiente de segurança.

Ela faz mais do que o exemplo resolvido precisa. Ela carrega uma seção real já resolvida direto do modelo de EF do CalcSteel, então o círculo vira a lente de inspeção da sua própria análise em vez de um exercício de livro; ela vai para o triaxial quando a tensão fora do plano não é zero; e exporta a figura. É gratuita e não precisa de login para a transformação. Alimente-a com a fibra extrema (100,02 vira um ponto) e depois com a junção, e você verá o círculo governante crescer em tempo real.

Você vai deixar o solver e a calculadora produzirem os números. A habilidade que vale a pena manter é auditá-los, e o círculo de Mohr lhe dá invariantes rápidos para auditar. Cinco verificações pegam quase todo erro em uma verificação de tensão combinada.

1. O traço é invariante. sigma_1 + sigma_2 deve ser igual a sigma_x + sigma_y, em qualquer rotação. Se as tensões principais não somarem de volta às tensões normais originais, a transformação está errada. Para a junção: 118,6 + (−18,6) = 100, que é sigma_x + 0.

2. O raio é o cisalhamento máximo. tau_max = R = (sigma_1 − sigma_2)/2. Junção: (118,6 + 18,6)/2 = 68,6 MPa. Se um tau_max reportado não for metade da diferença entre as tensões principais, algo está errado.

3. Para uma fibra de viga, use o atalho. Com sigma_y = 0, von Mises deve ser igual a sqrt(sigma^2 + 3 tau^2). É uma verificação manual de uma linha sobre qualquer saída do solver em um ponto de flexão mais cisalhamento, e é literalmente a cláusula da EN 1993-1-1.

4. Verifique a junção, não apenas a fibra extrema. Onde a flexão e o cisalhamento são ambos significativos em uma seção, inspecione a junção alma-mesa. Se a sua única verificação de tensão é na fibra extrema, você está estruturalmente cego para o ponto governante.

5. Atenção ao cisalhamento no plano versus absoluto. O círculo que você desenha dá o tau_max no plano. O cisalhamento máximo absoluto que governa uma verificação de Tresca inclui a principal fora do plano (sigma_3 = 0 em estado plano de tensão), então ele pode ser maior, (sigma_1 − sigma_3)/2. Para a junção isso é 118,6/2 = 59,3 MPa, maior do que uma leitura ingênua do topo do círculo desenhado menos o deslocamento.

Verificar apenas a fibra extrema. O erro de tensão combinada mais comum de todos. A fibra extrema é onde a flexão atinge o pico mas o cisalhamento é zero, então ela esconde a junção, onde a demanda de von Mises aqui foi 19,7 por cento maior. Sempre que M e V são ambos grandes em uma seção, a fibra extrema não é o ponto governante.

Somar sigma e tau aritmeticamente. Tensões em faces diferentes não se somam como escalares. 100 MPa de flexão e 47 MPa de cisalhamento não são 147 MPa de nada. Elas se combinam através do círculo em tensões principais, e a demanda de von Mises é 128,9 MPa, não 147 e não 100.

Confundir von Mises e Tresca. Tresca (cisalhamento máximo) é sempre o mais conservador dos dois, em até cerca de 15 por cento no cisalhamento puro. As normas adotam von Mises por padrão; se uma verificação usa sigma_1 − sigma_2 é Tresca, e ela lerá um pouco mais pesado. Ambos são legítimos; apenas saiba qual deles produziu o número.

Onde sigma_y seria diferente de zero em uma viga? Em apoios e sob cargas concentradas, onde a compressão transversal é real, e em placas e cascas de modo geral. Uma fibra de viga simples está em estado plano de tensão com sigma_y perto de zero, que é por que o atalho sqrt(sigma^2 + 3 tau^2) funciona tão frequentemente, mas o círculo completo está ali para quando ele não funciona.

Estado plano de tensão ou de deformação? Uma fibra de superfície livre de uma viga ou pilar está em estado plano de tensão (a tensão fora do plano é zero). Bem no interior de um corpo espesso ele pode estar mais próximo do estado plano de deformação, que muda a principal fora do plano e, portanto, o cisalhamento máximo absoluto. Para barras de aço a leitura de estado plano de tensão é o padrão correto.

Ainda preciso do círculo de Mohr se o solver reporta von Mises diretamente? Como verificação, sim. É a geometria de uma linha que confirma que as tensões principais do solver são consistentes (traço invariante, raio igual a tau_max) antes de você confiar na tensão equivalente que ele construiu a partir delas.

• Nenhuma norma de aço limita a sua maior tensão normal ou de cisalhamento isoladamente. EN 1993-1-1, NBR 8800 e AISC 360 limitam, todas, uma tensão equivalente, von Mises por padrão, construída a partir das tensões principais.
• O círculo de Mohr produz essas tensões principais a partir de um ponto em estado plano de tensão: centro (sigma_x + sigma_y)/2, raio R = tau_max, sigma_1,2 = centro mais ou menos R, plano principal em tan(2 theta_p) = 2 tau_xy / (sigma_x − sigma_y).
• Para uma fibra de viga o critério se reduz a sigma_vM = sqrt(sigma^2 + 3 tau^2), que é exatamente EN 1993-1-1 6.2.1(5). É a verificação manual mais rápida que você tem em qualquer ponto de tensão combinada.
• Resolvido em um console em balanço IPE 300 com o motor de EF (M = 60 kN.m, V = 120 kN): fibra extrema 107,7 MPa, linha neutra 105,5 MPa, junção alma-mesa 128,9 MPa. A junção governa em 19,7 por cento.
• Verifique a junção, não apenas a fibra extrema, sempre que a flexão e o cisalhamento forem ambos significativos em uma seção: a raiz de um console, uma viga com recorte, um apoio interno. Esse é o ponto que o critério por trás do código foi escrito para capturar.