Tensão de Engenharia e Tensão Verdadeira: o Critério por Trás da Norma, com uma Verificação Resolvida

Trace um corpo de prova de aço até a separação e uma máquina de ensaio registra uma força e um alongamento a cada instante. Desse único par de leituras você pode calcular a tensão de duas maneiras diferentes, e ambas estão corretas. Divida a força pela seção transversal original com que ele começou e você obtém a tensão de engenharia, σ_eng = P/A₀. Divida-a pela seção transversal real naquele momento, a área que já afinou sob carga, e você obtém a tensão verdadeira, σ_true = P/A_i. Mesma força, dois denominadores, dois números.

Toda resistência na sua norma, f_y a resistência ao escoamento e f_u a resistência última, é a primeira: uma tensão de engenharia. O material, por sua vez, está sempre sentindo a segunda. Este artigo é sobre essa diferença: o que ela é, a conversão de uma linha entre as duas, por que AISC, NBR 8800 e Eurocode todos falam em tensão de engenharia de propósito, e uma verificação resolvida num tirante de aço real onde o motor de MEF do CalcSteel mede a diferença até a quarta casa decimal. A versão curta é que a norma escolheu o número que consegue medir, e perde quase nada ao fazê-lo, até você chegar na estricção, onde as duas tensões se separam de vez.

Aqui estão as quatro definições que você pode citar, todas construídas a partir da mesma força medida P, do comprimento original L₀ e da área original A₀.

• Tensão de engenharia, σ_eng = P / A₀. A carga suportada por cada milímetro quadrado com que a barra começou.
• Deformação de engenharia, ε_eng = ΔL / L₀. O estiramento como fração do comprimento original.
• Tensão verdadeira, σ_true = P / A_i. A carga sobre a área instantânea A_i, que encolhe à medida que a barra estica (contração de Poisson na fase elástica, depois fluxo plástico a volume constante).
• Deformação verdadeira, ε_true = ln(L_i / L₀) = ln(1 + ε_eng). A soma de cada estiramento incremental dL/L, integrada ao longo da deformação.

A distinção é invisível enquanto a barra mal se move e cresce à medida que ela se deforma. Em tração A_i é menor que A₀, então a tensão verdadeira é sempre a maior das duas. A tensão de engenharia é uma conveniência de contabilidade ancorada na geometria que você pode medir com um paquímetro antes do ensaio; a tensão verdadeira é o que o material sobrevivente está de fato resistindo.

As duas descrições não são independentes; uma linha converte entre elas. Enquanto a deformação for uniforme ao longo da barra (isto é, antes de qualquer pescoço se formar) e o fluxo plástico conservar o volume, A_iL_i = A₀L₀. Reorganizando obtém-se A_i = A₀ / (1 + ε_eng), e portanto:

σ_true = σ_eng (1 + ε_eng)    e    ε_true = ln(1 + ε_eng)

Leia as duas condições de novo, porque são a letra miúda que os engenheiros esquecem. A relação vale apenas enquanto a seção for uniforme (então ela morre no instante em que a barra sofre estricção) e apenas enquanto o volume for conservado (o que é um bom modelo para o fluxo plástico, onde o coeficiente de Poisson é efetivamente 0.5, mas não para a faixa elástica, onde é cerca de 0.3 e a barra muda de volume ligeiramente). Na faixa elástica de dimensionamento a correção verdadeira é ainda menor do que σ_eng(1 + ε) sugere, então usar ali a forma de volume constante é uma simplificação levemente conservadora e segura. A tabela roda a conversão ao longo da faixa que importa.

Três linhas são um erro de arredondamento; a quarta é um mundo diferente. Esse contraste é toda a história de quando a distinção importa.

Se a tensão verdadeira é o que o material realmente carrega, por que nenhuma cláusula de dimensionamento a usa? Três razões, e elas se somam.

1. É o que o ensaio reporta. As resistências em toda norma de aço vêm de um ensaio de tração conduzido por um procedimento fixo (ASTM A370, que invoca a ASTM E8/E8M; ISO 6892-1 em outros lugares). Esses procedimentos definem a resistência ao escoamento e à tração como força dividida pela área da seção transversal original. f_y e f_u são tensões de engenharia por definição, não por escolha; a norma simplesmente herda o número que o laboratório é obrigado a reportar.

2. O dimensionamento vive onde as duas concordam. Toda verificação de resistência, flexão, força axial, cortante, a equação de interação, é uma comparação em f_y ou abaixo dele, ou seja, em deformações abaixo de cerca de 0.18%. Como a tabela mostrou, a tensão verdadeira está ali menos de dois décimos de por cento acima da tensão de engenharia. A norma não ganha nada carregando uma correção menor do que a própria dispersão do aço.

3. É a direção conservadora. Como a tensão verdadeira excede a tensão de engenharia em tração, o ponto de escoamento real do material fica logo acima do f_y tabelado. Dimensionar pelo valor de engenharia deixa essa fresta de reserva em vez de gastá-la. Um número que é medido diretamente, fácil de tabelar e levemente a favor da segurança é exatamente o que uma norma quer.

Amplie a parte da curva em que um engenheiro estrutural jamais opera, da origem até o escoamento, e as linhas de engenharia e verdadeira são visualmente uma só linha. Em ε = 0.000750 a conversão soma 0.075%; no primeiro escoamento da MR250, ε_y = 0.00125, ela soma 0.125%; mesmo para um aço de 345 MPa em ε_y = 0.001725 ela soma apenas 0.172%. Num eixo de tensão traçado, esses deslocamentos são mais finos que a tinta.

A ressalva do Poisson elástico deixa a diferença real ainda menor. Abaixo do escoamento a barra não iniciou o fluxo plástico a volume constante, então sua área encolhe com coeficiente de Poisson 0.3, não 0.5. Levando isso corretamente em conta, a tensão verdadeira no primeiro escoamento é cerca de 250.19 MPa em vez dos 250.31 MPa que a fórmula de volume constante retorna, uma diferença de 0.075% em vez de 0.125%. De qualquer modo a mensagem é a mesma: na faixa de dimensionamento, a tensão de engenharia é a tensão verdadeira para todo fim prático, e a forma ordeira σ_eng(1 + ε) é a segura de citar porque superestima ligeiramente a diferença. Este é o sentido mais profundo do critério por trás da norma: a norma não aproximou nada, ela trabalhou no regime onde a aproximação é exata até três casas decimais.

A distinção deixa de ser acadêmica exatamente onde a deformação uniforme cessa: o pescoço. Até a resistência última f_u todo o comprimento de referência estica em conjunto, e σ_eng(1 + ε) ainda vale. Para um aço-carbono que atinge f_u = 400 MPa a uma deformação uniforme de cerca de 16%, a tensão verdadeira naquele ponto é 400 x 1.16 = 464 MPa, já 16% acima do valor de engenharia, a uma deformação verdadeira de ln(1.16) = 0.148.

Além de f_u as duas curvas fazem coisas opostas, e vale a pena ser preciso quanto ao porquê. A deformação se localiza num pescoço; a carga que a barra consegue suportar começa a cair. A tensão de engenharia, ainda dividindo essa carga em queda pela área original fixa A₀, cai junto, deslizando rumo à ruptura em talvez 300 MPa. A tensão verdadeira divide a mesma carga em queda pela área real, que está colapsando mais rápido que a carga, então ela continua subindo por todo o caminho até a ruptura, bem além de 600 MPa para um aço estrutural dúctil. A famosa descida da curva de engenharia rumo à ruptura não é o material ficando mais fraco; é um artefato de dividir por uma área que já não está mais lá. O material nunca amolece. Essa única percepção, a de que a queda é uma sombra contábil de uma seção transversal que encolhe, é por que qualquer um que estude ruptura, conformação ou colisão usa tensão verdadeira e nunca tensão de engenharia.

Hora de medir a diferença em vez de afirmá-la. Tome o objeto de ensaio mais honesto possível para uma tensão tão pura: uma cantoneira (perfil L) L 100x100x10 atuando como tirante de tração, um contraventamento ou pendural de 4 m de comprimento em aço estrutural. Um elemento axial tem uma única tensão, uniforme sobre a seção, exatamente a geometria de corpo de prova sobre a qual toda a distinção engenharia-versus-verdadeira nasceu.

Nós o modelamos no motor de MEF do CalcSteel, o mesmo solver por trás das calculadoras, e lemos os resultados. Sob uma tração de serviço de N = 285 kN o motor retorna a força axial no elemento como 285.0 kN (equilíbrio, como deve ser) e reporta a área da seção como A = 19.0 cm2. Ele também retorna o alongamento da extremidade carregada: 3.000 mm. Esse último número é a verificação do próprio motor, porque a forma fechada N L / (A E) = 285 x 400 / (19.0 x 20000) = 0.300 cm = 3.000 mm, batendo até a terceira casa decimal. A rigidez está certa, então a tensão e a deformação que extraímos dele são confiáveis.

Agora transforme a análise nas duas tensões. A tensão de engenharia é a força axial sobre a área original: σ_eng = N / A₀ = 285 kN / 19.0 cm2 = 15.0 kN/cm2 = 150.0 MPa. A deformação que a fibra está sentindo é essa tensão sobre o módulo: ε = σ / E = 150.0 / 200000 = 0.000750, que é a mesma 0.075% que o alongamento de 3.000 mm do motor sobre o comprimento de 4000 mm dá diretamente (3.000 / 4000 = 0.000750). Duas rotas independentes, uma deformação.

A tensão verdadeira aplica a conversão: σ_true = σ_eng(1 + ε) = 150.0 x 1.000750 = 150.11 MPa. O material está carregando 150.11 MPa; sua análise, sua verificação de norma e sua calculadora todas dizem 150.0 MPa. A diferença é 0.11 MPa, ou 0.075%, num tirante carregado a 60% do escoamento da MR250. Isso não é uma coincidência deste elemento; é o fato geral de que na faixa elástica ε é uma fração de por cento, então (1 + ε) é um até três casas decimais. O aproveitamento que seu software imprime, σ/f_y = 150/250 = 0.60, leria 0.601 em tensão verdadeira. Ninguém afia um projeto na terceira casa decimal do aproveitamento, que é precisamente por que a norma não a carrega.

Você pode reproduzir todo o exercício. Na calculadora abaixo, monte um elemento e um carregamento e leia a tensão que ele reporta. Divida essa tensão por 200,000 MPa e você tem a deformação ε. Multiplique a tensão por (1 + ε) e você tem a tensão verdadeira. Você verá a correção permanecer na terceira ou quarta casa decimal para qualquer coisa aquém do escoamento, e verá com seus próprios números por que a norma mantém o valor de engenharia.

É o mesmo motor que produziu o tirante resolvido acima, gratuito, sem login para a matemática.

Aumente a carga até o tirante escoar pela primeira vez e observe a diferença no único ponto com que a norma realmente se importa. O primeiro escoamento na MR250 é σ = f_y = 250 MPa, que precisa de N = 25 kN/cm2 x 19.0 cm2 = 475 kN. Rode de novo o mesmo elemento em N = 475 kN e o motor retorna σ = 250.0 MPa, um alongamento de 5.000 mm (então ε = 5.000 / 4000 = 0.001250, exatamente a deformação de escoamento da MR250), e a força axial de volta como 475.0 kN. Tudo fecha.

Converta: σ_true = 250.0 x 1.00125 = 250.31 MPa, e ε_true = ln(1.00125) = 0.0012492. No ponto de escoamento a norma escreve f_y = 250 MPa; a tensão de escoamento verdadeira do material é 250.31 MPa; a diferença é 0.31 MPa, três décimos de um por cento, e na direção segura. Se o critério por trás da norma é realmente uma deformação atingindo um limiar, então a tensão que nomeia esse limiar é o mesmo número, 250 MPa, quer você a meça contra a área original ou contra a real. As duas definições só divergem quando você deixa o mundo elástico por completo, e o dimensionamento estrutural nunca o faz.

Nada disso significa que a tensão verdadeira é uma curiosidade. Ela é indispensável, apenas não numa verificação de resistência de elemento. Recorra a ela, e nunca à tensão de engenharia, sempre que o aço for deliberadamente levado a grande deformação plástica:

• Conformação a frio. Dobrar uma chapa em prensa dobradeira ou perfilar a frio uma seção conformada leva a deformações de 10% a 30% na dobra. A força de conformação, o retorno elástico e a tensão residual todos dependem da tensão de fluxo (verdadeira) nessas deformações; a curva de engenharia, já em queda ali, o enganaria feio.
• Modelagem por elementos finitos de falha dúctil. Qualquer análise não linear de EF que siga o aço além do escoamento, ductilidade de ligações, fusíveis sísmicos, explosão, colisão, precisa ser alimentada com uma curva de tensão verdadeira versus deformação verdadeira (ou plástica). Alimentar um solver com a curva de engenharia diz a ele que o material amolece após f_u, o que ele não faz, e a análise diverge ou mente.
• Ruptura e fadiga de baixo ciclo. A estricção percentual/redução de área, a deformação verdadeira de ruptura e as relações deformação-vida que governam o detalhamento sísmico são todas escritas em medidas verdadeiras, porque é ali que o estado real do material vive.

Há um lugar onde os dois mundos se encontram dentro da norma, e vale a pena nomeá-lo. A razão mínima f_u/f_y (aproximadamente 1.1 a 1.25) e o alongamento mínimo que todo aço estrutural deve passar são requisitos de tensão de engenharia cujo propósito inteiro é garantir uma longa pista plástica, exatamente a região onde a tensão verdadeira e a de engenharia divergem. Rótulas plásticas, redistribuição de momentos e dissipação de energia sísmica todos gastam essa pista. Então a norma verifica resistência em tensão de engenharia e compra ductilidade, medida da mesma maneira, para proteger uma reserva plástica que ela descreverá em tensão verdadeira no dia em que tiver de modelá-la falhando.

Achar que f_u é a maior tensão que o aço jamais atinge. f_u é o pico da curva de engenharia. A tensão verdadeira na ruptura é muito maior, frequentemente 1.5 a 2 vezes f_u, porque a área real no pescoço é uma fração da original.

Ler a queda pós-última como enfraquecimento do material. A curva de engenharia cai após f_u apenas porque divide uma carga em queda por uma área original fixa. O material encrua até a ruptura; a tensão verdadeira nunca diminui.

Aplicar σ_true = σ_eng(1 + ε) após a estricção. A fórmula pressupõe deformação uniforme e morre no pescoço. Além desse ponto o estado é triaxial e localizado, e a tensão verdadeira precisa de uma medição direta de área (ou uma correção de Bridgman), não da conversão ordeira.

Alimentar um solver não linear com uma curva de tensão-deformação de engenharia. Um erro muito comum e perigoso. Os modelos de material em EF esperam tensão verdadeira versus deformação verdadeira (ou plástica); a curva de engenharia fará o modelo amolecer artificialmente além de f_u.

A diferença é alguma vez significativa no dimensionamento estrutural? Não numa verificação de resistência normal: em f_y e abaixo dele é menor que 0.2%. Ela se torna significativa apenas em problemas de grande deformação, conformação, ruptura dúctil, colisão, detalhamento sísmico.

Qual delas minha calculadora reporta? A tensão de engenharia, sempre, porque ela calcula força sobre a seção modelada (original). Esse é o número certo para comparar com um f_y ou f_u de norma, que também são tensões de engenharia.

O mesmo vale em compressão? O sinal se inverte: em compressão a área cresce, então a tensão verdadeira fica ligeiramente abaixo da tensão de engenharia. Nas deformações de projeto ela é de novo desprezível, e a compressão é governada por flambagem e estabilidade bem antes que a distinção pudesse importar.

A tensão de engenharia é o número que a norma mantém porque é o número que o ensaio reporta e o número que o dimensionamento pode usar sem uma correção.

• σ_eng = P/A₀, σ_true = P/A_i; antes da estricção, σ_true = σ_eng(1 + ε) e ε_true = ln(1 + ε).
• f_y e f_u são tensões de engenharia por definição, porque a ASTM E8 e a ISO 6892 reportam força sobre a área original.
• Na faixa de dimensionamento a diferença é um erro de arredondamento: 0.075% num tirante em serviço, 0.125% no primeiro escoamento, e na direção segura.
• Tirante L 100x100x10 resolvido (A = 19.0 cm2, N = 285 kN): o motor dá um estiramento de 3.000 mm (= NL/AE), então σ = 150.0 MPa e σ_true = 150.11 MPa.
• Em N = 475 kN o motor retorna σ = 250.0 MPa = f_y; as duas tensões se separam de verdade só na estricção, onde a tensão de engenharia cai rumo à ruptura enquanto a tensão verdadeira sobe além de 460 MPa.