Méthode du travail virtuel : calculer une flèche sans écrire la moindre équation différentielle

Chaque cours de résistance des matériaux enseigne la flèche d'une poutre de la même manière : partir de l'équation de la ligne élastique EI y'' = M(x), intégrer une première fois pour obtenir la pente, intégrer une seconde fois pour obtenir la flèche, et se retrouver avec deux constantes d'intégration que seules les conditions aux limites permettent de fixer. Cela fonctionne. Mais c'est aussi un coût que l'on paie de nouveau à chaque fois que la question change. Vous voulez la pente plutôt que la flèche ? Il faut tout refaire. Vous la voulez au quart de la portée plutôt qu'à mi-portée ? Il faut tout refaire. Passez à un portique, où la ligne élastique se déforme autour d'un angle rigide, et il n'existe même plus de fonction y(x) unique et bien définie à intégrer. Passez à un treillis, et l'équation différentielle n'a jamais été le bon outil.

La méthode du travail virtuel, aussi appelée méthode de la charge unité, se débarrasse de l'équation différentielle et la remplace par un seul nombre que l'on assemble à partir de deux diagrammes d'efforts. L'idée en une phrase : pour trouver le déplacement en un point, on applique en ce point une charge unité imaginaire, puis on égale le travail externe que cette charge unité effectuerait à travers le déplacement réel au travail interne de ses efforts à travers les déformations réelles. Une fois réarrangée, cette égalité est le déplacement. Pas de seconde intégration, pas de constantes, pas de conditions aux limites à traquer. Cet article la met en œuvre de bout en bout, deux fois, avec le moteur EF de CalcSteel en production comme arbitre : une véritable poutre en acier où une seule analyse produit deux réponses différentes, et un véritable treillis en acier où le calcul entier tient dans un tableau à cinq lignes.

Le principe du travail virtuel énonce que, pour un corps en équilibre, le travail externe effectué par un système de forces à travers un ensemble compatible quelconque de déplacements est égal au travail interne effectué par ses contraintes à travers les déformations correspondantes. La méthode de la charge unité en est une application astucieuse. On construit un système virtuel (fictif) : la même structure, toutes les charges réelles retirées, portant une seule charge unité placée exactement au point et dans exactement la direction du déplacement recherché (une force unité pour une translation, un couple unité pour une rotation). On prend cette charge unité comme système de forces externe, et les déformations réelles comme les déplacements qu'elle traverse.

Le travail virtuel externe est alors simplement 1 × delta, la charge unité multipliée par le déplacement inconnu. Le travail virtuel interne est la somme, sur toute la structure, de chaque effort interne virtuel agissant à travers la déformation réelle qu'il provoque. Pour une barre en flexion, la courbure réelle vaut M/EI, si bien que la densité de travail interne est m × (M/EI) ; pour une barre sollicitée en traction ou compression axiale, l'allongement réel vaut NL/EA, donc c'est n × (NL/EA). Égaler l'externe et l'interne donne l'équation maîtresse, une seule ligne qui couvre poutres, portiques et treillis :

1 · delta = intégrale de (M m / EI) ds + intégrale de (N n / EA) ds + intégrale de (V v / GA) ds + intégrale de (T t / GJ) ds

Ici, les majuscules (M, N, V, T) désignent les efforts internes réels et les minuscules (m, n, v, t) les efforts virtuels issus de la charge unité. On ne conserve que les termes que la structure possède réellement : une poutre élancée est presque en flexion pure, un treillis est en effort axial pur, un arbre est en torsion pure. Tout ce qui suit n'est que cette équation, évaluée.

Réduit à une procédure, le calcul d'une flèche ou d'une rotation tient en quatre gestes :

1. Système réel. Appliquer les charges réelles et trouver le diagramme d'efforts internes réel : M(x) pour une poutre ou un portique, l'effort axial N dans chaque barre du treillis. C'est l'analyse unique que l'on allait de toute façon effectuer ; ici, c'est le moteur EF qui la produit.
2. Système virtuel. Retirer toutes les charges réelles. Appliquer une seule charge unité exactement à l'endroit et dans la direction du déplacement recherché : une force unité pour une translation, un couple unité pour une rotation. Trouver son diagramme interne m(x) ou n. Comme il ne porte qu'une seule charge unité, ce diagramme est toujours simple : des segments de droite pour une poutre, une résolution rapide des nœuds pour un treillis.
3. Multiplier. Intégrer le produit M · m le long de chaque barre (poutres et portiques), ou sommer n · N · L sur les barres (treillis).
4. Diviser par la rigidité. Diviser le terme de flexion par EI et le terme axial par EA. Le résultat est le déplacement. Son signe indique si le mouvement se fait dans le sens de la charge unité (positif) ou en sens contraire (négatif).

Si cette méthode l'emporte sur la double intégration en pratique, c'est parce que l'étape 1 n'a lieu qu'une seule fois. Chaque nouvelle question, un point différent, une rotation, le déplacement relatif de deux nœuds, ne fait que changer le système virtuel bon marché de l'étape 2. C'est exactement ce que nous allons faire ci-dessous : une seule analyse réelle de poutre, deux déplacements différents.

Prenons une poutre sur appuis simples IPE 360, de portée L = 6,0 m, portant une charge uniforme w = 15 kN/m (une charge linéique typique de poutre de plancher), en acier de nuance MR250. Les réactions valent wL/2 = 45 kN à chaque extrémité. Le moment fléchissant réel est une parabole, nulle aux appuis et maximale à mi-portée :

M(x) = 45x − 7,5x^2 (kN·m, x en m), avec M_max = wL^2/8 = 67,5 kN·m.

Nous avons construit cette poutre dans le moteur EF de CalcSteel en production (la portée maillée en huit éléments). Il retourne les réactions et M_max = 67,500 kN·m à la décimale près. Il indique également la section qu'il a réellement utilisée : le moteur recalcule les caractéristiques de la section à partir de la géométrie et retourne A = 72,7 cm^2 (conforme au catalogue) et un moment d'inertie I = 15 728 cm^4, environ 3 % en dessous de la valeur de table de 16 270 cm^4, car les ailes inclinées et les congés de raccordement échappent à la formule fermée. Nous utilisons le I propre au moteur tout au long de l'article, de sorte que l'intégrale manuelle et la flèche EF donnent le même nombre. Avec E = 200 GPa, cela donne EI = 31 456 kN·m^2. Nous posons maintenant à la poutre deux questions différentes, et répondons aux deux à partir de ce seul diagramme.

Première question : la flèche verticale à mi-portée. Construisons le système virtuel : on retire w, et on suspend une seule force unité descendante (1) à mi-portée. Son diagramme de moment m(x) est un triangle, nul aux deux appuis et maximal à L/4 = 1,5 kN·m au centre. La flèche est l'équation maîtresse réduite au seul terme de flexion :

delta = (1/EI) · intégrale de M(x) m(x) dx

En multipliant la parabole réelle par le triangle virtuel sur toute la portée, on obtient intégrale de M m dx = 253,125 kN·m^3, un produit purement géométrique qui ne connaît pas la section. On divise par EI :

delta = 253,125 / 31 456 = 0,008047 m = 8,05 mm.

C'est exactement la formule classique 5wL^4/384EI, et le nœud à mi-portée du moteur EF donne 8,047 mm, identique à la décimale près. Aucune constante d'intégration, aucune condition aux limites. Et remarquez ce qui a fait tout le travail : un triangle multiplié par une parabole, une intégrale, une division.

Deuxième question, et c'est là que la méthode montre tout son intérêt : la pente (rotation) à l'appui gauche. Le système réel ne change pas, donc M(x) est la même parabole. Seul le système virtuel change : on retire w et on applique un couple unité (1 kN·m) à l'appui gauche. Son diagramme de moment m-barre(x) est une droite allant de 1 à l'appui gauche jusqu'à 0 à droite.

Comme m-barre est une seule droite sur toute la portée, la multiplication n'est qu'une étape de la règle de Verechtchaguine : on prend l'aire de la parabole réelle et on la multiplie par l'ordonnée du diagramme virtuel rectiligne prise au centre de gravité de cette aire. L'aire de la parabole vaut (2/3) × L × M_max = (2/3) × 6 × 67,5 = 270 kN·m^2, son centre de gravité est à mi-portée, où m-barre vaut 0,5. Donc intégrale de M m-barre dx = 270 × 0,5 = 135 kN·m^2, et :

theta = 135 / 31 456 = 0,004292 rad = 0,246 degrés.

C'est exactement wL^3/24EI, et la rotation au nœud du modèle EF est de 0,00429 rad. Une seule analyse réelle a maintenant produit deux réponses indépendantes, une flèche et une rotation, chacune pour le prix d'un diagramme virtuel à une seule ligne. Demandez la flèche au quart de la portée, et c'est le même geste une troisième fois (le moteur la donne à 5,73 mm). C'est cette réutilisation qui justifie l'existence de la méthode.

L'étape qui semble magique, remplacer une intégrale par un simple produit, est la règle de Verechtchaguine, et elle est exacte dès que l'un au moins des deux diagrammes est une droite sur le segment considéré. Sur un tel segment :

intégrale de M m dx = (aire d'un diagramme) × (ordonnée du diagramme rectiligne au centre de gravité du premier).

Un petit tableau des combinaisons courantes, rectangle par rectangle, triangle par triangle, parabole par triangle, et ainsi de suite, transforme toute flèche de poutre ou de portique en aires et en ordonnées de centres de gravité que l'on peut lire directement sur un croquis. L'analyse des structures utilise précisément ces tableaux de couplage pour que personne n'ait jamais à intégrer un produit de diagrammes à la main.

Deux précautions permettent de rester rigoureux. Premièrement, le raccourci exige qu'un diagramme soit rectiligne ; une parabole multipliée par une parabole doit être intégrée ou découpée. Deuxièmement, un point anguleux compte. Le triangle virtuel de mi-portée ci-dessus présente un angle au centre, donc à rigueur il faut découper la portée à cet angle et additionner deux produits (chacun un segment rectiligne multiplié par la parabole) ; le résultat reste 253,125, toujours de la simple arithmétique. Le diagramme virtuel de la rotation à l'appui ne présentait aucun angle, d'où un produit unique de 270 × 0,5.

Une barre de treillis ne porte qu'un effort axial, constant sur toute sa longueur, si bien que l'intégrale de flexion se réduit à une somme avec une ligne par barre. Il n'y a d'ailleurs aucune équation différentielle nulle part dans un treillis :

delta = somme de (n N L / EA)

Prenons une ferme à poinçon : une membrure inférieure passant par L(0,0), M(3,0), R(6,0) en mètres, avec un sommet en T(3,3) ; les barres sont les membrures inférieures LM et MR, les diagonales LT et TR, et le montant vertical TM. Elle est articulée en L, sur appui à rouleau en R, et une charge P = 40 kN est suspendue au nœud médian inférieur M. Chaque barre est un RHS 90x90x5 (A = 17,0 cm^2), nuance MR250.

Les efforts réels proviennent de la méthode des nœuds, et le moteur EF les retourne à la décimale près : membrures LM = MR = +20 kN (traction), diagonales LT = TR = −28,28 kN (compression, −P/√2), montant TM = +40 kN (traction). Nous voulons la flèche verticale en M, donc le système virtuel est une charge unité descendante en M. Comme la géométrie et les appuis ne changent pas, ses efforts dans les barres sont simplement n = N/P. Le calcul entier tient dans un seul tableau :

On divise ensuite par la rigidité axiale EA = 17,0 cm^2 × 20 000 kN/cm^2 = 340 000 kN :

delta = 349,7 / 340 000 = 0,00103 m = 1,03 mm.

Le nœud M du modèle EF descend de 1,029 mm. Une véritable flèche en acier obtenue à partir de cinq lignes d'arithmétique, sans la moindre équation différentielle en vue.

La même équation maîtresse se généralise dans trois directions qu'il vaut la peine de connaître.

Les portiques et toutes les sollicitations à la fois. Un portique porte simplement davantage de termes : delta = intégrale de (Mm/EI) + intégrale de (Nn/EA) + intégrale de (V v/GA) + intégrale de (Tt/GJ). On ajoute les termes que la structure possède et on laisse tomber les autres. Nous avons laissé tomber le cisaillement et l'effort axial pour la poutre, et elle a quand même correspondu au modèle EF à la décimale près, parce que pour une poutre élancée ces termes sont véritablement négligeables ; un treillis ne garde que le terme axial ; un arbre ne garde que la torsion. La comptabilité ne change jamais : diagramme réel multiplié par diagramme virtuel, divisé par la rigidité.

Les structures hyperstatiques. Le travail virtuel est le moteur de la méthode classique des forces (ou méthode des flexibilités). On rend la structure isostatique en la libérant, on traite chaque inconnue hyperstatique comme une charge unité inconnue, on utilise l'intégrale de la charge unité pour calculer les déplacements que ces inconnues doivent annuler, et on résout pour elles un petit système de compatibilité. C'est la même intégrale, qui impose désormais une compatibilité au lieu de rapporter une flèche. Voir nos articles complémentaires sur où la méthode manuelle s'arrête et la vérification chiffrée de la poutre continue.

La réciprocité, gratuitement. Comme M m et m M sont le même produit, la réciprocité de Maxwell-Betti en découle directement : la flèche en A due à une charge unité en B est égale à la flèche en B due à une charge unité en A. Ce n'est pas seulement élégant, c'est aussi un audit gratuit pour tout coefficient d'influence que vous calculez.

La calculatrice ci-dessous représente la même poutre sur appuis simples. Réglez la portée à 6 m et une charge uniforme de 15 kN/m, choisissez un IPE 360, et lisez la flèche maximale : c'est le 8,05 mm que vous venez d'obtenir en multipliant une parabole par un triangle, affiché ici à côté de la limite de flèche réglementaire (L/250, L/360, etc.) afin de voir la vérification à l'état limite de service au même endroit. Changez la section ou la charge et la flèche se met à jour en direct, ce qui est le moyen le plus rapide de ressentir comment delta varie avec L^4 et 1/I.

Elle calcule la flèche maximale de la poutre directement à partir de la formule fermée, utilisez-la donc comme vérification instantanée de tout calcul de travail virtuel que vous faites à la main : si votre réponse obtenue par produit de diagrammes et ce nombre ne concordent pas, l'un des deux comporte une erreur. Elle est gratuite et ne nécessite aucune connexion pour le calcul.

Dans la plupart des cas, c'est un solveur ou une calculatrice qui produira la flèche. La compétence qui compte est de savoir les vérifier, et le travail virtuel offre des contrôles rapides et peu coûteux.

1. Une seule convention de signe, pour les deux systèmes. Utilisez la même règle de signe pour M et m (et pour N et n). Un résultat positif signifie que le déplacement réel va dans le sens de la charge unité ; négatif signifie le contraire. Mélanger les conventions entre le système réel et le système virtuel est l'erreur silencieuse la plus fréquente.

2. La charge unité doit correspondre à l'inconnue. Une translation exige une force unité et s'exprime en unité de longueur ; une rotation exige un couple unité et s'exprime en radians. Si une rotation a été calculée avec une force unité, les dimensions ne concorderont pas.

3. La réciprocité est un contre-essai gratuit. Échangez le point de charge et le point de mesure ; Maxwell-Betti garantit que vous devez obtenir le même nombre. Cela ne coûte qu'un système virtuel supplémentaire et permet de détecter les erreurs de transcription.

4. Verechtchaguine exige un diagramme rectiligne. Si les deux diagrammes sont courbes sur un segment, le raccourci aire fois ordonnée au centre de gravité n'y est pas valable : découpez aux angles ou intégrez ce tronçon. Une parabole multipliée par une parabole est le piège classique.

5. Recalez le résultat sur le nœud du modèle EF. Le solveur donne directement le déplacement nodal. Votre intégrale manuelle doit le retrouver ; ici, les deux vérifications chiffrées correspondaient à la troisième décimale (8,05 contre 8,047 mm, 1,03 contre 1,029 mm). Un écart supérieur à l'arrondi signale un terme manquant ou un diagramme erroné.

Laisser la charge réelle sur le système virtuel. Le système virtuel ne porte QUE la charge fictive unité. Si le w ou le P réel y figure encore pendant que vous lisez m, le diagramme virtuel est faux, et tout produit construit à partir de lui aussi.

Utiliser une force alors que l'on veut une rotation. Une force unité donne une translation ; un couple unité donne une rotation. Ce sont des grandeurs duales, et choisir la mauvaise donne un résultat aux dimensions incorrectes.

Multiplier deux diagrammes courbes avec le raccourci. La règle de Verechtchaguine exige qu'un diagramme soit rectiligne sur le segment. Une parabole contre une parabole doit être intégrée ou découpée ; appliquer aveuglément aire fois ordonnée au centre de gravité y est tout simplement faux.

Négliger les termes axial et de cisaillement quand ils comptent. Pour les poutres et portiques élancés, la flexion domine et la seule intégrale de Mm/EI suffit (elle a correspondu au modèle EF à la décimale près ici). Pour les barres courtes et de forte hauteur, ou lorsque l'on veut spécifiquement le raccourcissement axial, conservez l'intégrale de Nn/EA et le terme de cisaillement.

Cela fonctionne-t-il pour les structures hyperstatiques ? Oui, comme moteur de la méthode des forces : la même intégrale de charge unité, utilisée pour imposer la compatibilité sur les inconnues hyperstatiques.

La section doit-elle être prismatique ? Non. EI peut varier le long de la barre ; l'intégrale porte simplement I(x), ou l'on somme tronçon par tronçon avec la rigidité de chaque tronçon.

Pourquoi un modèle EF matriciel correspond-il si exactement à cette méthode manuelle classique ? Parce que la solution par éléments finis en méthode des déplacements pour une poutre d'Euler-Bernoulli prismatique est exacte aux nœuds sous charge répartie, et que le travail virtuel est précisément l'énoncé énergétique sur lequel repose la méthode des éléments finis. Ce sont deux vues d'un même principe, ce qui explique qu'elles concordent à la décimale près.

• Le travail virtuel (méthode de la charge unité) calcule directement une flèche ou une rotation, sans équation différentielle ni constante d'intégration : 1 · delta = intégrale de Mm/EI ds pour la flexion, somme de nNL/EA pour les treillis.
• La recette tient en quatre étapes : diagramme réel (M ou N), une seule charge unité à l'endroit visé pour le diagramme virtuel (m ou n), multiplier les deux, diviser par EI ou EA. Une force unité donne une translation ; un couple unité donne une rotation.
• La règle de Verechtchaguine transforme la multiplication en arithmétique : l'aire d'un diagramme multipliée par l'ordonnée du diagramme rectiligne prise au centre de gravité de cette aire. Aucun signe d'intégration, à condition qu'un diagramme soit rectiligne sur le segment.
• Vérifié sur une poutre IPE 360 (L = 6 m, w = 15 kN/m) dans le moteur EF : flèche à mi-portée de 8,05 mm et rotation à l'appui de 0,00429 rad, toutes deux issues d'une seule analyse réelle, chacune correspondant au solveur à la décimale près.
• Vérifié sur une ferme à poinçon (RHS 90x90x5, 40 kN) : la flèche au nœud chargé est de 1,03 mm d'après une somme à cinq lignes de nNL/EA, conforme là encore au nœud du modèle EF. Le même principe est à l'œuvre dans la méthode des forces et offre gratuitement la réciprocité de Maxwell-Betti.