Contrainte Vraie et Contrainte Conventionnelle : le Critère de Striction et une Vérification Détaillée

Un seul essai de traction produit deux courbes contrainte-déformation, et le calcul de structures les utilise dans deux pièces différentes. La courbe conventionnelle divise la force mesurée par la section transversale initiale, σ_eng = P/A₀. C'est la courbe dans laquelle vit la norme : f_y et f_u en sont des points, et un article complémentaire explique pourquoi chaque clause de dimensionnement conserve délibérément cette valeur conventionnelle. La courbe vraie divise la même force par la section transversale réelle à cet instant, σ_true = P/A_i, l'aire qui s'est déjà amincie sous charge. C'est la courbe dans laquelle vit le matériau, et celle que vous devez fournir à un solveur non linéaire, à une simulation de formage ou à un modèle de rupture.

Cet article porte sur la seconde courbe : comment elle se rattache à la première, la conversion en une ligne entre les deux, le critère qui prédit exactement où les deux se séparent, et comment construire une courbe contrainte vraie-déformation exploitable pour l'analyse. Nous l'ancrons par une vérification détaillée sur un vrai tirant en barre ronde A572-50, en utilisant le moteur EF de CalcSteel pour fixer la partie élastique à la quatrième décimale avant de parcourir la courbe à la main jusqu'à la striction. Le thème est l'opposé de l'article complémentaire : non pas pourquoi l'écart peut être ignoré sans risque dans une vérification de norme, mais que faire dès l'instant où vous quittez la norme.

Les deux courbes sont construites à partir de la même force mesurée P, de la longueur initiale L₀ et de l'aire initiale A₀. Quatre définitions :

• Contrainte conventionnelle, σ_eng = P / A₀ : la charge rapportée à chaque millimètre carré avec lequel la barre a commencé.
• Déformation conventionnelle, ε_eng = ΔL / L₀ : l'allongement en fraction de la longueur initiale.
• Contrainte vraie, σ_true = P / A_i : la charge rapportée à l'aire instantanée A_i, qui se rétrécit à mesure que la barre s'allonge (contraction de Poisson dans le domaine élastique, puis écoulement plastique à volume constant).
• Déformation vraie, ε_true = ln(L_i / L₀) = ln(1 + ε_eng) : la somme de chaque allongement incrémental dL/L intégré sur toute la déformation.

En traction A_i est plus petite que A₀, donc la contrainte vraie est toujours la plus grande des deux, et la déformation vraie toujours la plus petite (parce que ln(1 + x) < x). La distinction est invisible tant que la barre bouge à peine et grandit à mesure qu'elle se déforme. Les mesures conventionnelles sont ancrées à la géométrie que vous pouvez mesurer au pied à coulisse avant l'essai ; les mesures vraies suivent la géométrie réellement présente à chaque instant.

Les deux courbes ne sont pas indépendantes. Tant que la déformation est uniforme le long de la barre (avant la formation d'une striction quelconque) et que l'écoulement plastique conserve le volume, A_iL_i = A₀L₀. Cela donne A_i = A₀ / (1 + ε_eng), et donc :

σ_true = σ_eng (1 + ε_eng)    et    ε_true = ln(1 + ε_eng)

Lisez ce que cela signifie : le facteur de conversion (1 + ε) ne dépend que de la déformation, ni du matériau ni du niveau de contrainte. Ainsi, l'ampleur de l'écart est entièrement déterminée par la distance parcourue par l'allongement de la barre. Ce seul fait résume toute l'histoire de quand la contrainte vraie et la contrainte conventionnelle importent, étalée ci-dessous sur toute la plage.

Les lignes du haut expliquent pourquoi la norme conserve la contrainte conventionnelle : aux déformations de dimensionnement l'écart est une erreur d'arrondi, et sa valeur exacte est fixée par la seule déformation. Les lignes du bas expliquent pourquoi les ingénieurs matériaux et formage n'utilisent jamais rien d'autre que la contrainte vraie : là où l'acier est délibérément amené, les deux nombres diffèrent de dizaines de pour cent. Deux conditions accompagnent la formule, et ce sont les petites lignes que l'on oublie. Elle ne tient que tant que la section reste uniforme, donc elle meurt à l'instant où la barre se strictionne, et seulement tant que le volume est conservé, ce qui est un bon modèle pour l'écoulement plastique (coefficient de Poisson effectivement de 0,5) mais pas pour le domaine élastique (environ 0,3, où la barre change légèrement de volume). Dans le domaine élastique, la forme à volume constant surestime donc légèrement l'écart, ce qui en fait la valeur sûre à citer.

Tout ce qui précède supposait une déformation uniforme. Le critère qui dit exactement quand cette hypothèse s'effondre est celui de Considère, et c'est l'idée la plus tranchante de tout ce sujet. Une barre ductile en traction est une course entre deux effets : l'écrouissage rend l'acier plus résistant à mesure qu'il se déforme, tandis que la section qui s'amincit lui fait porter moins de charge pour une contrainte donnée. Au début, l'écrouissage l'emporte et la charge augmente. La striction commence à l'instant où la section perd cette course, le point de charge maximale, qui est aussi la résistance ultime conventionnelle f_u.

En écrivant dP = 0 avec P = σ_trueA_i et volume constant, on obtient le critère en mesures vraies :

dσ_true / dε_true = σ_true

La striction débute là où la pente de la courbe contrainte vraie-déformation égale sa propre hauteur. Si vous modélisez la région d'écrouissage par une loi de puissance (la forme de Hollomon) σ_true = K ε_trueⁿ, le critère se réduit à une ligne : dσ_true/dε_true = nK ε_trueⁿ⁻¹, et en posant cela égal à K ε_trueⁿ on obtient ε_true = n au début de la striction. L'exposant d'écrouissage n est la déformation vraie à laquelle la barre commence à se strictionner. En reconvertissant, l'allongement uniforme (conventionnel) vaut eⁿ − 1. Pour un acier de construction ductile avec n autour de 0,16, cela fait une déformation uniforme d'environ 17 %, ce qui explique pourquoi les essais d'éprouvettes des nuances de construction rapportent des allongements uniformes dans cette plage. C'est le critère que vise le titre de l'article : non pas une clause de la norme, mais la loi de comportement du matériau qui décide où la courbe conventionnelle de la norme est autorisée à redescendre.

La raison de s'intéresser à tout cela en pratique est qu'un modèle non linéaire par éléments finis de l'acier a besoin d'une courbe contrainte vraie contre déformation vraie (ou plastique) en entrée, alors que les données dont vous disposez sont une courbe d'éprouvette conventionnelle. Voici comment transformer l'une en l'autre.

• Branche élastique. Jusqu'à la limite d'élasticité, gardez la droite élastique σ = Eε avec E = 200 GPa. La correction vraie y est inférieure à 0,2 % (voir le tirant vérifié ci-dessous), donc elle ne change rien ; la plupart des solveurs prennent E et f_y directement.
• Branche plastique uniforme. De la limite d'élasticité jusqu'au point ultime, convertissez chaque couple conventionnel avec σ_true = σ_eng(1 + ε) et ε_true = ln(1 + ε). Puis séparez la déformation plastique que veut le solveur : ε_pl = ε_true − σ_true/E. Cette branche est exacte et constitue le cheval de bataille du modèle.
• Au-delà de la striction. La conversion propre est invalide au-delà de f_u parce que la déformation n'est plus uniforme et que l'état de contrainte au niveau de la striction est triaxial. Si votre analyse va jusque-là, soit vous mesurez directement l'aire de la striction, soit vous appliquez une correction de Bridgman, soit vous extrapolez la loi de puissance σ_true = K ε_trueⁿ en l'acceptant comme un modèle, non comme une mesure.

Sautez cette conversion et fournissez la courbe conventionnelle brute au solveur, et vous lui dites que le matériau s'adoucit après f_u. Ce n'est pas le cas : la chute conventionnelle est un artefact de la division d'une charge décroissante par une aire initiale fixe. Un solveur alimenté par cette courbe prédira soit un adoucissement et une localisation fallacieux, soit ne convergera pas. L'erreur grave la plus courante en modélisation non linéaire de l'acier est exactement celle-là.

Mesurons maintenant plutôt que d'affirmer. L'objet le plus honnête pour une contrainte purement axiale est un tirant en barre ronde, qui est à la fois un vrai élément de structure (tirants de retenue, barres de contreventement, suspentes d'auvent) et exactement la géométrie d'une éprouvette de traction ronde ASTM E8. Prenons une barre Ø 45,1 mm, A = 16,0 cm², longue de 6 m, en A572-50 (f_y = 345 MPa).

Nous la modélisons dans le moteur EF de CalcSteel, le même solveur qui se trouve derrière les calculateurs. Sous une traction de service N = 276 kN le moteur renvoie l'effort axial dans l'élément égal à 276,0 kN (équilibre, comme il se doit), l'aire de la section A = 16,0 cm², et l'allongement de l'extrémité chargée de 5,175 mm. Ce dernier nombre est la vérification du moteur lui-même : la forme fermée N L / (A E) = 276 × 600 / (16,0 × 20000) = 0,5175 cm = 5,175 mm, coïncidant à la troisième décimale. La raideur est correcte, donc la contrainte et la déformation que nous en tirons sont fiables, et tout ce qui suit ce point est de l'arithmétique à laquelle le matériau obéit réellement.

Transformons l'analyse en les deux contraintes puis parcourons la courbe. À la charge de service, la contrainte conventionnelle est la force rapportée à l'aire initiale : σ_eng = 276 kN / 16,0 cm² = 17,25 kN/cm² = 172,5 MPa. La déformation est cette contrainte rapportée au module, ε = 172,5 / 200000 = 0,000863, la même valeur que donne directement les 5,175 mm du moteur sur 6000 mm. La contrainte vraie applique la conversion : σ_true = 172,5 × 1,000863 = 172,65 MPa. Le matériau supporte 172,65 MPa ; votre modèle, votre vérification de norme et votre calculateur disent tous 172,5 MPa. L'écart est de 0,15 MPa, soit 0,086 %.

Poussons le tirant jusqu'à la première plastification. σ = f_y = 345 MPa nécessite N = 34,5 kN/cm² × 16,0 cm² = 552 kN. Relançons le moteur à N = 552 kN et il renvoie σ = 345,0 MPa, un allongement de 10,350 mm (donc ε = 10,350 / 6000 = 0,001725, exactement la déformation à la limite d'élasticité de l'A572-50), et l'effort axial de nouveau à 552,0 kN. Convertissons : σ_true = 345,0 × 1,001725 = 345,60 MPa, ε_true = ln(1,001725) = 0,001724. Au seul point qui intéresse la norme, la première plastification, la contrainte vraie est de 0,60 MPa au-dessus du f_y tabulé, trois dixièmes de pour cent, et dans le sens de la sécurité.

Laissons maintenant la norme derrière nous, ce qui est tout l'objet de cet article. Emmenons l'A572-50 de cette même barre le long de sa courbe vraie avec n autour de 0,16. Considère place le début de la striction à ε_true = 0,16, une déformation conventionnelle de e^0,16 − 1 = 17,4 %, à la résistance ultime conventionnelle f_u = 450 MPa. La contrainte vraie y vaut σ_true = 450 × 1,174 = 528 MPa, déjà 17 % au-dessus de la valeur conventionnelle. Au-delà, le tirant se strictionne : la contrainte conventionnelle divise une charge décroissante par les 16,0 cm² initiaux fixes et glisse jusqu'à la rupture, tandis que la contrainte vraie divise cette même charge par l'aire de la striction qui s'effondre et continue de grimper bien au-delà de 600 MPa. Même barre, même essai, trois régimes : identiques à trois décimales en service, une erreur d'arrondi à la limite d'élasticité, et deux nombres complètement différents à la ruine.

Reproduisez l'exercice. Dans le calculateur ci-dessous, choisissez une nuance (essayez l'A572-50, la nuance du tirant), fixez une section et une charge, et lisez la contrainte qu'il rapporte. Divisez cette contrainte par 200 000 MPa pour obtenir la déformation ε, puis multipliez la contrainte par (1 + ε) pour la contrainte vraie. Vous verrez la correction se loger dans la troisième ou la quatrième décimale pour tout ce qui reste en deçà de la limite d'élasticité.

Une variante qui vaut la peine d'être essayée : il s'agit ici d'un poteau en compression, et là le signe de la correction s'inverse. La section s'épaissit sous compression, donc l'aire réelle augmente, A_i > A₀, et la contrainte vraie se situe juste en dessous de la valeur conventionnelle, σ_true = σ_eng(1 − ε) au premier ordre. Aux déformations de dimensionnement elle est de nouveau négligeable, et la compression est gouvernée par le flambement bien avant qu'elle ne puisse compter, ce qui est exactement ce que cet outil calcule.

Rien de tout cela n'apparaît dans une vérification de résistance d'un élément, et l'article complémentaire explique pourquoi il ne le devrait pas. Mais dès l'instant où l'acier est délibérément amené à de grandes déformations plastiques, la courbe vraie est la seule description correcte, et se rabattre sur la courbe conventionnelle est une véritable erreur :

• Analyse non linéaire par éléments finis. Tout calcul qui suit l'acier au-delà de la limite d'élasticité, ductilité d'assemblage, fusibles parasismiques, effondrement plastique, souffle, choc, doit être alimenté en contrainte vraie contre déformation vraie (ou plastique), construite comme dans la section ci-dessus. La courbe conventionnelle fait s'adoucir le modèle de façon artificielle après f_u.
• Formage à froid. Le pliage d'une tôle à la presse plieuse ou le profilage à froid d'un profilé formé à froid impose 10 % à 30 % de déformation au pli. La force de formage, le retour élastique et la contrainte résiduelle dépendent tous de la contrainte d'écoulement (vraie) à cet endroit ; la courbe conventionnelle, déjà en chute, induirait gravement en erreur.
• Rupture et fatigue oligocyclique. La striction (réduction d'aire), la déformation vraie à la rupture et les relations déformation-durée de vie qui sous-tendent les dispositions parasismiques sont toutes écrites en mesures vraies, parce que c'est là que vit l'état réel du matériau.

Il y a un endroit où les deux mondes se rencontrent à l'intérieur de la norme, et il mérite d'être nommé. Le rapport minimal f_u/f_y et l'allongement minimal que chaque nuance de construction doit satisfaire sont des exigences en contrainte conventionnelle dont tout le but est de garantir une longue piste plastique, la région même où la courbe vraie fait son travail. La norme vérifie la résistance en contrainte conventionnelle et achète de la ductilité, mesurée de la même manière, pour protéger une réserve plastique qu'elle décrira en contrainte vraie le jour où elle devra modéliser la consommation de cette réserve.

Fournir une courbe conventionnelle à un solveur non linéaire. L'erreur emblématique. Les modèles de matériau attendent une contrainte vraie contre une déformation vraie (ou plastique) ; la courbe conventionnelle dit au solveur que l'acier s'affaiblit au-delà de f_u, ce qu'il ne fait jamais.

Appliquer σ_true = σ_eng(1 + ε) après la striction. La conversion suppose une déformation uniforme et meurt à la striction. Au-delà, l'état est triaxial et localisé ; la contrainte vraie exige une aire de striction mesurée ou une correction de Bridgman, pas la formule bien propre.

Croire que f_u est la contrainte la plus élevée que l'acier atteint jamais. f_u est le sommet de la courbe conventionnelle. La contrainte vraie à la rupture est bien plus élevée, souvent 1,5 à 2 fois f_u, parce que l'aire réelle de la striction n'est qu'une fraction de l'aire initiale.

Lire la chute post-ultime comme un affaiblissement du matériau. La courbe conventionnelle chute après f_u uniquement parce qu'elle divise une charge qui se rétrécit par une aire initiale fixe. Le matériau s'écrouit jusqu'à la rupture ; la contrainte vraie ne diminue jamais.

Quelle contrainte mon calculateur rapporte-t-il ? La contrainte conventionnelle, toujours, parce qu'il calcule la force rapportée à la section modélisée (initiale), qui est le bon nombre à comparer à un f_y ou un f_u de norme. Pour obtenir la contrainte vraie, multipliez par (1 + ε).

En quoi cela diffère-t-il de l'article complémentaire centré sur la conventionnelle ? Celui-là répond à la question du domaine de dimensionnement : pourquoi la norme conserve la valeur conventionnelle et n'y perd presque rien. Celui-ci répond à la question inverse : ce qu'est la courbe vraie, où Considère dit qu'elle diverge, et comment la construire pour l'analyse. Même sujet, deux pièces.

La contrainte vraie est ce que l'acier supporte et ce dont une analyse au-delà de la limite d'élasticité a besoin ; la contrainte conventionnelle est ce que rapportent la norme et le procès-verbal d'essai. Gardez les deux, et sachez dans quelle pièce vous vous trouvez.

• σ_eng = P/A₀, σ_true = P/A_i ; avant la striction, σ_true = σ_eng(1 + ε) et ε_true = ln(1 + ε). Le facteur ne dépend que de la déformation.
• Le critère de Considère dσ_true/dε_true = σ_true localise la striction ; pour un acier en loi de puissance c'est ε_true = n, allongement uniforme eⁿ − 1.
• Tirant A572-50 vérifié (Ø 45,1 mm, A = 16,0 cm2, 6 m) : le moteur donne 5,175 mm à N = 276 kN, donc σ = 172,5 MPa et σ_true = 172,65 MPa (+0,086 %).
• À N = 552 kN le moteur renvoie σ = 345,0 MPa = f_y avec un allongement de 10,350 mm ; contrainte vraie 345,60 MPa (+0,17 %).
• Loin, à la striction (17,4 % de déformation, f_u = 450 MPa), la contrainte vraie est de 528 MPa et grimpe encore ; alimentez un solveur avec la courbe vraie, jamais avec la conventionnelle.