Dimensionner une poutre de roulement : la vérification en fatigue qui décide de la section

La plupart des éléments en acier sont dimensionnés pour une charge qui reste immobile. Une poutre de plancher porte sa charge de calcul et la maintient ; un poteau porte sa charge axiale pendant toute la vie du bâtiment. Une poutre de roulement est différente. La charge qu'elle porte est une paire de galets qui roulent le long d'elle, arrivent au pire endroit pendant quelques secondes, puis repartent, encore et encore, pendant des décennies. La charge de galet maximale compte, mais elle n'est présente sur une section donnée qu'une fraction du temps.

Cela change ce qui décide réellement de la section. Si vous dimensionnez la poutre de roulement comme vous dimensionnez une poutre de plancher, pour la résistance en flexion sous la charge de galet maximale, vous obtiendrez un élément parfaitement sûr vis-à-vis d'une surcharge unique et pourtant faux, parce que ce qui gouverne une poutre de roulement n'est généralement pas la résistance et souvent même pas la flèche. C'est la fatigue : l'accumulation lente de dommages provenant de la même étendue de contrainte répétée quelques millions de fois. Cet article prend une travée de roulement ordinaire et la dimensionne de trois façons sur le moteur aux éléments finis de CalcSteel, résistance, flèche et fatigue, et regarde la vérification en fatigue supplanter discrètement les deux autres.

Une poutre de roulement est la poutre horizontale sur laquelle circule un pont roulant. Le pont franchit l'espace entre deux chemins de roulement, un de chaque côté de la travée, et ses sommiers d'extrémité posent des galets sur un rail reposant au sommet de chaque poutre de roulement. À mesure que le pont se déplace et que le chariot traverse le pont, ces charges de galet se déplacent avec lui. Trois familles de charge atteignent la poutre de roulement, et elles agissent en même temps :

• Charges de galet verticales. L'action la plus grande. Chaque galet apporte une charge concentrée, amplifiée par un impact vertical (ou coefficient dynamique) parce que le pont est en mouvement et que le palan saisit brusquement la charge.
• Effort transversal de balancement. Un effort horizontal en travers du rail, provenant de l'accélération du chariot et de la charge levée, repris principalement par la semelle supérieure (et tout profilé en U de coiffe), raison pour laquelle les sections de roulement sont souvent renforcées en partie haute.
• Effort de traction longitudinal. Un effort horizontal plus faible le long du rail, provenant du freinage et de l'accélération du pont lors de son déplacement, repris par le contreventement du chemin de roulement.

Le chemin de roulement est généralement construit comme une série de travées sur appuis simples, une portée entre chaque paire de poteaux, de sorte qu'un tassement différentiel des poteaux n'introduise pas de moments dans la poutre. C'est la structure que nous dimensionnons ici : une seule travée sur appuis simples, de 6 m de portée, portant les galets d'un pont roulant.

Voici l'exemple que nous suivons de bout en bout. Un seul pont roulant parcourt le chemin de roulement ; son sommier d'extrémité pose deux galets sur ce rail, espacés de 3,0 m (l'empattement du sommier d'extrémité). La charge statique maximale sous chaque galet, provenant du poids propre du pont plus la charge levée à sa pire position de chariot, est Pmax = 90 kN. La travée franchit L = 6,0 m, sur appuis simples.

Deux ajustements transforment ces galets statiques en actions de calcul. Pour la résistance, la charge verticale est amplifiée par un coefficient dynamique : l'AISC et l'ASCE 7 ajoutent 25 % pour un pont roulant commandé depuis une cabine ou par radio, si bien que la charge de galet de calcul devient 1,25 × 90 = 112,5 kN, et la charge de pont est ensuite pondérée comme une charge d'exploitation (1,6 en LRFD). Pour la fatigue, ni l'un ni l'autre ne s'applique : la vérification s'exécute sur la charge de galet de service, 90 kN, sans coefficient dynamique et sans coefficient de charge, parce que la fatigue est pilotée par l'étendue de contrainte de l'événement quotidien, non par un pic rare. Retenez bien cette asymétrie, c'est toute la raison pour laquelle les vérifications divergent.

Une caractéristique supplémentaire d'une charge mobile : la pire position du pont n'est pas la même pour chaque effet. La position qui maximise le moment fléchissant n'est pas la position qui maximise la flèche. Il faut trouver chacune d'elles.

Avec une charge fixe, on lit le moment maximal sur une formule. Avec deux galets qui roulent, il faut d'abord les placer. Le moment maximal absolu sous un ensemble de charges mobiles se produit lorsque l'axe médian de la poutre partage en deux la distance entre la résultante des charges et le galet le plus proche de celle-ci. Pour nos deux galets égaux de 90 kN espacés de 3,0 m, cela place les galets à 2,25 m et 5,25 m de l'appui gauche.

Prenons les réactions par la statique : la résultante 2P = 180 kN se situe à 3,75 m de la gauche, si bien que la réaction gauche est 180 × (6 − 3,75) / 6 = 67,5 kN et la droite 112,5 kN. Le moment sous le galet à 2,25 m est 67,5 × 2,25 = 151,875 kN·m, et c'est le pic. En introduisant le même modèle dans le moteur CalcSteel, qui maille la travée et la résout comme un portique, on retourne un moment maximal de 151,875 kN·m, correspondant exactement au calcul manuel. Cet accord est l'ancrage de tout ce qui suit : la sollicitation n'est pas une estimation.

C'est le moment de service, sans impact, et c'est le nombre que la vérification en fatigue utilisera directement. Pour la résistance, nous le majorons : avec l'impact et le coefficient de charge d'exploitation, le moment de calcul est 1,6 × 1,25 × 151,875 = 303,75 kN·m.

Dimensionnons maintenant la poutre pour la flexion. En utilisant une vérification de contrainte de flexion élastique, qui est la pratique courante pour les chemins de roulement parce qu'ils sont maintenus élastiques sous le pont de service, la sollicitation est σ = Mu / Sx et la résistance est φ·Fy avec φ = 0,9. Pour un acier de Fy = 345 MPa, cette résistance est de 310,5 MPa, et le moment de calcul pondéré est de 303,75 kN·m.

Essayons le candidat le plus léger, une IPE 400. Le moteur calcule son module de résistance élastique Sx = 1111 cm³, si bien que la contrainte de flexion est 303,75 kN·m / 1111 cm³ = 273,4 MPa, un taux d'utilisation de 0,88. Elle passe. Si la résistance en flexion était toute l'histoire, nous spécifierions l'IPE 400 et passerions à autre chose. Ce n'en est pas le cas, et nous ne le ferons pas.

C'est le piège dont le titre avertit. La vérification en résistance est réelle et l'IPE 400 ne plastifiera ni ne flambera véritablement pas sous le pont pondéré, mais une poutre de roulement se voit poser deux autres questions avant d'être autorisée à devenir une poutre de roulement.

Un chemin de roulement qui fléchit trop sous son pont est inutilisable bien avant d'être dangereux : le rail s'affaisse, le pont peine à franchir le creux, et les galets usent le rail et se dégradent mutuellement. Les codes plafonnent donc la flèche verticale de la poutre de roulement sous les charges de galet de service, couramment à L/600 pour un pont de service modéré (l'AISE et la CMAA donnent L/600 à L/1000 selon la classe). Pour notre travée de 6 m, cette limite est de 10,0 mm.

La flèche est vérifiée à la position du pont qui la maximise, c'est-à-dire le pont centré sur la travée, galets symétriques par rapport à la mi-portée à 1,5 m et 4,5 m, et non la position décalée qui maximisait le moment. C'est là que la charge mobile mérite sa réputation d'être délicate : deux pires positions différentes pour deux effets différents.

Exécutons les trois candidats centrés, aux charges de galet de service de 90 kN sans impact :

L'IPE 400 qui passait la résistance échoue en flèche à 12,53 mm, et la section monte à une IPE 450. Il vaut la peine de noter à quel point ces millimètres sont dignes de confiance : les flèches à deux galets du moteur reproduisent la solution analytique δ = P·a·(3L² − 4a²)/(24EI) à quatre décimales (12,5296, 8,5467, 5,9563 mm), donc ce n'est pas une estimation d'aptitude au service approximative, c'est la même double intégrale que vous feriez à la main, maillée.

Avant la vérification en fatigue, construisez l'intuition avec la poutre vous-même. Le calculateur ci-dessous est l'outil de poutre CalcSteel. Définissez une portée de 6 m sur appuis simples et placez deux charges ponctuelles de 90 kN ; faites-les glisser à 2,25 m et 5,25 m pour lire le moment maximal proche de 152 kN·m, puis déplacez-les à 1,5 m et 4,5 m pour lire la flèche plus grande. Changez la section et regardez le moment rester en place tandis que la flèche et la contrainte de flexion bougent.

Cette dernière observation est la graine de tout l'article : la sollicitation en moment ne se soucie pas de la section que vous choisissez, mais la contrainte si, parce que la contrainte est le moment divisé par le module de résistance. La fatigue est une vérification d'étendue de contrainte, c'est donc le module de résistance, non la portée ni la charge, avec lequel vous vous sortez d'affaire.

La résistance et la flèche ont toutes deux regardé le pont une seule fois, à son pire. La fatigue regarde le pont chaque jour. Un point de la semelle tendue de la poutre de roulement voit sa contrainte s'élever de près de zéro, lorsque le pont est stationné sur une autre travée, jusqu'à un maximum quand les galets roulent au-dessus, puis retomber à près de zéro lorsqu'ils repartent. Cette montée et cette descente forment une étendue de contrainte, Δσ, et elle se répète une fois par passage du pont, quelques millions de fois sur la vie de la structure. Le métal rompt sous suffisamment de répétitions d'une étendue de contrainte bien inférieure à sa limite d'élasticité ; c'est la fatigue.

La vérification a trois ingrédients :

• L'étendue de contrainte appliquée Δσ = M_service / Sx, à partir du moment de service (151,875 kN·m) sans impact et sans coefficient de charge.
• Le nombre de cycles N, d'après l'intensité de travail du pont. Un pont modérément utilisé fonctionne de l'ordre de 2 millions de cycles sur sa vie (une condition de chargement AISC / classe CMAA dans cette plage).
• La catégorie de détail, qui fixe l'étendue de contrainte admissible pour ce N à partir de la courbe S-N (Wöhler). C'est une propriété du détail soudé ou boulonné au point vérifié, non de la nuance d'acier.

Pour un détail soudé courant de chemin de roulement, une condition de catégorie C selon l'AISC 360 (par exemple un raidisseur transversal ou une soudure d'attache dans la zone fortement contrainte), l'étendue de contrainte admissible à 2 millions de cycles est FSR = (Cf/N)^(1/3) = (44×10⁸ / 2×10⁶)^(1/3) = 13,0 ksi, soit environ 89,7 MPa. L'Eurocode atteint le même voisinage : la catégorie de détail 90 de l'EN 1993-1-9 a une étendue de référence de 90 MPa à 2 millions de cycles. Remarquez à quel point ce nombre est faible : 89,7 MPa représente à peine un quart de la limite d'élasticité de 345 MPa. Le matériau est loin de plastifier, et il gouverne pourtant.

Mettons maintenant les trois vérifications sur les mêmes trois sections. L'étendue de contrainte est Δσ = 151,875 kN·m / Sx, et elle doit rester sous 89,7 MPa. Chaque contrainte et chaque flèche ci-dessous sont les valeurs du moteur.

Lisez la dernière colonne de haut en bas. La résistance était satisfaite par l'IPE 400. La flèche l'a poussée à l'IPE 450. La fatigue rejette même l'IPE 450, à une étendue de contrainte de 104,9 MPa contre un admissible de 89,7 MPa, et n'est satisfaite que par l'IPE 500. La vérification en fatigue se situe une taille entière au-dessus de la réponse en flèche et deux au-dessus de la réponse en résistance. Sur une poutre dimensionnée pour la résistance, le taux d'utilisation en fatigue aurait été de 1,52, une surcontrainte de 52 % que vous ne verriez jamais dans un calcul de résistance, parce que le calcul de résistance pose une question différente.

C'est la phrase du titre rendue concrète. Pour cette travée de roulement, la vérification en fatigue décide de la section. La résistance et la flèche sont nécessaires, mais aucune n'est déterminante ; le pont qui passe deux millions de fois l'est.

Ce qui surprend, ce n'est pas que la fatigue compte, c'est le peu de contrainte qu'il faut. Pourquoi l'étendue admissible n'est-elle que de 89,7 MPa quand l'acier plastifie à 345 ? Parce que les fissures de fatigue s'amorcent aux concentrations de contrainte, et un élément en acier de construction en est plein : le pied d'une soudure d'angle, l'extrémité d'une platine de renfort, un trou de boulon, l'angle vif d'une extrémité grugée, la soudure fixant un raidisseur. À ces endroits, la contrainte locale est plusieurs fois la valeur nominale que suit le calcul, et chaque cycle de charge fait avancer une fissure microscopique. La catégorie de détail est en réalité un classement de la sévérité de cette concentration locale.

Deux leviers en découlent directement, et un concepteur de chemin de roulement utilise les deux :

• Abaisser l'étendue de contrainte, en utilisant un module de résistance plus grand. C'est ce qui nous a menés à l'IPE 500. C'est fiable, mais cela coûte de l'acier.
• Améliorer le détail, en montant d'une catégorie : meuler un pied de soudure pour le lisser, arrêter une platine de renfort avant la zone fortement contrainte, remplacer une attache soudée en angle par une attache boulonnée, éviter de souder quoi que ce soit à la semelle tendue. Un meilleur détail relève l'étendue admissible et peut économiser la section.

Le revers de la médaille est l'avertissement : un moins bon détail coûte cher. Un détail de catégorie E selon l'AISC (par exemple une extrémité de platine de renfort non raidie ou une mauvaise attache) a une étendue admissible de seulement environ 56 MPa à 2 millions de cycles, bien en dessous de la catégorie C. Contre cet admissible plus bas, même l'étendue de 81,2 MPa de l'IPE 500 échoue, et vous poursuivriez une section encore plus lourde ou seriez contraint d'améliorer le détail. Sur une poutre de roulement, le dessin de la soudure importe autant que la taille de la poutre.

Les trois ingrédients ci-dessus sont exactement ce que chaque code formalise ; l'emballage diffère.

• L'AISC 360, annexe 3 donne les courbes S-N sous la forme FSR = (Cf/N)^(1/3) ≥ FTH, avec Cf et le seuil FTH tabulés par catégorie de détail (A à E'). Le Design Guide 7 de l'AISC (bâtiments industriels) est le compagnon pratique pour les chemins de roulement, et il fixe, avec l'ASCE 7, l'impact vertical (25 % pour les ponts roulants commandés depuis une cabine ou par radio) et rappelle que l'impact n'est pas appliqué dans l'évaluation en fatigue.
• L'Eurocode répartit le travail : l'EN 1993-6 couvre les structures supportant les ponts roulants et le modèle de charge, et renvoie la fatigue à l'EN 1993-1-9, dont les catégories de détail (160, 90, 71, 56 …) sont l'étendue de contrainte de référence à 2 millions de cycles. Le spectre quotidien est condensé en une seule étendue équivalente en dommage avec un facteur λ qui dépend de la classe de fatigue du pont, si bien qu'une seule vérification de λ·Δσ contre la catégorie fait l'affaire.
• Le décompte des cycles est l'entrée que vous ne pouvez pas sauter. Il provient de la classification de service du pont, classes CMAA 70 de A à F, ou des conditions de chargement AISC de 1 à 4, qui traduisent le nombre attendu de levages et leur spectre de poids en un N de calcul. Un pont léger, rarement utilisé (peu de cycles) peut ne jamais être gouverné par la fatigue ; un pont de process intensif (plusieurs millions de cycles) l'est presque toujours.

Le fil conducteur : la fatigue est vérifiée à la charge de service, sur une étendue de contrainte, contre un admissible fixé par le détail et le décompte des cycles. Chacun de ces éléments diffère de la vérification en résistance, raison pour laquelle les deux divergent si souvent au sujet de la section.

« Dimensionnez-la pour la charge de galet maximale et c'est fini. » C'est la vérification en résistance, et pour une poutre de roulement, c'est généralement la moins exigeante des trois. Notre section pour charge maximale, l'IPE 400, était surcontrainte de 52 % en fatigue.

« Appliquez le coefficient dynamique partout. » Non. L'impact amplifie la charge pour la résistance et pour la flèche que vous comparez à la limite du code, mais l'étendue de contrainte de fatigue est calculée sans impact, sur la charge de galet de service. Ajouter l'impact à l'étendue de fatigue est une erreur réelle et courante qui fait paraître la poutre pire qu'elle n'est.

« La fatigue ne concerne que les ponts et les ponts roulants de process lourds. » Elle est pilotée par les cycles, donc un pont d'entretien peu utilisé avec un faible décompte de cycles peut véritablement être gouverné par la résistance. Mais un pont de production normal atteint rapidement quelques millions de cycles, et la fatigue gouverne alors. Vous décidez en comptant les cycles, non par intuition.

« Un acier plus résistant règle la fatigue. » Non. Les catégories de détail sont presque indépendantes de la limite d'élasticité : l'étendue admissible à une soudure de catégorie C est d'environ 89,7 MPa que la tôle soit en acier de 250 ou de 450 MPa. Un acier de nuance supérieure achète de la résistance, non de la durée de vie en fatigue. Le module de résistance et la qualité du détail achètent de la durée de vie en fatigue.

« La semelle inférieure est le problème de fatigue. » La semelle inférieure porte la plus grande étendue de traction, mais la rupture s'amorce généralement à un détail : une soudure de raidisseur, une console, la liaison au poteau, ou la région du haut de l'âme sous le galet. Le métal de base laminé brut est d'une catégorie élevée ; c'est ce que vous y soudez qui fait chuter le nombre.

Une poutre de roulement est dimensionnée par une charge qui n'est presque jamais sur une section donnée, et la vérification qui la décide n'est pas la vérification évidente. La résistance demande si la poutre survit au pire passage unique ; la flèche demande si elle reste utilisable ; la fatigue demande si elle survit au même passage ordinaire répété quelques millions de fois, et pour un pont de production normal, c'est la fatigue qui pose la question la plus difficile. Sur notre travée de 6 m, elle a fait passer la section d'une IPE 400 à une IPE 500, deux tailles, uniquement sur une étendue de contrainte de 104,9 MPa contre un admissible de 89,7 MPa.

CalcSteel exécute l'enveloppe de charge mobile pour trouver la pire position du pont, retourne le moment et la flèche que produisent les galets, sur le même moteur EF dont les flèches à deux galets correspondaient à la théorie analytique à quatre décimales, et vérifie l'élément selon l'AISC 360, l'Eurocode 3 et la NBR 8800. Modélisez votre propre travée de roulement dans l'éditeur, faites-y rouler les galets, et laissez la vérification en fatigue vous indiquer la section avant que le pont ne le fasse. Si votre travée est continue plutôt que sur appuis simples, les idées de charge mobile présentées ici se raccordent directement à notre guide sur les diagrammes d'effort tranchant et de moment fléchissant.