Cercle de Mohr et contraintes principales : le critère derrière le code, avec une vérification détaillée

Ouvrez n'importe quelle norme de construction métallique à la clause qui vérifie la plastification et vous n'y trouverez pas de limite sur la plus grande contrainte normale dans un élément, ni de limite distincte sur la plus grande contrainte de cisaillement. Ce que le code limite, c'est une contrainte équivalente : un seul nombre, construit à partir des deux contraintes principales agissant en un point, qui représente tout l'état multiaxial. Une fibre avec 100 MPa de flexion et 47 MPa de cisaillement n'est pas vérifiée par rapport à 100, et elle n'est pas vérifiée par rapport à 47. Elle est vérifiée par rapport à la contrainte équivalente que ces deux-là produisent ensemble, et ce nombre peut être plus élevé que chacune d'elles.

L'écart entre ce que vous pouvez lire sur un élément et ce que le code vérifie réellement est exactement l'écart que le cercle de Mohr comble. Il prend l'état que vous pouvez calculer, une contrainte normale et une contrainte de cisaillement sur une face, et rend les contraintes principales dont le critère a besoin. Cet article n'est pas un tutoriel sur le tracé du cercle ; pour cela, notre guide compagnon sur le cercle de Mohr, de l'élément aux EF parcourt chaque étape. Ici, nous restons sur le critère derrière le code, et nous l'appliquons à une véritable console en acier, avec les efforts issus du moteur EF de production de CalcSteel et la transformation vérifiée à la décimale face au calculateur en direct. Le résultat est une leçon sur où la vérification gouverne, que jamais un calcul en flexion seule ne vous montre.

L'acier plastifie par changement de forme, pas par compression. Placez une barre sous une pression égale de tous les côtés (contrainte purement hydrostatique) et elle ne plastifie presque pas ; tordez-la, et elle plastifie facilement. C'est le fait physique que les deux principaux critères de plastification encodent, et c'est pourquoi le code limite une contrainte équivalente plutôt qu'une composante isolée.

Von Mises (énergie de distorsion) est le critère par défaut dans tous les codes de construction métallique modernes. Pour un point en état plan de contrainte, c'est sigma_vM = sqrt(sigma_1^2 − sigma_1 sigma_2 + sigma_2^2), où sigma_1 et sigma_2 sont les contraintes principales. Tresca (cisaillement maximal) est l'alternative légèrement plus conservative, sigma_Tr = sigma_1 − sigma_2 pour le couple dans le plan. La plastification commence lorsque la contrainte équivalente atteint la limite d'élasticité f_y. Tracé dans l'espace des contraintes principales, von Mises est une ellipse et Tresca un hexagone inscrit dans celle-ci ; tout état à l'intérieur de la courbe est élastique, tout état sur celle-ci est à la première plastification.

Les codes écrivent cela de la même manière avec une comptabilité de sécurité différente. EN 1993-1-1 6.2.1(5) l'énonce pour une fibre de poutre directement sous la forme sqrt(sigma^2 + 3 tau^2) ≤ f_y / gamma_M0. NBR 8800 5.4.2.2 limite la sollicitation de von Mises à f_y / gamma_a1 avec gamma_a1 = 1.10. AISC 360 vérifie un état de contrainte par rapport à phi f_y avec phi = 0.90. Des lettres différentes, une seule idée : réduire l'état multiaxial à une contrainte équivalente, puis la maintenir en dessous d'une limite d'élasticité pondérée. Tout le reste de cet article consiste à obtenir cette contrainte équivalente correctement, et le cercle de Mohr est le moyen d'y parvenir.

Vous n'avez besoin que de quatre résultats du cercle pour alimenter le critère, alors les voici sur un seul graphique. Prenez un point en état plan de contrainte avec une contrainte normale sur la face x sigma_x, une contrainte normale sur la face y sigma_y, et un cisaillement tau_xy. Portez sigma en abscisse et tau en ordonnée. Le cercle est centré sur l'axe sigma en sigma_avg = (sigma_x + sigma_y)/2 avec un rayon R = sqrt(((sigma_x − sigma_y)/2)^2 + tau_xy^2).

De ce cercle, les valeurs de calcul découlent géométriquement : les deux points où il croise l'axe sigma sont les contraintes principales sigma_1 = sigma_avg + R et sigma_2 = sigma_avg − R ; le sommet du cercle est le cisaillement maximal dans le plan tau_max = R ; et l'angle vers le plan principal est tan(2 theta_p) = 2 tau_xy / (sigma_x − sigma_y). Les angles doublent sur le cercle, de sorte que le plan de cisaillement maximal se situe toujours à 45 degrés du plan principal sur l'élément.

Une lecture rapide, l'exemple par défaut du calculateur : sigma_x = 80, sigma_y = 20, tau_xy = 30 MPa. Centre = 50, R = sqrt(30^2 + 30^2) = 42,426, donc sigma_1 = 92,426, sigma_2 = 7,574 MPa, tau_max = 42,426 MPa à theta_p = 22,5 degrés. Sa contrainte de von Mises ressort à 88,882 MPa, au-dessus de sigma_1 seule, ce qui est tout l'intérêt : la contrainte équivalente n'est pas une lecture isolée sur l'élément. Mettons maintenant le cercle à l'œuvre sur l'acier.

Nous voulons un élément où la flexion et le cisaillement sont tous deux importants sur la même section transversale, parce que c'est là que le critère combiné prouve son utilité. Une console courte est exactement ce cas : à l'encastrement, le moment de flexion et l'effort tranchant sont tous deux à leur maximum, sur la même section. Pensez à un corbeau portant un point d'appui lourd, ou à une console courte partant d'un poteau.

La console est un IPE 300, une console de longueur L = 1,0 m, portant une charge uniforme de w = 120 kN/m (une console courte et lourde, 120 kN au total), en acier de nuance MR250 (f_y = 250 MPa). À l'encastrement, la statique donne M = wL^2/2 = 60 kN.m et V = wL = 120 kN. Nous l'avons construite dans le moteur EF de production de CalcSteel, la console maillée en 24 éléments, et il renvoie les réactions à la décimale : M = 60,000 kN.m et V = 120,000 kN. Les efforts internes sont ceux du moteur ; à partir d'ici, la transformation des contraintes est faite à la main, vérifiée face à la même routine que le calculateur en direct exécute.

Les caractéristiques de section de l'IPE 300 que nous utilisons sont les valeurs de catalogue qu'un ingénieur consulte : aire 53,8 cm^2, moment quadratique I = 8356 cm^4, module de flexion élastique W_el = 557 cm^3, épaisseur d'âme 7,1 mm, épaisseur de semelle 10,7 mm. (La routine de géométrie du moteur elle-même renvoie I = 8097 cm^4 et W_el = 540 cm^3, environ 3 pour cent en dessous du catalogue, ce qui est l'accord attendu pour une section calculée et ne change rien à l'histoire.) Nous lisons maintenant l'état de contrainte en trois fibres de cette section, et laissons le cercle de Mohr nous dire laquelle intéresse le code.

La même section transversale porte un état de contrainte différent à chaque hauteur, elle trace donc un cercle de Mohr différent à chaque fibre. Trois fibres racontent toute l'histoire.

La fibre extrême (extrémité de la semelle). La flexion est maximale, le cisaillement est nul. L'état est uniaxial : sigma = M / W_el = 6000 kN.cm / 557 cm^3 = 10,77 kN/cm^2 = 107,7 MPa, tau = 0. Le cercle se réduit à un point sur l'axe sigma : sigma_1 = 107,7, sigma_2 = 0, et la contrainte de von Mises est égale à la contrainte appliquée, 107,7 MPa. C'est le point qu'une vérification en flexion examine, et à lui seul il paraît confortable.

L'axe neutre (mi-hauteur). La flexion est nulle, le cisaillement est maximal. En utilisant la distribution exacte VQ/It, le cisaillement culmine à tau = 60,9 MPa (la moyenne simplifiée du code, V divisé par l'aire de l'âme, est de 56,3 MPa). C'est du cisaillement pur : le cercle est centré sur l'origine, les contraintes principales sont égales et opposées à sigma_1 = +60,9 et sigma_2 = −60,9 MPa, tournées de 45 degrés par rapport à l'axe, et la contrainte de von Mises est sqrt(3) fois le cisaillement, 105,5 MPa. Toujours en dessous de la fibre extrême.

La jonction âme-semelle. Juste sous la semelle, les deux sont importants à la fois : la flexion est encore de 100 MPa (la fibre est proche de l'extrême, à une hauteur de 139,3 mm sur la demi-hauteur de 150 mm) et l'âme y porte un cisaillement de 47 MPa. Le cercle est maintenant un véritable cercle avec un centre décalé : sigma_avg = 50 MPa, R = sqrt(50^2 + 47^2) = 68,6 MPa, donc sigma_1 = 118,6, sigma_2 = −18,6 MPa, tau_max = 68,6 MPa, à theta_p = 21,6 degrés. La contrainte principale de traction a dépassé la valeur de la fibre extrême, et une contrainte principale de compression est apparue de nulle part. C'est l'état que le critère est sur le point de sanctionner.

Injectez maintenant les contraintes principales de chaque fibre dans le critère de von Mises et le classement s'inverse contre l'intuition :

• Fibre extrême : sigma_vM = 107,7 MPa.
• Axe neutre : sigma_vM = 105,5 MPa.
• Jonction âme-semelle : sigma_vM = 128,9 MPa.

La jonction gouverne de 19,7 pour cent par rapport à la fibre extrême, même si sa contrainte de flexion est plus faible et sa contrainte de cisaillement est plus faible que les pics ailleurs. La raison est le raccourci de la fibre de poutre : avec sigma_y = 0, la contrainte de von Mises est exactement sigma_vM = sqrt(sigma^2 + 3 tau^2), donc à la jonction sqrt(100^2 + 3 × 47^2) = sqrt(10000 + 6627) = 128,9 MPa. Le cisaillement ne s'ajoute pas à la flexion de façon arithmétique ; il s'ajoute sous une racine carrée avec un facteur trois, et le maximum de cette somme se situe à la jonction âme-semelle, où la flexion est encore proche de son pic et où l'âme porte tout son cisaillement.

C'est là toute la valeur pratique du critère. Une vérification en flexion lit 107,7 MPa à la fibre extrême et s'arrête. Une vérification au cisaillement lit le cisaillement de l'âme et s'arrête. Ni l'une ni l'autre ne voit les 128,9 MPa que le matériau ressent réellement à la jonction. La clause de contrainte combinée existe précisément parce que ce pic est invisible pour les deux vérifications faites séparément, et le cercle de Mohr est ce qui le rend visible : le cercle de la jonction est tout simplement plus grand que les deux autres.

Avec la sollicitation gouvernante fixée à 128,9 MPa et un acier MR250 (f_y = 250 MPa), les trois codes ne diffèrent que par la manière dont ils pondèrent la résistance :

EN 1993-1-1 (gamma_M0 = 1.0) : résistance 250 MPa, taux de travail à la jonction eta = 128,9 / 250 = 0,52 ; à la fibre extrême 107,7 / 250 = 0,43.
NBR 8800 (gamma_a1 = 1.10) : résistance 227,3 MPa, eta = 128,9 / 227,3 = 0,57 ; fibre extrême 0,47.
AISC 360 (phi = 0.90) : résistance 225 MPa, eta = 128,9 / 225 = 0,57 ; fibre extrême 0,48.

Tous les codes passent, confortablement, et c'est très bien, la console n'est pas le sujet. Le sujet est l'écart entre les deux colonnes. Dans chaque code, le vrai taux de travail gouvernant est d'environ 20 pour cent plus élevé que la valeur de la fibre extrême qu'une vérification en flexion seule rapporterait. Sur cette console, c'est la différence entre lire 47 pour cent d'utilisation et lire 57 pour cent (NBR). Sur une section choisie plus proche de la limite, c'est la différence entre une vérification qui passe et une qui ne passe pas. Le critère derrière le code n'est pas une formalité ; il décide de la section chaque fois que la flexion et le cisaillement sont tous deux significatifs sur la même coupe, ce qui est la condition quotidienne à la racine d'une console, à l'about d'une poutre grugée, ou à un appui intermédiaire d'une poutre continue.

Le calculateur ci-dessous exécute la même transformation en état plan de contrainte et la même vérification de plastification que ci-dessus, en direct dans votre navigateur. Saisissez l'état de la jonction, sigma_x = 100, sigma_y = 0, tau_xy = 47, et lisez sigma_1 = 118,6, sigma_2 = −18,6, tau_max = 68,6 et von Mises 128,9 MPa directement sur le cercle. Faites ensuite glisser le diamètre et observez tous les nombres bouger ensemble, ou basculez la vérification de plastification entre NBR 8800 et AISC 360 et voyez le taux de travail changer avec le coefficient de sécurité.

Il fait plus que ce dont l'exemple étudié a besoin. Il charge une véritable section résolue directement depuis le modèle EF de CalcSteel, de sorte que le cercle devient la loupe d'inspection de votre propre analyse plutôt qu'un exercice de manuel ; il passe en triaxial lorsque la contrainte hors plan n'est pas nulle ; et il exporte la figure. Il est gratuit et ne nécessite aucune connexion pour la transformation. Fournissez-lui tour à tour la fibre extrême (100,02 devient un point) et la jonction, et vous verrez le cercle gouvernant grandir en temps réel.

Vous laisserez le solveur et le calculateur produire les nombres. La compétence qui vaut la peine d'être conservée, c'est de les auditer, et le cercle de Mohr vous donne des invariants rapides sur lesquels vous appuyer. Cinq vérifications attrapent presque toutes les erreurs sur une vérification de contrainte combinée.

1. La trace est invariante. sigma_1 + sigma_2 doit être égal à sigma_x + sigma_y, quelle que soit la rotation. Si les contraintes principales ne se resomment pas aux contraintes normales d'origine, la transformation est fausse. Pour la jonction : 118,6 + (−18,6) = 100, qui est sigma_x + 0.

2. Le rayon est le cisaillement maximal. tau_max = R = (sigma_1 − sigma_2)/2. Jonction : (118,6 + 18,6)/2 = 68,6 MPa. Si un tau_max rapporté n'est pas la moitié de l'écart des contraintes principales, quelque chose ne va pas.

3. Pour une fibre de poutre, utilisez le raccourci. Avec sigma_y = 0, von Mises doit être égal à sqrt(sigma^2 + 3 tau^2). C'est une vérification manuelle en une ligne sur n'importe quelle sortie de solveur en un point de flexion plus cisaillement, et c'est littéralement la clause de EN 1993-1-1.

4. Vérifiez la jonction, pas seulement la fibre extrême. Là où la flexion et le cisaillement sont tous deux significatifs sur une section, inspectez la jonction âme-semelle. Si votre seule vérification de contrainte est à la fibre extrême, vous êtes structurellement aveugle au point gouvernant.

5. Attention au cisaillement dans le plan par rapport au cisaillement absolu. Le cercle que vous tracez donne le tau_max dans le plan. Le cisaillement maximal absolu qui gouverne une vérification de Tresca inclut la contrainte principale hors plan (sigma_3 = 0 en état plan de contrainte), il peut donc être plus grand, (sigma_1 − sigma_3)/2. Pour la jonction, cela donne 118,6/2 = 59,3 MPa, plus grand qu'une lecture naïve du sommet du cercle tracé moins le décalage.

Vérifier uniquement la fibre extrême. L'erreur de contrainte combinée la plus fréquente à elle seule. La fibre extrême est là où la flexion culmine mais où le cisaillement est nul, elle cache donc la jonction, où la sollicitation de von Mises était ici 19,7 pour cent plus élevée. Partout où M et V sont tous deux importants sur une section, la fibre extrême n'est pas le point gouvernant.

Additionner sigma et tau de façon arithmétique. Les contraintes sur des faces différentes ne s'additionnent pas comme des scalaires. 100 MPa de flexion et 47 MPa de cisaillement ne font pas 147 MPa de quoi que ce soit. Elles se combinent à travers le cercle en contraintes principales, et la sollicitation de von Mises est de 128,9 MPa, pas 147 et pas 100.

Confondre von Mises et Tresca. Tresca (cisaillement maximal) est toujours le plus conservatif des deux, jusqu'à environ 15 pour cent en cisaillement pur. Les codes prennent von Mises par défaut ; si une vérification utilise sigma_1 − sigma_2, c'est Tresca, et elle donnera une valeur un peu plus lourde. Les deux sont légitimes ; sachez simplement lequel a produit le nombre.

Où sigma_y serait-il jamais non nul dans une poutre ? Aux appuis et sous les charges concentrées, où la compression transversale est réelle, et dans les plaques et coques en général. Une simple fibre de poutre est en état plan de contrainte avec sigma_y proche de zéro, c'est pourquoi le raccourci sqrt(sigma^2 + 3 tau^2) fonctionne si souvent, mais le cercle complet est là pour les cas où il ne fonctionne pas.

État plan de contrainte ou état plan de déformation ? Une fibre en surface libre d'une poutre ou d'un poteau est en état plan de contrainte (la contrainte hors plan est nulle). Au cœur d'un corps épais, elle peut être plus proche de l'état plan de déformation, ce qui modifie la contrainte principale hors plan et donc le cisaillement maximal absolu. Pour les éléments en acier, la lecture en état plan de contrainte est le bon choix par défaut.

Ai-je encore besoin du cercle de Mohr si le solveur rapporte von Mises directement ? Comme vérification, oui. C'est la géométrie en une ligne qui confirme que les contraintes principales du solveur sont cohérentes (trace invariante, rayon égal à tau_max) avant que vous ne fassiez confiance à la contrainte équivalente qu'il en a construite.

• Aucun code de construction métallique ne limite votre plus grande contrainte normale ou de cisaillement à elle seule. EN 1993-1-1, NBR 8800 et AISC 360 limitent tous une contrainte équivalente, von Mises par défaut, construite à partir des contraintes principales.
• Le cercle de Mohr produit ces contraintes principales à partir d'un point en état plan de contrainte : centre (sigma_x + sigma_y)/2, rayon R = tau_max, sigma_1,2 = centre plus ou moins R, plan principal à tan(2 theta_p) = 2 tau_xy / (sigma_x − sigma_y).
• Pour une fibre de poutre, le critère se réduit à sigma_vM = sqrt(sigma^2 + 3 tau^2), qui est exactement EN 1993-1-1 6.2.1(5). C'est la vérification manuelle la plus rapide dont vous disposez en tout point de contrainte combinée.
• Appliqué à une console IPE 300 avec le moteur EF (M = 60 kN.m, V = 120 kN) : fibre extrême 107,7 MPa, axe neutre 105,5 MPa, jonction âme-semelle 128,9 MPa. La jonction gouverne de 19,7 pour cent.
• Vérifiez la jonction, pas seulement la fibre extrême, chaque fois que la flexion et le cisaillement sont tous deux significatifs sur une section : la racine d'une console, une poutre grugée, un appui intermédiaire. C'est le point que le critère derrière le code a été écrit pour attraper.