Contrainte Conventionnelle et Contrainte Vraie : le Critère Derrière la Norme, avec une Vérification Détaillée

Tirez sur une éprouvette d'acier jusqu'à la rompre et la machine d'essai enregistre à chaque instant une force et un allongement. À partir de ce seul couple de mesures, vous pouvez calculer la contrainte de deux façons différentes, et toutes deux sont exactes. Divisez la force par la section transversale d'origine qu'elle possédait au départ et vous obtenez la contrainte conventionnelle, σ_eng = P/A₀. Divisez-la par la section transversale réelle à cet instant, l'aire qui s'est déjà amincie sous charge, et vous obtenez la contrainte vraie, σ_true = P/A_i. Même force, deux dénominateurs, deux nombres.

Chaque résistance de votre norme, f_y la limite d'élasticité et f_u la résistance ultime, est la première : une contrainte conventionnelle. Le matériau, lui, ressent toujours la seconde. Cet article traite de cet écart : ce qu'il est, la conversion en une ligne entre les deux, pourquoi l'AISC, la NBR 8800 et l'Eurocode parlent tous en contrainte conventionnelle à dessein, et une vérification détaillée sur un vrai tirant en acier où le moteur EF de CalcSteel mesure l'écart à la quatrième décimale. En résumé, la norme a choisi le nombre qu'elle peut mesurer, et elle ne perd presque rien en le faisant, jusqu'à ce que l'on atteigne la striction, où les deux contraintes se séparent pour de bon.

Voici les quatre définitions que vous pouvez citer, toutes construites à partir de la même force mesurée P, de la longueur d'origine L₀ et de l'aire d'origine A₀.

• Contrainte conventionnelle, σ_eng = P / A₀. La charge portée par chaque millimètre carré que la barre possédait au départ.
• Déformation conventionnelle, ε_eng = ΔL / L₀. L'allongement rapporté à la longueur d'origine.
• Contrainte vraie, σ_true = P / A_i. La charge sur l'aire instantanée A_i, qui diminue à mesure que la barre s'allonge (contraction de Poisson dans le domaine élastique, puis écoulement à volume constant dans le domaine plastique).
• Déformation vraie, ε_true = ln(L_i / L₀) = ln(1 + ε_eng). La somme de chaque allongement incrémental dL/L, intégrée sur toute la déformation.

La distinction est invisible tant que la barre bouge à peine et croît à mesure qu'elle se déforme. En traction, A_i est plus petit que A₀, si bien que la contrainte vraie est toujours la plus grande des deux. La contrainte conventionnelle est une commodité comptable ancrée sur la géométrie que vous pouvez mesurer au pied à coulisse avant l'essai ; la contrainte vraie est ce que le matériau survivant résiste réellement.

Les deux descriptions ne sont pas indépendantes ; une ligne les convertit l'une en l'autre. Tant que la déformation est uniforme le long de la barre (c'est-à-dire avant la formation de toute striction) et que l'écoulement plastique conserve le volume, A_iL_i = A₀L₀. Le réarrangement donne A_i = A₀ / (1 + ε_eng), et donc :

σ_true = σ_eng (1 + ε_eng)    et    ε_true = ln(1 + ε_eng)

Relisez les deux conditions, car elles sont les clauses en petits caractères que les ingénieurs oublient. La relation ne tient que tant que la section est uniforme (elle meurt donc à l'instant où la barre entre en striction) et tant que le volume est conservé (ce qui est un bon modèle pour l'écoulement plastique, où le coefficient de Poisson vaut effectivement 0,5, mais pas pour le domaine élastique, où il vaut environ 0,3 et où la barre change légèrement de volume). Dans le domaine élastique de dimensionnement, la correction vraie est encore plus faible que ne le suggère σ_eng(1 + ε), si bien qu'y employer la forme à volume constant est une simplification légèrement conservatrice et sûre. Le tableau effectue la conversion sur la plage qui compte.

Trois lignes sont une erreur d'arrondi ; la quatrième est un tout autre monde. Ce contraste résume à lui seul le moment où la distinction compte.

Si la contrainte vraie est celle que le matériau porte réellement, pourquoi aucune clause de dimensionnement ne l'emploie-t-elle ? Trois raisons, et elles se cumulent.

1. C'est ce que rapporte l'essai. Les résistances de chaque norme d'acier proviennent d'un essai de traction mené selon une procédure fixe (ASTM A370, qui invoque l'ASTM E8/E8M ; ISO 6892-1 ailleurs). Ces procédures définissent la limite d'élasticité et la résistance à la traction comme la force divisée par l'aire de la section transversale d'origine. f_y et f_u sont des contraintes conventionnelles par définition, non par choix ; la norme hérite simplement du nombre que le laboratoire est tenu de rapporter.

2. Le dimensionnement vit là où les deux s'accordent. Chaque vérification de résistance, flexion, effort axial, cisaillement, l'équation d'interaction, est une comparaison à f_y ou en dessous, donc à des déformations inférieures à environ 0,18 %. Comme le montrait le tableau, la contrainte vraie n'y dépasse la contrainte conventionnelle que de moins de deux dixièmes de pour cent. La norme ne gagne rien à porter une correction plus petite que la dispersion de l'acier lui-même.

3. C'est le sens conservateur. Comme la contrainte vraie dépasse la contrainte conventionnelle en traction, le vrai point d'élasticité du matériau se situe juste au-dessus du f_y tabulé. Dimensionner sur la valeur conventionnelle laisse cette marge en réserve plutôt que de la dépenser. Un nombre directement mesuré, facile à tabuler et légèrement du côté de la sécurité est exactement ce qu'une norme recherche.

Zoomez sur la partie de la courbe dans laquelle un ingénieur des structures opère réellement, de l'origine jusqu'à la limite d'élasticité, et les lignes conventionnelle et vraie ne forment visuellement qu'une seule ligne. À ε = 0,000750 la conversion ajoute 0,075 % ; à la première plastification pour MR250, ε_y = 0,00125, elle ajoute 0,125 % ; même pour une nuance à 345 MPa à ε_y = 0,001725 elle n'ajoute que 0,172 %. Sur un axe de contrainte tracé, ces décalages sont plus minces que le trait d'encre.

La réserve élastique de Poisson rend l'écart réel plus petit encore. En deçà de la limite d'élasticité, la barre n'a pas encore entamé l'écoulement plastique à volume constant, si bien que son aire diminue avec un coefficient de Poisson de 0,3, non de 0,5. En le prenant correctement en compte, la contrainte vraie à la première plastification vaut environ 250,19 MPa plutôt que les 250,31 MPa que renvoie la formule à volume constant, un écart de 0,075 % au lieu de 0,125 %. Dans les deux cas le message est le même : dans la plage de dimensionnement, la contrainte conventionnelle est la contrainte vraie à toutes fins pratiques, et la forme soignée σ_eng(1 + ε) est celle qu'il est sûr de citer parce qu'elle surestime légèrement l'écart. C'est le sens le plus profond du critère derrière la norme : la norme n'a rien approximé, elle a travaillé dans le régime où l'approximation est exacte à trois décimales.

La distinction cesse d'être académique exactement là où cesse la déformation uniforme : la striction. Jusqu'à la résistance ultime f_u, toute la longueur de référence s'allonge de concert, et σ_eng(1 + ε) tient toujours. Pour un acier doux qui atteint f_u = 400 MPa à une déformation uniforme d'environ 16 %, la contrainte vraie en ce point vaut 400 x 1,16 = 464 MPa, déjà 16 % au-dessus de la valeur conventionnelle, à une déformation vraie de ln(1,16) = 0,148.

Au delà de f_u, les deux courbes font des choses opposées, et il vaut la peine d'être précis sur le pourquoi. La déformation se localise en une striction ; la charge que la barre peut porter commence à chuter. La contrainte conventionnelle, qui divise toujours cette charge décroissante par l'aire d'origine fixe A₀, chute avec elle, glissant jusqu'à la rupture à peut-être 300 MPa. La contrainte vraie divise la même charge décroissante par l'aire réelle, qui s'effondre plus vite que la charge, si bien qu'elle continue de monter jusqu'à la rupture, bien au delà de 600 MPa pour un acier de construction ductile. La célèbre descente de la courbe conventionnelle jusqu'à la rupture n'est pas le matériau qui s'affaiblit ; c'est un artefact de la division par une aire qui n'est plus là. Le matériau ne s'adoucit jamais. Cette seule intuition, à savoir que la chute est l'ombre comptable d'une section qui rétrécit, explique pourquoi quiconque étudie la rupture, la mise en forme ou le crash emploie la contrainte vraie et jamais la contrainte conventionnelle.

Il est temps de mesurer l'écart plutôt que de l'affirmer. Prenez l'objet d'essai le plus honnête possible pour une contrainte aussi pure : une cornière (profilé L) seule L 100x100x10 agissant comme tirant de traction, un élément de contreventement ou une suspente de 4 m de long en acier de construction. Un élément axial ne connaît qu'une contrainte, uniforme sur la section, exactement la géométrie d'éprouvette sur laquelle est née toute la distinction entre conventionnelle et vraie.

Nous le modélisons dans le moteur EF de CalcSteel, le même solveur derrière les calculatrices, et nous en lisons les résultats. Sous une traction de service N = 285 kN, le moteur renvoie l'effort axial dans l'élément à 285,0 kN (l'équilibre, comme il se doit) et rapporte l'aire de la section comme A = 19,0 cm2. Il renvoie aussi l'allongement de l'extrémité chargée : 3,000 mm. Ce dernier nombre est la vérification du moteur lui-même, car la forme fermée N L / (A E) = 285 x 400 / (19,0 x 20000) = 0,300 cm = 3,000 mm, en accord à la troisième décimale. La rigidité est correcte, si bien que la contrainte et la déformation que nous en tirons sont fiables.

Transformons maintenant l'analyse en deux contraintes. La contrainte conventionnelle est l'effort axial sur l'aire d'origine : σ_eng = N / A₀ = 285 kN / 19,0 cm2 = 15,0 kN/cm2 = 150,0 MPa. La déformation que ressent la fibre est cette contrainte divisée par le module : ε = σ / E = 150,0 / 200000 = 0,000750, soit les mêmes 0,075 % que donne directement l'allongement de 3,000 mm du moteur rapporté à la longueur de 4000 mm (3,000 / 4000 = 0,000750). Deux voies indépendantes, une seule déformation.

La contrainte vraie applique la conversion : σ_true = σ_eng(1 + ε) = 150,0 x 1,000750 = 150,11 MPa. Le matériau porte 150,11 MPa ; votre analyse, votre vérification normative et votre calculatrice disent tous 150,0 MPa. L'écart est de 0,11 MPa, soit 0,075 %, sur un tirant chargé à 60 % de la limite d'élasticité du MR250. Ce n'est pas une coïncidence propre à cet élément ; c'est le fait général que, dans le domaine élastique, ε est une fraction de pour cent, si bien que (1 + ε) vaut un à trois décimales près. Le taux de travail qu'imprime votre logiciel, σ/f_y = 150/250 = 0,60, se lirait 0,601 en contrainte vraie. Personne n'affine un dimensionnement sur la troisième décimale du taux de travail, ce qui est précisément la raison pour laquelle la norme ne la porte pas.

Vous pouvez reproduire tout l'exercice. Dans la calculatrice ci-dessous, montez un élément et une charge et lisez la contrainte qu'elle rapporte. Divisez cette contrainte par 200 000 MPa et vous avez la déformation ε. Multipliez la contrainte par (1 + ε) et vous avez la contrainte vraie. Vous verrez la correction rester à la troisième ou quatrième décimale pour tout ce qui reste en deçà de la limite d'élasticité, et vous verrez avec vos propres nombres pourquoi la norme conserve la valeur conventionnelle.

C'est le même moteur qui a produit le tirant détaillé ci-dessus, gratuit, sans connexion pour les calculs.

Augmentez la charge jusqu'à ce que le tirant plastifie pour la première fois et observez l'écart au seul point qui intéresse réellement la norme. La première plastification dans le MR250 correspond à σ = f_y = 250 MPa, ce qui exige N = 25 kN/cm2 x 19,0 cm2 = 475 kN. Relancez le même élément à N = 475 kN et le moteur renvoie σ = 250,0 MPa, un allongement de 5,000 mm (donc ε = 5,000 / 4000 = 0,001250, exactement la déformation à la limite d'élasticité du MR250), et l'effort axial à 475,0 kN. Tout se boucle.

Convertissez : σ_true = 250,0 x 1,00125 = 250,31 MPa, et ε_true = ln(1,00125) = 0,0012492. Au point d'élasticité, la norme écrit f_y = 250 MPa ; la vraie limite d'élasticité du matériau vaut 250,31 MPa ; la différence est de 0,31 MPa, trois dixièmes de un pour cent, et dans le sens de la sécurité. Si le critère derrière la norme est réellement une déformation atteignant un seuil, alors la contrainte qui nomme ce seuil est le même nombre, 250 MPa, que vous la mesuriez par rapport à l'aire d'origine ou à l'aire réelle. Les deux définitions ne divergent qu'une fois que l'on quitte entièrement le monde élastique, ce que le dimensionnement des structures ne fait jamais.

Rien de tout cela ne fait de la contrainte vraie une curiosité. Elle est indispensable, mais pas dans une vérification de résistance d'élément. Recourez-y, et jamais à la contrainte conventionnelle, chaque fois que l'acier est délibérément mené à une grande déformation plastique :

• Formage à froid. Le pliage à la presse d'une tôle ou le profilage à froid d'une section entraîne des déformations de 10 % à 30 % au pli. La force de formage, le retour élastique et la contrainte résiduelle dépendent tous de la contrainte d'écoulement (vraie) à ces déformations ; la courbe conventionnelle, déjà en chute là-bas, vous induirait gravement en erreur.
• Modélisation par éléments finis de la ruine ductile. Tout calcul EF non linéaire qui suit l'acier au delà de la limite d'élasticité, ductilité d'assemblage, fusibles sismiques, souffle, crash, doit être alimenté par une courbe contrainte vraie en fonction de la déformation vraie (ou plastique). Alimenter un solveur avec la courbe conventionnelle lui dit que le matériau s'adoucit après f_u, ce qui n'est pas le cas, et l'analyse diverge ou ment.
• Rupture et fatigue oligocyclique. La striction (réduction d'aire), la déformation vraie à la rupture et les relations déformation-durée de vie qui gouvernent les dispositions sismiques sont toutes écrites en mesures vraies, car c'est là que réside l'état réel du matériau.

Il y a un endroit où les deux mondes se rencontrent au sein de la norme, et il vaut la peine de le nommer. Le rapport minimal f_u/f_y (environ 1,1 à 1,25) et l'allongement minimal que toute nuance de construction doit satisfaire sont des exigences en contrainte conventionnelle dont le but même est de garantir une longue plage plastique, la région précise où contrainte vraie et conventionnelle divergent. Les rotules plastiques, la redistribution des moments et la dissipation d'énergie sismique dépensent toutes cette plage. Ainsi la norme vérifie la résistance en contrainte conventionnelle et achète de la ductilité, mesurée de la même façon, pour protéger une réserve plastique qu'elle décrira en contrainte vraie le jour où elle devra en modéliser la ruine.

Croire que f_u est la contrainte la plus élevée que l'acier atteigne jamais. f_u est le sommet de la courbe conventionnelle. La contrainte vraie à la rupture est bien plus élevée, souvent 1,5 à 2 fois f_u, parce que l'aire réelle à la striction est une fraction de l'aire d'origine.

Lire la chute post-ultime comme un affaiblissement du matériau. La courbe conventionnelle chute après f_u uniquement parce qu'elle divise une charge décroissante par une aire d'origine fixe. Le matériau s'écrouit jusqu'à la rupture ; la contrainte vraie ne décroît jamais.

Appliquer σ_true = σ_eng(1 + ε) après la striction. La formule suppose une déformation uniforme et meurt à la striction. Au delà de ce point, l'état est triaxial et localisé, et la contrainte vraie exige une mesure directe de l'aire (ou une correction de Bridgman), non la conversion soignée.

Alimenter un solveur non linéaire avec une courbe contrainte-déformation conventionnelle. Une erreur très fréquente et dangereuse. Les modèles de matériau en EF attendent la contrainte vraie en fonction de la déformation vraie (ou plastique) ; la courbe conventionnelle fera s'adoucir artificiellement le modèle au delà de f_u.

La différence est-elle jamais significative en dimensionnement des structures ? Pas dans une vérification de résistance normale : à la limite d'élasticité et en deçà, elle est inférieure à 0,2 %. Elle ne devient significative que dans les problèmes à grande déformation : formage, rupture ductile, crash, dispositions sismiques.

Laquelle ma calculatrice rapporte-t-elle ? La contrainte conventionnelle, toujours, car elle calcule la force sur la section modélisée (d'origine). C'est le bon nombre à comparer à un f_y ou un f_u de norme, qui sont eux aussi des contraintes conventionnelles.

Cela vaut-il aussi en compression ? Le signe s'inverse : en compression l'aire croît, si bien que la contrainte vraie est légèrement inférieure à la contrainte conventionnelle. Aux déformations de dimensionnement elle est de nouveau négligeable, et la compression est gouvernée par le flambement et la stabilité bien avant que la distinction ne puisse compter.

La contrainte conventionnelle est le nombre que la norme conserve parce que c'est le nombre que rapporte l'essai et le nombre que le dimensionnement peut utiliser sans correction.

• σ_eng = P/A₀, σ_true = P/A_i ; avant la striction, σ_true = σ_eng(1 + ε) et ε_true = ln(1 + ε).
• f_y et f_u sont des contraintes conventionnelles par définition, car l'ASTM E8 et l'ISO 6892 rapportent la force sur l'aire d'origine.
• Dans la plage de dimensionnement l'écart est une erreur d'arrondi : 0,075 % pour un tirant en service, 0,125 % à la première plastification, et dans le sens de la sécurité.
• Tirant L 100x100x10 détaillé (A = 19,0 cm2, N = 285 kN) : le moteur donne un allongement de 3,000 mm (= NL/AE), donc σ = 150,0 MPa et σ_true = 150,11 MPa.
• À N = 475 kN le moteur renvoie σ = 250,0 MPa = f_y ; les deux contraintes ne se séparent vraiment qu'à la striction, où la contrainte conventionnelle chute jusqu'à la rupture tandis que la contrainte vraie grimpe au delà de 460 MPa.