Calculadora de Círculo de Mohr

El círculo de Mohr es la representación gráfica del estado de tensión en un punto. Dadas las tres componentes de un estado plano de tensiones — las tensiones normales σx y σy y la tensión cortante τxy — todo par posible de tensión normal y cortante (σx′, τx′y′) que medirías girando el elemento a un nuevo ángulo θ se encuentra sobre un único círculo en el plano σ–τ. Christian Otto Mohr publicó la construcción en 1882, y sigue siendo la forma más rápida de ver cómo se transforma la tensión con la orientación.

El círculo tiene su centro en el eje σ en la tensión normal media σprom = (σx + σy)/2 y un radio R = √[((σx − σy)/2)² + τxy²]. Dos hechos surgen de inmediato y gratis: las tensiones principales σ1 y σ2 son los puntos donde el círculo cruza el eje σ (allí la cortante es nula), y la tensión cortante máxima en el plano τmáx es igual al radio R, y ocurre en planos a 45° de las direcciones principales. Ese es el objetivo de la herramienta — leer σ1, σ2, τmáx y la orientación θp directamente de la geometría, sin memorizar seis fórmulas de transformación.

Esta calculadora ya viene resuelta al cargar, con el caso clásico de libro σx = 80, σy = 20, τxy = 30 MPa (σ1 = 92,43, σ2 = 7,57, τmáx = 42,43 MPa, θp = 22,5°) y — a diferencia de las imágenes estáticas que sirve la mayoría de los sitios gratis — el círculo es vivo: arrastra el punto ámbar X′ (o el control θ) y observa cómo las tensiones del elemento físico giran con él.

El círculo es solo la figura geométrica de las ecuaciones de transformación del estado plano de tensiones. Para un elemento girado en sentido antihorario un ángulo θ:

Magnitud	Fórmula
Tensión normal, cara x′	σx′ = (σx+σy)/2 + (σx−σy)/2·cos2θ + τxy·sen2θ
Tensión normal, cara y′	σy′ = (σx+σy)/2 − (σx−σy)/2·cos2θ − τxy·sen2θ
Tensión cortante	τx′y′ = −(σx−σy)/2·sen2θ + τxy·cos2θ
Centro (media)	σprom = (σx + σy)/2
Radio	R = √[((σx−σy)/2)² + τxy²]
Principal mayor	σ1 = σprom + R
Principal menor	σ2 = σprom − R
Cortante máx. en el plano	τmáx = R (en el plano σ = σprom)
Ángulo principal	tan 2θp = 2τxy / (σx − σy) → θp hasta σ1
Ángulo de cortante máx.	θs = θp − 45°

Dos invariantes son excelentes comprobaciones, y la calculadora satisface ambas de forma exacta: la suma de las tensiones normales es constante, σx′ + σy′ = σx + σy = σ1 + σ2 para cualquier θ; y en los planos principales la cortante se anula (τx′y′ = 0), que es precisamente por lo que σ1 y σ2 quedan sobre el eje σ. Como el ángulo aparece como 2θ en las fórmulas, una rotación física de θ recorre 2θ en el círculo — girar 45° en el elemento equivale a barrer 90° en el círculo, y por eso los planos de cortante máxima quedan a 45° de los planos principales.

1. Introduce tu estado de tensión — σx, σy y τxy en los campos (MPa, o ksi con el botón SI ⇄ imperial). La tracción es positiva; un τxy positivo es la cortante que tiende a girar la cara +x en sentido antihorario. Escribe σ negativo para compresión.
2. Lee los resultados principales al instante — la franja de indicadores muestra σ1, σ2, la τmáx en el plano, el ángulo principal θp, la cortante máxima absoluta (fuera del plano) y la tensión equivalente de von Mises. Sin botón "calcular": todo se actualiza mientras escribes.
3. Arrastra el círculo. Toma el punto ámbar X′ y recórrelo por el círculo, o usa el control θ. El elemento de tensión de la derecha gira al unísono y el lector en vivo imprime σx′, σy′ y τx′y′ para la orientación actual — la intuición que una calculadora estática nunca da.
4. Ve directo a las orientaciones clave con un clic — θp gira el elemento a los planos principales (cortante = 0), θs a los planos de cortante máxima, 0° de vuelta al elemento de referencia.
5. Prueba un preajuste — cortante pura, tracción uniaxial, tracción–compresión biaxial y estado equibiaxial están a un clic y ayudan a construir intuición de cómo se mueve el círculo.
6. Ejecuta la verificación normativa — elige un acero real (el fy se lee del mismo catálogo NBR 7007 / ASTM / EN / ZAR que alimenta el editor CalcSteel) y una norma (NBR 8800 con γa1 = 1,10, o AISC 360 con φ = 0,90). El panel muestra la utilización η = σvM / resistencia con veredicto PASA/FALLA, y el plano σ1–σ2 dibuja la elipse de von Mises y el hexágono de Tresca con tu punto de estado — una verificación de diseño, no solo un número.
7. Pasa a 3-D. Activa triaxial (σz) e introduce la tensión principal fuera del plano: la herramienta dibuja la construcción de los tres círculos, informa σI/σII/σIII, la τmáx absoluta y un von Mises 3-D verdadero, y los lleva a la misma verificación — la capacidad triaxial que las herramientas 2-D aplazan.
8. Carga una sección resuelta real. Tras analizar un modelo en el editor 3D de CalcSteel, el panel "De tu modelo resuelto" lista cada barra resuelta; elige una barra, un extremo y una fibra (fibra externa o eje neutro) y el σ/τ que el solver FEM produjo allí se cargan directo en el círculo — el círculo de Mohr se vuelve la lente de inspección del solver real.
9. Exporta o comparte gratis — descarga SVG/PNG/CSV (sin marca de agua), o pulsa Compartir enlace para copiar un permalink que codifica el estado exacto de tensión, el acero y la norma — pégalo en una tesis, una clase o un mensaje y se reabre ya resuelto.

Consejo: el polo P (origen de planos) se dibuja en el círculo. Una recta desde el polo, paralela a cualquier plano físico, corta de nuevo el círculo en las tensiones que actúan en ese plano — un atajo que vale la pena aprender.

Las tensiones principales son las tensiones normales máxima y mínima en el punto, y actúan en planos con cortante nula. Geométricamente son los dos cruces del círculo con el eje σ, σ1 = σprom + R y σ2 = σprom − R. Su orientación θp proviene de tan 2θp = 2τxy/(σx − σy); la calculadora la informa medida desde el eje x hasta el plano de σ1 y la reduce al intervalo (−90°, 90°] que los ingenieros usan realmente. Las principales importan porque la mayoría de los criterios de fallo se escriben en función de ellas — tensión normal máxima (Rankine) para materiales frágiles, y los valores principales alimentan directamente los criterios de energía de distorsión y de Tresca para los dúctiles.

Cortante máxima. La parte superior e inferior del círculo dan la cortante máxima en el plano, τmáx = R, en planos a 45° de las direcciones principales y acompañada de la tensión normal σprom en esos mismos planos (detalle que los principiantes suelen olvidar — los planos de τmáx no son de cortante pura salvo que σprom = 0). En un estado plano de tensiones la tercera principal es σ3 = 0, así que en realidad existen tres círculos de Mohr; la cortante máxima absoluta — la que gobierna una verificación de Tresca — es el radio del mayor de ellos, τabs = máx(|σ1|, |σ2|, |σ1−σ2|)/2. Cuando σ1 y σ2 tienen el mismo signo, este valor fuera del plano es mayor que la τmáx en el plano, por lo que la calculadora lo informa aparte.

El polo (origen de planos) es la parte elegante. Una vez localizado el polo P en el círculo, cualquier recta que pase por P trazada paralela a un plano físico corta de nuevo el círculo exactamente en la (σ, τ) que actúa en ese plano — sin la aritmética del ángulo duplicado. Convierte las preguntas de orientación en construcciones con regla y paralelas, por lo que es un clásico de la enseñanza de geotecnia y mecánica. Esta herramienta dibuja y rotula el polo para que practiques el método directamente con tus propios números.

La mayoría de las herramientas gratis de Mohr se detiene en un número de von Mises. Esta cierra el ciclo en una verificación de fluencia de verdad. Elige un acero real y la herramienta lee su límite elástico fy del mismo catálogo de materiales que impulsa el editor 3D y las páginas de perfil de CalcSteel — NBR 7007 (MR-250, AR-350…), ASTM (A36, A572, A992…), EN 10025 (S235–S460), aceros australianos e indios, además de los aceros conformados en frío ZAR / S___GD. La solicitación equivalente — von Mises σvM = √(σ1² − σ1σ2 + σ2²) en tensión plana, o la forma 3-D completa en modo triaxial, con opción de Tresca — se compara entonces con la resistencia de diseño de la norma:

Norma	Resistencia de diseño	Utilización
NBR 8800:2008 (§5.4.2.2)	fy / γa1, γa1 = 1,10	η = σvM / (fy/γa1)
AISC 360-22	φ · fy, φ = 0,90	η = σvM / (φ·fy)

El resultado es un veredicto PASA/FALLA y una razón de utilización η que puedes citar directamente. Junto a ella, el plano de diseño σ1–σ2 dibuja la elipse de von Mises (lugar geométrico de fluencia en fy), el hexágono de Tresca inscrito y el lugar discontinuo de la resistencia de diseño, con tu punto de estado trazado — si el punto queda dentro de la curva de diseño, la sección es segura. Elegir un perfil y un acero reales transforma una calculadora de transformación corriente en una verdadera herramienta de diseño.

Cárgalo desde el solver real. El diferencial destacado: tras analizar una estructura en el editor 3D de CalcSteel, esta herramienta lee los esfuerzos de extremo del solver (N, V, M, T) de cualquier barra, los combina con las propiedades de la sección del perfil asignado y coloca el (σ, τ) resultante en la fibra que elijas — la fibra externa (tensión de flexión máxima, cortante nula) o el eje neutro (flexión nula, cortante máxima) — directo en el círculo. Ningún competidor gratis puede hacerlo porque ninguno tiene solver; aquí, el círculo de Mohr se vuelve la lente de inspección de tu modelo FEM real.

Las convenciones de signos son la fuente número uno de confusión con el círculo de Mohr, así que aquí está exactamente lo que hace la herramienta:

• Tensión normal σ: la tracción es positiva (trazada a la derecha en el eje σ); la compresión es negativa (a la izquierda).
• Tensión cortante τxy: positivo significa que la cortante en la cara +x apunta en la dirección +y — es decir, tiende a girar el elemento en sentido antihorario. Es la convención de Gere/Hibbeler.
• Trazado: el punto X = (σx, −τxy) y el punto Y = (σy, +τxy) se trazan en los extremos opuestos de un diámetro. Trazar la cara x con −τxy es el truco estándar que hace que una rotación física antihoraria θ corresponda a un barrido antihorario de 2θ en el círculo, de modo que círculo y elemento giran siempre en el mismo sentido.
• Ángulo θ: medido en sentido antihorario desde el eje x de referencia. El θp informado es el ángulo hasta el plano de σ1; θs = θp − 45° es el ángulo hasta el plano de cortante máxima.
• Ángulo físico vs. ángulo en el círculo: recuerda el factor dos — θ en el elemento es 2θ en el círculo.

Si tu libro traza la cortante positiva hacia abajo o mide los ángulos en sentido horario, los números (σ1, σ2, τmáx, |θp|) son idénticos; solo la figura se refleja. Las ecuaciones de transformación que evalúa esta calculadora son independientes de la convención en cuanto a las magnitudes.

Los resultados son analíticos, no numéricos — la transformación en tensión plana es álgebra exacta, así que σ1, σ2, τmáx y θp se calculan con precisión de máquina directamente a partir de σx, σy y τxy. No hay malla, iteración ni tolerancia; el único redondeo está en la visualización (el cálculo interno mantiene doble precisión). Todos los valores se contrastaron con las ecuaciones de transformación: girar el elemento a θp devuelve τx′y′ = 0 y σx′ = σ1, girar a θs devuelve σx′ = σprom y |τx′y′| = τmáx, y σx′ + σy′ se mantiene igual a σx + σy en todo ángulo — todo satisfecho con error < 1 × 10⁻³.

Hipótesis y alcance: por defecto es un estado plano de tensiones — σz = τxz = τyz = 0, el modelo correcto para placas delgadas, superficies libres y la fibra externa de una viga o eje — y la cortante absoluta y el von Mises informados ya tienen en cuenta el círculo σ3 = 0. Activa el modo triaxial para suministrar directamente la principal fuera del plano σz (aún suponiendo z como dirección principal, τxz = τyz = 0): la herramienta dibuja entonces los tres círculos de Mohr y calcula el von Mises 3-D verdadero √[((σI−σII)²+(σII−σIII)²+(σIII−σI)²)/2] y τabs = (σI−σIII)/2. La verificación normativa es real: la tensión equivalente se compara con el fy de un acero del catálogo con el coeficiente de la norma (NBR 8800 γa1 = 1,10; AISC 360 φ = 0,90) para dar una utilización PASA/FALLA. Para construir automáticamente la tensión gobernante a partir de varios casos de carga, o ejecutar la verificación completa de barra/conexión, continúa en el editor 3D de CalcSteel — desde el cual también puedes cargar una sección resuelta directo en esta herramienta.