Método del trabajo virtual: cómo obtener una flecha sin una sola ecuación diferencial

Todo curso de mecánica enseña la flecha de una viga de la misma manera: partes de la ecuación de la curva elástica EI y'' = M(x), integras una vez para obtener el giro, integras otra vez para obtener la flecha, y te quedan dos constantes de integración que solo las condiciones de frontera pueden fijar. Funciona. Pero también es un peaje que pagas de nuevo cada vez que cambia la pregunta. ¿Quieres el giro en lugar de la flecha? Vuelve a evaluar todo. ¿Lo quieres en el punto a un cuarto de la luz en vez de en el centro? Vuelve a evaluar todo. Pasa a un pórtico, donde la curva elástica se dobla alrededor de una esquina rígida, y ya ni siquiera existe una única y(x) prolija para integrar. Pasa a una celosía y la ecuación diferencial nunca fue la herramienta correcta desde el principio.

El método del trabajo virtual, también llamado método de la carga unitaria, elimina la ecuación diferencial y la reemplaza con un solo número que armas a partir de dos diagramas de fuerzas. La idea en una frase: para encontrar el desplazamiento en un punto, aplicas ahí una carga unitaria imaginaria, e igualas el trabajo externo que esa carga unitaria realizaría a través del desplazamiento real con el trabajo interno de sus fuerzas a través de las deformaciones reales. Reordenada, esa igualdad es el desplazamiento. Sin segunda integración, sin constantes, sin condiciones de frontera que perseguir. Este artículo lo desarrolla de principio a fin, dos veces, con el motor FEM en producción de CalcSteel como árbitro: una viga de acero real donde un solo análisis produce dos respuestas distintas, y una celosía de acero real donde todo el cálculo cabe en una tabla de cinco filas.

El principio del trabajo virtual dice que, para un cuerpo en equilibrio, el trabajo externo realizado por un sistema de fuerzas al desplazarse a través de cualquier conjunto compatible de desplazamientos es igual al trabajo interno realizado por sus esfuerzos a través de las deformaciones correspondientes. El método de la carga unitaria es un uso ingenioso de esta idea. Construyes un sistema virtual (ficticio): la misma estructura, sin ninguna carga real, con una sola carga unitaria colocada exactamente en el punto y en la dirección exacta del desplazamiento que quieres (una fuerza unitaria para una traslación, un par unitario para una rotación). Esa carga unitaria hace de sistema de fuerzas externo, y las deformaciones reales son los desplazamientos por los que se mueve.

El trabajo virtual externo es entonces simplemente 1 × delta, la carga unitaria multiplicada por el desplazamiento desconocido. El trabajo virtual interno es la suma, en toda la estructura, de cada fuerza interna virtual actuando a través de la deformación real que provoca. Para una barra en flexión, la curvatura real es M/EI, así que la densidad de trabajo interno es m × (M/EI); para una barra con carga axial, el alargamiento real es NL/EA, así que es n × (NL/EA). Igualar el trabajo externo con el interno da la ecuación maestra, una sola línea que cubre vigas, pórticos y celosías:

1 · delta = integral de (M m / EI) ds + integral de (N n / EA) ds + integral de (V v / GA) ds + integral de (T t / GJ) ds

Aquí las mayúsculas (M, N, V, T) son las fuerzas internas reales y las minúsculas (m, n, v, t) son las virtuales, producidas por la carga unitaria. Conservas solo los términos que la estructura realmente tiene: una viga esbelta es casi flexión pura, una celosía es axial pura, un eje es torsión pura. Todo lo que sigue no es más que esta ecuación, evaluada.

Reducido a un procedimiento, calcular cualquier flecha o rotación es cuestión de cuatro movimientos:

1. Sistema real. Aplica las cargas reales y encuentra el diagrama de fuerzas internas real: M(x) para una viga o un pórtico, la fuerza axial N en cada barra de la celosía. Este es el único análisis que ibas a hacer de todos modos; aquí lo produce el motor FEM.
2. Sistema virtual. Retira todas las cargas reales. Aplica una sola carga unitaria en la ubicación y la dirección exactas del desplazamiento que quieres: una fuerza unitaria para una traslación, un par unitario para una rotación. Encuentra su diagrama interno m(x) o n. Como solo lleva una carga unitaria, este diagrama siempre es simple: tramos rectos para una viga, una resolución rápida de nudos para una celosía.
3. Multiplica. Integra el producto M · m a lo largo de cada barra (vigas y pórticos), o suma n · N · L sobre las barras (celosías).
4. Divide entre la rigidez. Divide el término de flexión entre EI y el término axial entre EA. El resultado es el desplazamiento. Su signo te indica si el movimiento va en el mismo sentido que la carga unitaria (positivo) o en el sentido contrario (negativo).

La razón por la que esto le gana a la doble integración en la práctica es que el paso 1 ocurre una sola vez. Cada pregunta nueva, un punto distinto, una rotación, el movimiento relativo entre dos nudos, solo cambia el barato sistema virtual del paso 2. Eso es exactamente lo que haremos a continuación: un solo análisis real de una viga, dos desplazamientos distintos.

Toma una viga IPE 360 simplemente apoyada, con luz L = 6,0 m, que soporta una carga uniforme w = 15 kN/m (una carga lineal típica de viga de piso), en acero grado MR250. Las reacciones son wL/2 = 45 kN en cada extremo. El momento flector real es una parábola, nula en los apoyos y máxima en el centro de la luz:

M(x) = 45x − 7,5x^2 (kN·m, x en m), con M_max = wL^2/8 = 67,5 kN·m.

Construimos esta viga en el motor FEM en producción de CalcSteel (la luz mallada en ocho elementos). Devuelve las reacciones y M_max = 67,500 kN·m hasta el decimal. También informa la sección que realmente usó: el motor recalcula las propiedades de la sección a partir de la geometría y devuelve A = 72,7 cm^2 (que coincide con el catálogo) y un momento de inercia I = 15 728 cm^4, alrededor de un 3 por ciento por debajo del valor de tabla de 16 270 cm^4, porque las alas inclinadas y los radios de acuerdo del alma quedan fuera de la fórmula cerrada. Usamos la I propia del motor en todo momento, así que la integral a mano y la flecha del FEM dan el mismo número. Con E = 200 GPa, eso es EI = 31 456 kN·m^2. Ahora le hacemos a la viga dos preguntas distintas, y respondemos ambas a partir de este único diagrama.

Primera pregunta: la flecha vertical en el centro de la luz. Construye el sistema virtual: retira w, y cuelga una sola fuerza unitaria hacia abajo (1) en el centro de la luz. Su diagrama de momento m(x) es un triángulo, nulo en ambos apoyos y máximo en L/4 = 1,5 kN·m en el centro. La flecha es la ecuación maestra con solo el término de flexión:

delta = (1/EI) · integral de M(x) m(x) dx

Multiplicar la parábola real por el triángulo virtual a lo largo de la luz da integral de M m dx = 253,125 kN·m^3, un producto puramente geométrico que no sabe nada de la sección. Divide entre EI:

delta = 253,125 / 31 456 = 0,008047 m = 8,05 mm.

Eso es exactamente el clásico 5wL^4/384EI, y el nudo del centro de la luz del motor FEM informa 8,047 mm, lo mismo hasta el decimal. Sin constantes de integración, sin condiciones de frontera. Y fíjate qué hizo el trabajo: un triángulo por una parábola, una integral, una división.

Segunda pregunta, y aquí es donde el método demuestra su valor: el giro (rotación) en el apoyo izquierdo. El sistema real no cambia, así que M(x) es la misma parábola. Solo cambia el sistema virtual: retira w y aplica un par unitario (1 kN·m) en el apoyo izquierdo. Su diagrama de momento m-bar(x) es una línea recta que va de 1 en el apoyo izquierdo a 0 en el derecho.

Como m-bar es una única línea recta en toda la luz, la multiplicación es un solo paso de la regla de Vereshchagin: toma el área de la parábola real y multiplícala por la ordenada del diagrama virtual recto en el centroide de esa área. El área de la parábola es (2/3) × L × M_max = (2/3) × 6 × 67,5 = 270 kN·m^2, su centroide está en el centro de la luz, y ahí m-bar vale 0,5. Entonces integral de M m-bar dx = 270 × 0,5 = 135 kN·m^2, y:

theta = 135 / 31 456 = 0,004292 rad = 0,246 grados.

Eso es exactamente wL^3/24EI, y la rotación del nudo del FEM es 0,00429 rad. Un solo análisis real ha producido ahora dos respuestas independientes, una flecha y una rotación, cada una al costo de un diagrama virtual de una sola línea. Si pides la flecha en el punto a un cuarto de la luz, es la misma jugada por tercera vez (el motor la da en 5,73 mm). Esta reutilización es la razón de ser del método.

El paso que parece magia, reemplazar una integral por un solo producto, es la regla de Vereshchagin, y es exacto siempre que al menos uno de los dos diagramas sea una línea recta en ese tramo. En un tramo así:

integral de M m dx = (área de un diagrama) × (ordenada del diagrama recto en el centroide del primero).

Una tabla corta de los pares habituales, rectángulo por rectángulo, triángulo por triángulo, parábola por triángulo, y así sucesivamente, convierte cualquier flecha de viga o pórtico en áreas y ordenadas de centroide que puedes leer de un croquis. El análisis estructural usa estas tablas de acoplamiento precisamente para que nadie tenga que integrar a mano un producto de diagramas.

Dos precauciones mantienen esto honesto. Primero, el atajo necesita que un diagrama sea recto; una parábola por otra parábola hay que integrarla o partirla. Segundo, un quiebre cuenta. El triángulo virtual del centro de la luz que vimos arriba se dobla en el centro, así que, en rigor, divides la luz en el quiebre y sumas dos productos (cada uno un tramo recto por la parábola); el resultado sigue siendo 253,125, sigue siendo pura aritmética. El diagrama virtual de la rotación en el apoyo no tenía ningún quiebre, así que fue un solo 270 × 0,5.

Una barra de celosía solo lleva fuerza axial, constante a lo largo de su longitud, así que la integral de flexión colapsa en una suma con una fila por barra. En una celosía no hay ecuación diferencial en ningún lado, para empezar:

delta = suma de (n N L / EA)

Toma una celosía tipo king-post (par y péndolón): un cordón inferior que pasa por L(0,0), M(3,0), R(6,0) en metros, con un vértice superior en T(3,3); las barras son los cordones inferiores LM y MR, las diagonales LT y TR, y el montante vertical TM. Está articulada en L, sobre un apoyo deslizante en R, y una carga P = 40 kN cuelga del nudo medio inferior M. Todas las barras son un RHS 90x90x5 (A = 17,0 cm^2), grado MR250.

Las fuerzas reales salen del método de los nudos, y el motor FEM las devuelve hasta el decimal: cordones LM = MR = +20 kN (tracción), diagonales LT = TR = −28,28 kN (compresión, −P/√2), montante TM = +40 kN (tracción). Queremos la flecha vertical en M, así que el sistema virtual es una carga unitaria hacia abajo en M. Como la geometría y los apoyos no cambian, sus fuerzas de barra son simplemente n = N/P. Todo el cálculo cabe en una tabla:

Luego divide entre la rigidez axial EA = 17,0 cm^2 × 20 000 kN/cm^2 = 340 000 kN:

delta = 349,7 / 340 000 = 0,00103 m = 1,03 mm.

El nudo M del FEM baja 1,029 mm. Una flecha real en acero obtenida de cinco filas de aritmética, sin la ecuación diferencial a la vista por ningún lado.

La misma ecuación maestra se extiende en tres direcciones que vale la pena conocer.

Pórticos y todas las acciones a la vez. Un pórtico simplemente incorpora más términos: delta = integral de (Mm/EI) + integral de (Nn/EA) + integral de (V v/GA) + integral de (Tt/GJ). Sumas los términos que la estructura tiene y descartas el resto. En la viga descartamos el cortante y el axial, y aun así coincidimos con el FEM hasta el decimal, porque en una viga esbelta esos términos son genuinamente despreciables; una celosía conserva solo el término axial; un eje conserva solo la torsión. La contabilidad nunca cambia: diagrama real por diagrama virtual, sobre la rigidez.

Estructuras estáticamente indeterminadas. El trabajo virtual es el motor del clásico método de las fuerzas (o de la flexibilidad). Liberas la estructura hasta volverla determinada, tratas cada redundante como una carga unitaria desconocida, usas la integral de la carga unitaria para calcular los desplazamientos que las redundantes deben cancelar, y resuelves un pequeño sistema de compatibilidad para ellas. Es la misma integral, ahora imponiendo compatibilidad en vez de reportar una flecha. Consulta nuestros artículos relacionados sobre dónde se detiene el método manual y la comprobación resuelta de la viga continua.

Reciprocidad gratis. Como M m y m M son el mismo producto, la reciprocidad de Maxwell-Betti sale directamente de ahí: la flecha en A debida a una carga unitaria en B es igual a la flecha en B debida a una carga unitaria en A. Eso no solo es elegante, es una auditoría gratuita para cualquier coeficiente de influencia que calcules.

La calculadora de abajo es la misma viga simplemente apoyada. Fija la luz en 6 m y una carga uniforme de 15 kN/m, elige una IPE 360, y lee la flecha máxima: es el 8,05 mm que acabas de armar multiplicando una parábola por un triángulo, mostrado ahora junto al límite de flecha de la norma (L/250, L/360, etcétera) para que veas la verificación de servicio en el mismo lugar. Cambia la sección o la carga y la flecha se actualiza en vivo, que es la forma más rápida de sentir cómo delta escala con L^4 y con 1/I.

Calcula la flecha máxima de la viga directamente a partir de la fórmula cerrada, así que úsala como la comprobación instantánea de cordura para cualquier integral de trabajo virtual que hagas a mano: si tu resultado del producto de diagramas y este número no coinciden, uno de los dos tiene un error. Es gratis y no necesita inicio de sesión para el cálculo.

Vas a dejar que un solucionador o una calculadora produzca la mayoría de las flechas. La habilidad que vale la pena mantener es auditarlas, y el trabajo virtual te da comprobaciones rápidas y baratas.

1. Una sola convención de signos para ambos sistemas. Usa la misma regla de signos para M y m (y para N y n). Un resultado positivo significa que el desplazamiento real va en la dirección de la carga unitaria; negativo significa lo contrario. Mezclar convenciones entre el sistema real y el virtual es el error silencioso más común.

2. La carga unitaria debe corresponder a la incógnita. Una traslación necesita una fuerza unitaria y sale en unidades de longitud; una rotación necesita un par unitario y sale en radianes. Si una consulta de rotación usó una fuerza unitaria, las dimensiones no van a cerrar.

3. La reciprocidad es una recomprobación gratuita. Intercambia el punto de carga y el punto de medición; Maxwell-Betti dice que debes obtener el mismo número. Cuesta un sistema virtual adicional y detecta errores de transcripción.

4. Vereshchagin necesita un diagrama recto. Si ambos diagramas se curvan en un tramo, ahí el atajo de área por centroide no es válido: divide en los quiebres o integra ese tramo. Una parábola por otra parábola es la trampa clásica.

5. Contrástalo con el nudo del FEM. El solucionador informa el desplazamiento nodal directamente. Tu integral a mano debería coincidir con él; aquí ambas comprobaciones resueltas coincidieron hasta el tercer decimal (8,05 frente a 8,047 mm, 1,03 frente a 1,029 mm). Una diferencia mayor que el redondeo significa que falta un término o que un diagrama está mal.

Dejar la carga real en el sistema virtual. El sistema virtual lleva SOLO la carga unitaria ficticia. Si la w o la P reales siguen ahí mientras lees m, el diagrama virtual está mal y también lo está cada producto que construyas a partir de él.

Usar una fuerza cuando quieres una rotación. Una fuerza unitaria da una traslación; un par unitario da una rotación. Son duales, y elegir el equivocado da un resultado con las dimensiones equivocadas.

Multiplicar dos diagramas curvos con el atajo. La regla de Vereshchagin necesita que un diagrama sea recto en el tramo. Una parábola contra otra parábola hay que integrarla o partirla; aplicar ahí, a ciegas, el área por el centroide es simplemente incorrecto.

Descartar los términos axial y de cortante cuando sí importan. En vigas y pórticos esbeltos, la flexión domina y la sola integral de Mm/EI basta (aquí coincidió con el FEM hasta el decimal). En barras cortas y de gran peralte, o cuando quieres específicamente el acortamiento axial, conserva la integral de Nn/EA y el término de cortante.

¿Funciona para estructuras estáticamente indeterminadas? Sí, como motor del método de las fuerzas: la misma integral de la carga unitaria, usada para imponer compatibilidad sobre las redundantes.

¿La sección tiene que ser prismática? No. EI puede variar a lo largo de la barra; la integral simplemente lleva I(x), o sumas tramo por tramo con la rigidez de cada tramo.

¿Por qué un FEM matricial coincide con tanta exactitud con este método manual clásico? Porque la solución de elementos finitos por el método de los desplazamientos para una viga prismática de Euler-Bernoulli es nodalmente exacta bajo carga distribuida, y el trabajo virtual es justo el planteamiento energético sobre el que se construye el método de los elementos finitos. Son dos vistas de un mismo principio, por eso coinciden hasta el decimal.

• El trabajo virtual (el método de la carga unitaria) calcula directamente una flecha o una rotación, sin ecuación diferencial y sin constantes de integración: 1 · delta = integral de Mm/EI ds para flexión, suma de nNL/EA para celosías.
• La receta tiene cuatro pasos: diagrama real (M o N), una sola carga unitaria en el punto objetivo para el diagrama virtual (m o n), multiplicar ambos, dividir entre EI o EA. Una fuerza unitaria da una traslación; un par unitario da una rotación.
• La regla de Vereshchagin convierte la multiplicación en aritmética: el área de un diagrama por la ordenada del diagrama recto en el centroide de esa área. Sin ningún signo de integral, siempre que un diagrama sea recto en el tramo.
• Resuelto en el motor FEM sobre una viga IPE 360 (L = 6 m, w = 15 kN/m): flecha en el centro de la luz de 8,05 mm y rotación en el apoyo de 0,00429 rad, ambas a partir de un solo análisis real, cada una coincidiendo con el solucionador hasta el decimal.
• Resuelto en una celosía tipo king-post (RHS 90x90x5, 40 kN): la flecha en el nudo cargado es 1,03 mm a partir de una suma de cinco filas de nNL/EA, coincidiendo de nuevo con el nudo del FEM. El mismo principio impulsa el método de las fuerzas y te da la reciprocidad de Maxwell-Betti de manera gratuita.