Tensión Verdadera y Tensión de Ingeniería: el Criterio de Estricción y una Verificación Resuelta

Un solo ensayo de tracción produce dos curvas de tensión-deformación, y el trabajo estructural las usa en dos ambientes distintos. La curva de ingeniería divide la fuerza medida por la sección transversal original, σ_eng = P/A₀. Es la curva en la que vive la norma: f_y y f_u son puntos sobre ella, y un artículo complementario argumenta por qué cada cláusula de diseño conserva deliberadamente ese valor de ingeniería. La curva verdadera divide la misma fuerza por la sección transversal real en ese instante, σ_true = P/A_i, el área que ya se ha adelgazado bajo carga. Esa es la curva en la que vive el material, y la curva que debes darle a un solver no lineal, a una simulación de conformado o a un modelo de fractura.

Este artículo trata sobre la segunda curva: cómo se relaciona con la primera, la conversión de una sola línea entre ambas, el criterio que predice exactamente dónde se separan, y cómo construir una curva de tensión-deformación verdadera utilizable para análisis. La anclamos con una verificación resuelta sobre un tirante de barra redonda real de A572-50, usando el motor de elementos finitos de CalcSteel para fijar el extremo elástico hasta el cuarto decimal antes de recorrer la curva a mano hasta la estricción. El tema es el opuesto al del artículo complementario: no por qué la diferencia se puede ignorar sin riesgo en una verificación normativa, sino qué hacer en el momento en que dejas atrás la norma.

Ambas curvas se construyen a partir de la misma fuerza medida P, la longitud original L₀ y el área original A₀. Cuatro definiciones:

• Tensión de ingeniería, σ_eng = P / A₀: la carga sobre cada milímetro cuadrado con el que la barra empezó.
• Deformación de ingeniería, ε_eng = ΔL / L₀: el alargamiento como fracción de la longitud original.
• Tensión verdadera, σ_true = P / A_i: la carga sobre el área instantánea A_i, que se reduce a medida que la barra se estira (contracción de Poisson en el rango elástico, luego flujo plástico a volumen constante).
• Deformación verdadera, ε_true = ln(L_i / L₀) = ln(1 + ε_eng): la suma de cada alargamiento incremental dL/L integrado a lo largo de la deformación.

En tracción A_i es menor que A₀, así que la tensión verdadera siempre es la mayor de las dos, y la deformación verdadera siempre es la menor (porque ln(1 + x) < x). La distinción es invisible mientras la barra apenas se mueve y crece a medida que se deforma. Las medidas de ingeniería están ancladas a la geometría que puedes medir con un calibrador antes del ensayo; las medidas verdaderas siguen la geometría que realmente está presente en cada instante.

Las dos curvas no son independientes. Mientras la deformación sea uniforme a lo largo de la barra (antes de que se forme cualquier cuello) y el flujo plástico conserve el volumen, A_iL_i = A₀L₀. Eso da A_i = A₀ / (1 + ε_eng), y por lo tanto:

σ_true = σ_eng (1 + ε_eng)    y    ε_true = ln(1 + ε_eng)

Lee lo que eso significa: el factor de conversión (1 + ε) depende solo de la deformación, no del material ni del nivel de tensión. Así que la magnitud de la diferencia queda decidida por completo por cuánto se ha estirado la barra. Ese único hecho es toda la historia de cuándo importan la tensión verdadera y la de ingeniería, expuesta en todo el rango a continuación.

Las filas superiores son la razón por la que la norma conserva la tensión de ingeniería: en las deformaciones de diseño la diferencia es un error de redondeo, y su valor exacto lo fija solo la deformación. Las filas inferiores son la razón por la que los ingenieros de materiales y de conformado nunca usan otra cosa que no sea la tensión verdadera: allá donde el acero se lleva deliberadamente, los dos números difieren en decenas de por ciento. Dos condiciones acompañan a la fórmula, y son la letra pequeña que la gente olvida. Solo se cumple mientras la sección se mantiene uniforme, así que muere en el instante en que la barra estricciona, y solo mientras se conserva el volumen, lo cual es un buen modelo para el flujo plástico (coeficiente de Poisson efectivamente 0,5) pero no para el rango elástico (alrededor de 0,3, donde la barra sí cambia ligeramente de volumen). En el rango elástico, por lo tanto, la forma a volumen constante sobreestima levemente la diferencia, lo que la convierte en la más segura para citar.

Todo lo anterior supuso deformación uniforme. El criterio que dice exactamente cuándo se rompe esa suposición es el de Considère, y es la idea más aguda de todo este tema. Una barra dúctil en tracción es una carrera entre dos efectos: el endurecimiento por deformación hace que el acero sea más resistente a medida que se deforma, mientras que la sección que se adelgaza hace que soporte menos carga para una tensión dada. Al principio gana el endurecimiento y la carga sube. La estricción comienza en el instante en que la sección pierde esa carrera, el punto de carga máxima, que también es la resistencia última de ingeniería f_u.

Escribir dP = 0 con P = σ_trueA_i y volumen constante da el criterio en medidas verdaderas:

dσ_true / dε_true = σ_true

La estricción comienza donde la pendiente de la curva de tensión-deformación verdadera iguala a su propia altura. Si modelas la región de endurecimiento por deformación con una ley de potencia (la forma de Hollomon) σ_true = K ε_trueⁿ, el criterio se reduce a una sola línea: dσ_true/dε_true = nK ε_trueⁿ⁻¹, e igualar eso a K ε_trueⁿ da ε_true = n al inicio de la estricción. El exponente de endurecimiento n es la deformación verdadera a la cual la barra empieza a estriccionar. Al convertir de vuelta, el alargamiento uniforme (de ingeniería) es eⁿ − 1. Para un acero estructural dúctil con n alrededor de 0,16, eso es una deformación uniforme de aproximadamente 17%, y por eso los ensayos de probetas de los grados estructurales reportan alargamientos uniformes en ese rango. Este es el criterio al que apunta el título del artículo: no una cláusula de la norma, sino la ley del material que decide dónde se le permite a la curva de ingeniería de la norma empezar a caer.

La razón para preocuparse por todo esto en la práctica es que un modelo no lineal de elementos finitos del acero necesita como entrada una curva de tensión verdadera frente a deformación verdadera (o plástica), y los datos que tienes son una curva de probeta de ingeniería. Así se convierte una en la otra.

• Rama elástica. Hasta la fluencia, conserva la línea elástica σ = Eε con E = 200 GPa. La corrección verdadera aquí es inferior al 0,2% (mira el tirante resuelto más abajo), así que no cambia nada; la mayoría de los solvers toman E y f_y directamente.
• Rama plástica uniforme. Desde la fluencia hasta el punto último, convierte cada par de ingeniería con σ_true = σ_eng(1 + ε) y ε_true = ln(1 + ε). Luego separa la deformación plástica que el solver necesita: ε_pl = ε_true − σ_true/E. Esta rama es exacta y es el caballo de batalla del modelo.
• Más allá de la estricción. La conversión prolija deja de ser válida más allá de f_u porque la deformación ya no es uniforme y el estado de tensión en el cuello es triaxial. Si tu análisis llega tan lejos, o bien mides el área del cuello directamente, aplicas una corrección de Bridgman, o extrapolas la ley de potencia σ_true = K ε_trueⁿ y la aceptas como un modelo, no como una medición.

Si te saltas esta conversión y le das al solver la curva de ingeniería cruda, le estás diciendo que el material se ablanda después de f_u. No lo hace: la caída de la curva de ingeniería es un artefacto de dividir una carga decreciente por un área original fija. Un solver al que se le da esa curva o bien predice ablandamiento y localización espurios o bien no converge. El error grave más común en el modelado no lineal del acero es exactamente este.

Ahora medir en lugar de afirmar. El objeto más honesto para una tensión puramente axial es un tirante de barra redonda, que es a la vez un elemento estructural real (tensores de correas, barras de contraventeo cruzado, tirantes de marquesinas) y la geometría exacta de una probeta de tracción redonda ASTM E8. Toma una barra de Ø 45,1 mm, A = 16,0 cm², de 6 m de longitud, en A572-50 (f_y = 345 MPa).

La modelamos en el motor de elementos finitos de CalcSteel, el mismo solver detrás de las calculadoras. Bajo una tracción de servicio de N = 276 kN, el motor devuelve la fuerza axial en el elemento como 276,0 kN (equilibrio, como debe ser), el área de la sección como A = 16,0 cm², y el alargamiento del extremo cargado como 5,175 mm. Ese último número es la verificación del motor en sí: la forma cerrada N L / (A E) = 276 × 600 / (16,0 × 20000) = 0,5175 cm = 5,175 mm, coincidiendo hasta el tercer decimal. La rigidez es correcta, así que la tensión y la deformación que extraemos de él son confiables, y todo lo que sigue a partir de este punto es aritmética que el material realmente obedece.

Convierte el análisis en las dos tensiones y luego recorre la curva. Con la carga de servicio, la tensión de ingeniería es la fuerza sobre el área original: σ_eng = 276 kN / 16,0 cm² = 17,25 kN/cm² = 172,5 MPa. La deformación es esa tensión sobre el módulo, ε = 172,5 / 200000 = 0,000863, el mismo valor que dan directamente los 5,175 mm del motor sobre 6000 mm. La tensión verdadera aplica la conversión: σ_true = 172,5 × 1,000863 = 172,65 MPa. El material soporta 172,65 MPa; tu modelo, tu verificación normativa y tu calculadora todos dicen 172,5 MPa. La diferencia es de 0,15 MPa, o 0,086%.

Lleva la barra a la primera fluencia. σ = f_y = 345 MPa requiere N = 34,5 kN/cm² × 16,0 cm² = 552 kN. Vuelve a correr el motor con N = 552 kN y devuelve σ = 345,0 MPa, un alargamiento de 10,350 mm (de modo que ε = 10,350 / 6000 = 0,001725, exactamente la deformación de fluencia del A572-50), y la fuerza axial de vuelta como 552,0 kN. Convierte: σ_true = 345,0 × 1,001725 = 345,60 MPa, ε_true = ln(1,001725) = 0,001724. En el único punto que le importa a la norma, la primera fluencia, la tensión verdadera está 0,60 MPa por encima del f_y tabulado, tres décimas de un por ciento, y en el sentido seguro.

Ahora deja atrás la norma, que es todo el propósito de este artículo. Lleva el A572-50 de esa misma barra a lo largo de su curva verdadera con n alrededor de 0,16. Considère sitúa el inicio de la estricción en ε_true = 0,16, una deformación de ingeniería de e^0,16 − 1 = 17,4%, en la resistencia última de ingeniería f_u = 450 MPa. La tensión verdadera allí es σ_true = 450 × 1,174 = 528 MPa, ya 17% por encima del valor de ingeniería. Más allá de eso la barra estricciona: la tensión de ingeniería divide una carga decreciente por los 16,0 cm² originales fijos y se desliza hacia abajo hasta la fractura, mientras que la tensión verdadera divide esa misma carga por el área del cuello que colapsa y sigue subiendo bastante más allá de 600 MPa. La misma barra, el mismo ensayo, tres regímenes: idénticos hasta tres decimales en servicio, un error de redondeo en la fluencia, y dos números completamente diferentes en la falla.

Reproduce el ejercicio. En la calculadora de abajo, elige un grado (prueba A572-50, el grado de la barra), define una sección y una carga, y lee la tensión que reporta. Divide esa tensión entre 200.000 MPa para obtener la deformación ε, luego multiplica la tensión por (1 + ε) para la tensión verdadera. Verás que la corrección se queda en el tercer o cuarto decimal para cualquier cosa por debajo de la fluencia.

Un detalle que vale la pena probar: esta es una columna en compresión, y allí el signo de la corrección se invierte. La sección se engrosa bajo compresión, así que el área real crece, A_i > A₀, y la tensión verdadera queda justo por debajo del valor de ingeniería, σ_true = σ_eng(1 − ε) a primer orden. En las deformaciones de diseño es de nuevo despreciable, y la compresión está gobernada por el pandeo mucho antes de que pudiera importar, que es exactamente lo que calcula esta herramienta.

Nada de esto aparece en una verificación de resistencia de un elemento, y el artículo complementario explica por qué no debería. Pero en el momento en que el acero se lleva deliberadamente a grandes deformaciones plásticas, la curva verdadera es la única descripción correcta, y recurrir a la curva de ingeniería es un error real:

• Análisis no lineal por elementos finitos. Cualquier corrida que siga al acero más allá de la fluencia, ductilidad de conexiones, fusibles sísmicos, colapso plástico, explosión, impacto, debe alimentarse con tensión verdadera frente a deformación verdadera (o plástica), construida como en la sección anterior. La curva de ingeniería hace que el modelo se ablande artificialmente después de f_u.
• Conformado en frío. Plegar una placa en prensa o conformar por rodillos una sección conformada en frío impone entre 10% y 30% de deformación en el doblez. La fuerza de conformado, la recuperación elástica y la tensión residual dependen todas de la tensión de flujo (verdadera) allí; la curva de ingeniería, que ya está cayendo, engañaría gravemente.
• Fractura y fatiga de bajo ciclo. La reducción de área, la deformación verdadera de fractura y las relaciones deformación-vida detrás del detallado sísmico están todas escritas en medidas verdaderas, porque allí es donde vive el estado real del material.

Hay un lugar donde los dos mundos se encuentran dentro de la norma, y vale la pena nombrarlo. La relación mínima f_u/f_y y el alargamiento mínimo que todo grado estructural debe cumplir son requisitos de tensión de ingeniería cuyo propósito entero es garantizar una larga pista plástica, la misma región donde la curva verdadera hace su trabajo. La norma verifica la resistencia en tensión de ingeniería y compra ductilidad, medida de la misma manera, para proteger una reserva plástica que describirá en tensión verdadera el día en que tenga que modelar el gasto de esa reserva.

Darle una curva de ingeniería a un solver no lineal. El error característico. Los modelos de material esperan tensión verdadera frente a deformación verdadera (o plástica); la curva de ingeniería le dice al solver que el acero se debilita más allá de f_u, cosa que nunca ocurre.

Aplicar σ_true = σ_eng(1 + ε) después de la estricción. La conversión supone deformación uniforme y muere en el cuello. Más allá de él, el estado es triaxial y localizado; la tensión verdadera necesita un área de cuello medida o una corrección de Bridgman, no la fórmula prolija.

Creer que f_u es la mayor tensión que el acero alcanza jamás. f_u es el máximo de la curva de ingeniería. La tensión verdadera en la fractura es mucho mayor, a menudo de 1,5 a 2 veces f_u, porque el área real del cuello es una fracción de la original.

Leer la caída posterior a la última como un debilitamiento del material. La curva de ingeniería cae después de f_u solo porque divide una carga decreciente por un área original fija. El material se endurece por deformación hasta la fractura misma; la tensión verdadera nunca disminuye.

¿Qué tensión reporta mi calculadora? Tensión de ingeniería, siempre, porque calcula la fuerza sobre la sección modelada (original), que es el número correcto para comparar contra un f_y o f_u de la norma. Para obtener la tensión verdadera, multiplica por (1 + ε).

¿En qué se diferencia esto del artículo complementario centrado en la ingeniería? Aquel responde la pregunta del rango de diseño: por qué la norma conserva el valor de ingeniería y casi no pierde nada. Este responde la pregunta opuesta: qué es la curva verdadera, dónde dice Considère que diverge, y cómo construirla para análisis. El mismo tema, dos ambientes.

La tensión verdadera es lo que soporta el acero y lo que necesita un análisis más allá de la fluencia; la tensión de ingeniería es lo que reportan la norma y el ensayo. Conserva ambas, y ten claro en cuál ambiente estás.

• σ_eng = P/A₀, σ_true = P/A_i; antes de la estricción, σ_true = σ_eng(1 + ε) y ε_true = ln(1 + ε). El factor depende solo de la deformación.
• El criterio de Considère dσ_true/dε_true = σ_true localiza la estricción; para un acero de ley de potencia es ε_true = n, alargamiento uniforme eⁿ − 1.
• Barra de A572-50 resuelta (Ø 45,1 mm, A = 16,0 cm2, 6 m): el motor da 5,175 mm con N = 276 kN, de modo que σ = 172,5 MPa y σ_true = 172,65 MPa (+0,086%).
• Con N = 552 kN el motor devuelve σ = 345,0 MPa = f_y con un alargamiento de 10,350 mm; tensión verdadera 345,60 MPa (+0,17%).
• En la estricción (17,4% de deformación, f_u = 450 MPa) la tensión verdadera es 528 MPa y subiendo; alimenta al solver con la curva verdadera, nunca con la de ingeniería.