Diagramas de Fuerza Cortante y Momento Flector

Un diagrama de fuerza cortante (DFC) representa la cortante interna V a lo largo de una viga, mientras que un diagrama de momento flector (DMF) representa el momento interno M. Juntos revelan dónde la viga está más solicitada y dónde fallará primero.

Todo curso de análisis estructural comienza con estos dos diagramas porque conectan las cargas externas con la resistencia interna. Sin un DFC y un DMF no se puede dimensionar una viga: el momento máximo determina la sección, y la cortante máxima verifica el alma.

La relación fundamental que los une es el equilibrio diferencial: la pendiente del diagrama de momento en cualquier punto es igual a la cortante en ese punto (dM/dx = V), y la pendiente del diagrama de cortante es igual al negativo de la carga distribuida (dV/dx = −w). Estas dos ecuaciones permiten dibujar ambos diagramas a partir de las cargas solamente.

Siga este procedimiento para cualquier viga estáticamente determinada:

1. Encontrar las reacciones de apoyo — Plantear las ecuaciones de equilibrio (ΣFy = 0, ΣM = 0) y resolver todas las reacciones verticales.
2. Comenzar por el extremo izquierdo — La cortante sube instantáneamente en el valor de la reacción izquierda.
3. Avanzar hacia la derecha por cada carga — Para una carga distribuida w, la cortante disminuye linealmente a razón de w por unidad de longitud. Para una carga concentrada P, la cortante salta instantáneamente en −P (hacia abajo) o +P (hacia arriba).
4. Verificar en el apoyo derecho — La cortante debe volver a cero con la reacción derecha. Si no lo hace, hay un error de equilibrio.

Ejemplo resuelto — carga uniforme

Considere una viga simplemente apoyada de luz L = 8 m con una carga uniforme w = 10 kN/m.

• Carga total: W = wL = 80 kN
• Reacciones: R_A = R_B = 40 kN (por simetría)
• En x = 0: V = +40 kN (reacción hacia arriba)
• La cortante disminuye linealmente: V(x) = 40 − 10x
• En el centro del tramo (x = 4 m): V = 0 kN — aquí ocurre el momento máximo
• En x = 8 m: V = 40 − 80 = −40 kN, luego la reacción derecha lo regresa a cero

El DFC completo es una línea recta de +40 kN a −40 kN, cruzando por cero en el centro del tramo.

Como dM/dx = V, el diagrama de momento es la integral del diagrama de cortante:

1. Comenzar en cero — Para una viga simplemente apoyada, el momento en un apoyo articulado o de rodillo es cero.
2. Integrar la cortante — Donde la cortante es positiva y constante, el momento crece linealmente. Donde la cortante disminuye linealmente (carga uniforme), la curva de momento es parabólica.
3. El momento máximo ocurre donde V = 0 — Esta es la sección crítica para el diseño a flexión.
4. Terminar en cero — El momento en el otro apoyo simple debe regresar a cero.

Continuación del ejemplo

Para nuestra viga de 8 m con w = 10 kN/m:

• M(x) = 40x − 10x²/2 = 40x − 5x²
• En el centro del tramo (x = 4 m): M_max = 40(4) − 5(16) = 160 − 80 = 80 kN·m
• Verificación rápida: wL²/8 = 10(8)²/8 = 80 kN·m ✓

El DMF es una parábola simétrica con un máximo de 80 kN·m en el centro del tramo. Este valor entra directamente en la ecuación de diseño de la viga: el módulo de sección requerido es S_req = M_max / (φF_y) para LRFD, o M_max / (F_y/Ω) para ASD.

> Consejo CalcSteel: El motor de análisis 3D calcula automáticamente las fuerzas internas y renderiza los DFC/DMF para cada barra — pero comprender el método manual es esencial para verificar su modelo.

Las convenciones de signos varían entre libros de texto, pero la más utilizada en ingeniería estructural es:

• Cortante positiva (+V): La resultante de fuerzas a la izquierda de la sección actúa hacia arriba (o equivalentemente, las fuerzas a la derecha actúan hacia abajo). Esto crea una tendencia de rotación en sentido horario sobre el elemento.
• Momento positivo (+M): La viga se curva con concavidad hacia arriba — flexión positiva. La fibra inferior está en tracción.
• Momento negativo (−M): La viga se curva con concavidad hacia abajo — flexión negativa. La fibra superior está en tracción.

La consistencia importa más que la convención elegida. AISC y la mayor parte de la práctica estadounidense usan la convención anterior. Algunos textos europeos invierten el signo de la cortante. Sea cual sea la convención elegida, manténgala a lo largo de todo el problema.

Una consecuencia práctica: en una viga simplemente apoyada bajo cargas gravitacionales, el ala inferior está en tracción en el centro del tramo. En una viga en voladizo, el ala superior está en tracción en el empotramiento. Esto determina cuál ala necesita arriostramiento lateral.

Los ingenieros memorizan un puñado de casos porque aparecen constantemente en la práctica:

Viga simplemente apoyada — carga uniforme w - V_max = wL/2 (en los apoyos) - M_max = wL²/8 (en el centro del tramo) - δ_max = 5wL⁴/(384EI) (en el centro del tramo)

Viga simplemente apoyada — carga concentrada P en el centro del tramo - V_max = P/2 (constante entre el apoyo y la carga) - M_max = PL/4 (en el centro del tramo) - δ_max = PL³/(48EI)

Viga en voladizo — carga uniforme w - V_max = wL (en el empotramiento) - M_max = wL²/2 (en el empotramiento) - δ_max = wL⁴/(8EI) (en el extremo libre)

Viga en voladizo — carga concentrada P en el extremo libre - V_max = P (constante a lo largo del tramo) - M_max = PL (en el empotramiento) - δ_max = PL³/(3EI)

Viga biempotrada — carga uniforme w - V_max = wL/2 (en los apoyos) - M_max = wL²/12 (en los apoyos, negativo) - M_midspan = wL²/24 (en el centro del tramo, positivo)

Observe que empotrar ambos extremos reduce el momento en el centro del tramo por un factor de 3 en comparación con apoyos simples (wL²/24 vs wL²/8). Por eso las conexiones de momento justifican el costo de fabricación en tramos largos.

Para la misma carga total W en el mismo tramo L, la forma en que se distribuye la carga cambia drásticamente el momento máximo:

La carga concentrada en el centro produce el mayor momento — exactamente el doble del caso uniforme — porque toda la carga se concentra en la ubicación más desfavorable. Por el contrario, una distribución triangular (como un diagrama de presión de suelo) produce el menor momento porque la mayor parte de la carga está cerca de un apoyo.

Implicación práctica

Al modelar vigas de piso que soportan viguetas, reemplazar una serie de cargas concentradas por una carga uniforme equivalente es conservador si las viguetas están poco espaciadas (separación ≤ L/4). Para menos cargas con mayor separación, use el análisis con cargas concentradas reales o subdimensionará la viga.

Superposición

Para cargas combinadas, se pueden superponer los diagramas: dibuje cada caso de carga por separado y luego sume las ordenadas. Esto funciona porque las ecuaciones de equilibrio son lineales para pequeñas deformaciones. El motor de análisis de CalcSteel utiliza el método de rigidez directa, que maneja cualquier combinación automáticamente.

El tipo de apoyo modifica fundamentalmente ambos diagramas:

Simplemente apoyada (articulación + rodillo) - El momento es cero en ambos extremos - Todo el momento es positivo (flexión positiva) bajo cargas gravitacionales - El momento máximo ocurre lejos de los apoyos - Las reacciones son puramente verticales (sin restricción horizontal en el rodillo)

Empotrada en un extremo — viga en voladizo - El momento es máximo en el empotramiento (negativo / flexión negativa) - El momento disminuye a cero en el extremo libre - La cortante en el empotramiento es igual a la carga total aplicada - El empotramiento debe resistir tanto cortante como momento — requiere conexión de momento

Empotrada en ambos extremos (biempotrada) - Se desarrollan momentos negativos en ambos apoyos - El momento positivo en el centro del tramo es mucho menor que en el caso simplemente apoyado - La viga es más rígida (menor deflexión) pero estáticamente indeterminada - Aparecen puntos de inflexión (M = 0) entre los apoyos y el centro del tramo

Vigas continuas (múltiples tramos) - Aparecen momentos negativos sobre los apoyos interiores - Las cargas de tramos adyacentes se afectan mutuamente - Las cargas móviles crean envolventes de momento — el DMF depende de cuáles tramos están cargados - Se debe analizar la carga alternada: tramos alternos cargados y tramos adyacentes cargados

Para vigas continuas, los métodos manuales se vuelven tediosos. La ecuación de los tres momentos o el método de distribución de momentos se usaban históricamente; hoy en día, un solver matricial de rigidez resuelve cualquier número de tramos instantáneamente.

Antes de usar los resultados del diagrama para el diseño, verifique estas comprobaciones de consistencia:

1. Cierre de equilibrio — La cortante en el extremo derecho, después de sumar la reacción derecha, debe regresar exactamente a cero. Cualquier residuo significa un error aritmético en las reacciones.

1. El área bajo la cortante es igual al cambio de momento — El cambio de momento entre dos puntos cualesquiera es igual al área bajo el diagrama de cortante entre esos puntos: ΔM = ∫V dx. Esta es la verificación más poderosa.

1. El momento en apoyos simples es cero — Si su diagrama muestra momento en una articulación o rodillo, algo está mal (a menos que haya un momento externo aplicado en ese punto).

1. Los saltos de cortante son iguales a las cargas concentradas — En cada carga concentrada P, el diagrama de cortante debe saltar exactamente P. En cada momento concentrado M₀, el diagrama de momento salta M₀ pero el diagrama de cortante no se ve afectado.

1. Consistencia de pendientes — Donde w = 0, la cortante es constante (horizontal). Donde w es constante, la cortante es lineal. Donde V = 0, el momento tiene pendiente cero (máximo o mínimo local).

1. Simetría — Para vigas simétricas con carga simétrica, ambos diagramas deben ser simétricos (el DFC es antisimétrico, el DMF es simétrico respecto al centro del tramo).

Verificación en la práctica

En la práctica profesional, compare sus diagramas manuales con la salida del software. CalcSteel muestra los diagramas de cortante y momento para cada combinación de cargas — use el cálculo manual para verificar el modelo, y luego use el modelo para el conjunto completo de combinaciones de carga que serían impracticables a mano.