Círculo de Mohr y tensiones principales: el criterio detrás de la norma, con una verificación resuelta

Abre cualquier norma de acero en la cláusula que verifica la fluencia y no encontrarás un límite sobre la mayor tensión normal en una barra, ni un límite separado sobre la mayor tensión cortante. Lo que la norma limita es una tensión equivalente: un solo número, construido a partir de las dos tensiones principales que actúan en un punto, que representa todo el estado multiaxial. Una fibra con 100 MPa de flexión y 47 MPa de cortante no se verifica contra 100, y no se verifica contra 47. Se verifica contra la tensión equivalente que ambas producen juntas, y ese número puede ser mayor que cualquiera de las dos.

La brecha entre lo que puedes leer en una barra y lo que la norma realmente verifica es exactamente la brecha que cierra el círculo de Mohr. Toma el estado que puedes calcular, una tensión normal y una tensión cortante sobre una cara, y devuelve las tensiones principales que el criterio necesita. Este artículo no es un tutorial sobre cómo dibujar el círculo; para eso, nuestra guía complementaria sobre el círculo de Mohr, del elemento al EF recorre cada paso. Aquí nos quedamos en el criterio detrás de la norma, y lo resolvemos sobre una ménsula de acero real, con los esfuerzos del motor de EF de CalcSteel en producción y la transformación verificada al decimal contra la calculadora en vivo. El resultado es una lección sobre dónde gobierna la verificación que un cálculo solo de flexión nunca te muestra.

El acero fluye por cambio de forma, no por compresión uniforme. Somete una barra a igual presión por todos los lados (tensión hidrostática pura) y apenas fluye; retuércela, y fluye con facilidad. Ese es el hecho físico que codifican los dos criterios de fluencia principales, y es la razón por la que la norma limita una tensión equivalente y no un solo componente cualquiera.

Von Mises (energía de distorsión) es el criterio por defecto en toda norma de acero moderna. Para un punto en estado plano de tensión es sigma_vM = sqrt(sigma_1^2 − sigma_1 sigma_2 + sigma_2^2), donde sigma_1 y sigma_2 son las tensiones principales. Tresca (cortante máximo) es la alternativa ligeramente más conservadora, sigma_Tr = sigma_1 − sigma_2 para el par en el plano. La fluencia comienza cuando la tensión equivalente alcanza el límite de fluencia f_y. Representado en el espacio de tensiones principales, von Mises es una elipse y Tresca es un hexágono inscrito en ella; cualquier estado dentro de la curva es elástico, y cualquier estado sobre ella está en el inicio de la fluencia.

Las normas escriben esto de la misma manera con distinta contabilidad de seguridad. EN 1993-1-1 6.2.1(5) lo plantea para una fibra de viga directamente como sqrt(sigma^2 + 3 tau^2) ≤ f_y / gamma_M0. NBR 8800 5.4.2.2 limita la demanda de von Mises a f_y / gamma_a1 con gamma_a1 = 1.10. AISC 360 verifica un estado de tensión contra phi f_y con phi = 0.90. Letras distintas, una sola idea: reducir el estado multiaxial a una tensión equivalente, y luego mantenerla por debajo de una fluencia mayorada. Todo lo demás en este artículo trata de obtener bien esa tensión equivalente, y el círculo de Mohr es el cómo.

Solo necesitas cuatro resultados del círculo para alimentar el criterio, así que aquí están en un solo gráfico. Toma un punto en estado plano de tensión con una tensión normal en la cara x sigma_x, una tensión normal en la cara y sigma_y, y un cortante tau_xy. Representa sigma en horizontal y tau en vertical. El círculo está centrado en el eje sigma en sigma_avg = (sigma_x + sigma_y)/2 con radio R = sqrt(((sigma_x − sigma_y)/2)^2 + tau_xy^2).

De ese círculo los números de diseño salen geométricamente: los dos puntos donde cruza el eje sigma son las tensiones principales sigma_1 = sigma_avg + R y sigma_2 = sigma_avg − R; la parte superior del círculo es el cortante máximo en el plano tau_max = R; y el ángulo hacia el plano principal es tan(2 theta_p) = 2 tau_xy / (sigma_x − sigma_y). Los ángulos se duplican en el círculo, de modo que el plano de cortante máximo siempre queda a 45 grados del plano principal en la barra.

Una lectura rápida resuelta, el ejemplo por defecto de la calculadora: sigma_x = 80, sigma_y = 20, tau_xy = 30 MPa. Centro = 50, R = sqrt(30^2 + 30^2) = 42,426, así que sigma_1 = 92,426, sigma_2 = 7,574 MPa, tau_max = 42,426 MPa en theta_p = 22,5 grados. Su von Mises resulta 88,882 MPa, por encima de sigma_1 solo, que es justamente el punto: la tensión equivalente no es ninguna lectura individual del elemento. Ahora ponemos el círculo a trabajar sobre acero.

Queremos una barra donde la flexión y el cortante sean ambos grandes en la misma sección transversal, porque ahí es donde el criterio combinado demuestra su valor. Una ménsula corta en voladizo es exactamente ese caso: en el empotramiento, el momento flector y el esfuerzo cortante están ambos en su máximo, en la misma sección. Piensa en una consola que soporta un apoyo pesado, o en una ménsula corta que sale de un pilar.

La ménsula es un IPE 300, un voladizo de longitud L = 1,0 m, que soporta una carga uniforme de w = 120 kN/m (una ménsula corta y pesada, 120 kN en total), en acero grado MR250 (f_y = 250 MPa). En el empotramiento la estática da M = wL^2/2 = 60 kN.m y V = wL = 120 kN. Construimos esto en el motor de EF de CalcSteel en producción, el voladizo mallado en 24 elementos, y devuelve las reacciones al decimal: M = 60,000 kN.m y V = 120,000 kN. Los esfuerzos internos son del motor; a partir de aquí la transformación de tensiones es trabajo a mano, verificado contra la misma rutina que ejecuta la calculadora en vivo.

Las propiedades de la sección IPE 300 que usamos son los valores de catálogo que un ingeniero consulta: área 53,8 cm^2, momento de inercia I = 8356 cm^4, módulo elástico de la sección W_el = 557 cm^3, espesor del alma 7,1 mm, espesor del ala 10,7 mm. (La propia rutina de geometría del motor devuelve I = 8097 cm^4 y W_el = 540 cm^3, cerca de un 3 por ciento por debajo del catálogo, que es la concordancia esperada para una sección calculada y no cambia la historia.) Ahora leemos el estado de tensión en tres fibras de esa sección, y dejamos que el círculo de Mohr nos diga cuál le importa a la norma.

La misma sección transversal porta un estado de tensión distinto a cada altura, de modo que dibuja un círculo de Mohr diferente en cada fibra. Tres fibras cuentan toda la historia.

La fibra extrema (punta del ala). La flexión es máxima, el cortante es cero. El estado es uniaxial: sigma = M / W_el = 6000 kN.cm / 557 cm^3 = 10,77 kN/cm^2 = 107,7 MPa, tau = 0. El círculo se reduce a un punto sobre el eje sigma: sigma_1 = 107,7, sigma_2 = 0, y la tensión de von Mises es igual a la tensión aplicada, 107,7 MPa. Este es el punto que mira una verificación de flexión, y por sí solo parece holgado.

El eje neutro (media altura). La flexión es cero, el cortante es máximo. Usando la distribución exacta VQ/It el cortante alcanza su pico en tau = 60,9 MPa (el promedio simplificado de la norma, V dividido por el área del alma, es 56,3 MPa). Esto es cortante puro: el círculo está centrado en el origen, las tensiones principales son iguales y opuestas en sigma_1 = +60,9 y sigma_2 = −60,9 MPa, giradas 45 grados respecto al eje, y la tensión de von Mises es sqrt(3) veces el cortante, 105,5 MPa. Todavía por debajo de la fibra extrema.

La unión alma-ala. Justo debajo del ala, ambos son grandes a la vez: la flexión sigue siendo 100 MPa (la fibra está cerca de la extrema, a una altura de 139,3 mm de los 150 mm de semialtura) y el alma soporta ahí un cortante de 47 MPa. Ahora el círculo es un círculo genuino con centro desplazado: sigma_avg = 50 MPa, R = sqrt(50^2 + 47^2) = 68,6 MPa, así que sigma_1 = 118,6, sigma_2 = −18,6 MPa, tau_max = 68,6 MPa, en theta_p = 21,6 grados. La tensión principal de tracción ha superado el valor de la fibra extrema, y una tensión principal de compresión ha aparecido de la nada. Ese es el estado que el criterio está a punto de castigar.

Ahora introduce las tensiones principales de cada fibra en el criterio de von Mises y el orden se invierte contra la intuición:

• Fibra extrema: sigma_vM = 107,7 MPa.
• Eje neutro: sigma_vM = 105,5 MPa.
• Unión alma-ala: sigma_vM = 128,9 MPa.

La unión gobierna por un 19,7 por ciento sobre la fibra extrema, aunque su tensión de flexión es menor y su tensión cortante es menor que los picos en otros puntos. La razón es el atajo de la fibra de viga: con sigma_y = 0 la tensión de von Mises es exactamente sigma_vM = sqrt(sigma^2 + 3 tau^2), así que en la unión sqrt(100^2 + 3 × 47^2) = sqrt(10000 + 6627) = 128,9 MPa. El cortante no se suma a la flexión aritméticamente; se suma bajo una raíz cuadrada con un factor de tres, y el máximo de esa suma reside en la unión alma-ala, donde la flexión sigue cerca de su pico y el alma está soportando todo su cortante.

Este es todo el valor práctico del criterio. Una verificación de flexión lee 107,7 MPa en la fibra extrema y se detiene. Una verificación de cortante lee el cortante del alma y se detiene. Ninguna ve los 128,9 MPa que el material realmente siente en la unión. La cláusula de tensiones combinadas existe precisamente porque ese pico es invisible para las dos verificaciones hechas por separado, y el círculo de Mohr es lo que lo hace visible: el círculo de la unión es simplemente más grande que los otros dos.

Con la demanda que gobierna fijada en 128,9 MPa y acero MR250 (f_y = 250 MPa), las tres normas difieren solo en cómo mayoran la resistencia:

EN 1993-1-1 (gamma_M0 = 1.0): resistencia 250 MPa, aprovechamiento en la unión eta = 128,9 / 250 = 0,52; en la fibra extrema 107,7 / 250 = 0,43.
NBR 8800 (gamma_a1 = 1.10): resistencia 227,3 MPa, eta = 128,9 / 227,3 = 0,57; fibra extrema 0,47.
AISC 360 (phi = 0.90): resistencia 225 MPa, eta = 128,9 / 225 = 0,57; fibra extrema 0,48.

Todas las normas pasan, con holgura, y eso está bien, la ménsula no es el punto. El punto es la diferencia entre las dos columnas. En cada norma el aprovechamiento real que gobierna es aproximadamente un 20 por ciento mayor que el número de la fibra extrema que reportaría una verificación solo de flexión. En esta ménsula eso es la diferencia entre leer un 47 por ciento de aprovechamiento y leer un 57 por ciento (NBR). En una sección elegida más cerca del límite, es la diferencia entre una verificación que pasa y una que no. El criterio detrás de la norma no es una formalidad; decide la sección siempre que la flexión y el cortante sean ambos significativos en el mismo corte, que es la condición cotidiana en el arranque de un voladizo, el extremo recortado de una viga, o el apoyo interior de una viga continua.

La calculadora de abajo ejecuta la misma transformación de estado plano de tensión y la misma verificación de fluencia usadas arriba, en vivo en tu navegador. Escribe el estado de la unión, sigma_x = 100, sigma_y = 0, tau_xy = 47, y lee sigma_1 = 118,6, sigma_2 = −18,6, tau_max = 68,6 y von Mises 128,9 MPa directamente del círculo. Luego arrastra el diámetro y observa cómo cada número se mueve al unísono, o cambia la verificación de fluencia entre NBR 8800 y AISC 360 y observa cómo el aprovechamiento se desplaza con el factor de seguridad.

Hace más de lo que el ejemplo resuelto necesita. Carga una sección real ya resuelta directamente desde el modelo de EF de CalcSteel, de modo que el círculo se convierte en la lente de inspección de tu propio análisis en vez de un ejercicio de libro de texto; pasa a triaxial cuando la tensión fuera del plano no es cero; y exporta la figura. Es gratis y no requiere iniciar sesión para la transformación. Aliméntala con la fibra extrema (100,02 se convierte en un punto) y luego con la unión, y verás crecer en tiempo real el círculo que gobierna.

Dejarás que el solver y la calculadora produzcan los números. La habilidad que vale la pena conservar es auditarlos, y el círculo de Mohr te da invariantes rápidos para auditar contra ellos. Cinco comprobaciones atrapan casi todo error en una verificación de tensiones combinadas.

1. La traza es invariante. sigma_1 + sigma_2 debe ser igual a sigma_x + sigma_y, en cualquier rotación. Si las tensiones principales no suman de vuelta las tensiones normales originales, la transformación está mal. Para la unión: 118,6 + (−18,6) = 100, que es sigma_x + 0.

2. El radio es el cortante máximo. tau_max = R = (sigma_1 − sigma_2)/2. Unión: (118,6 + 18,6)/2 = 68,6 MPa. Si un tau_max reportado no es la mitad de la diferencia entre las tensiones principales, algo anda mal.

3. Para una fibra de viga, usa el atajo. Con sigma_y = 0, von Mises debe ser igual a sqrt(sigma^2 + 3 tau^2). Es una verificación a mano de una sola línea sobre cualquier salida del solver en un punto de flexión más cortante, y es literalmente la cláusula de EN 1993-1-1.

4. Verifica la unión, no solo la fibra extrema. Donde la flexión y el cortante sean ambos significativos en una sección, inspecciona la unión alma-ala. Si tu única verificación de tensión es en la fibra extrema, estás estructuralmente ciego al punto que gobierna.

5. Cuida el cortante en el plano frente al absoluto. El círculo que dibujas da el tau_max en el plano. El cortante máximo absoluto que gobierna una verificación de Tresca incluye la principal fuera del plano (sigma_3 = 0 en estado plano de tensión), de modo que puede ser mayor, (sigma_1 − sigma_3)/2. Para la unión eso es 118,6/2 = 59,3 MPa, mayor que una lectura ingenua de la cima del círculo dibujado menos el desplazamiento.

Verificar solo la fibra extrema. El error de tensiones combinadas más común de todos. La fibra extrema es donde la flexión alcanza su pico pero el cortante es cero, así que oculta la unión, donde la demanda de von Mises aquí fue un 19,7 por ciento mayor. Dondequiera que M y V sean ambos grandes en una sección, la fibra extrema no es el punto que gobierna.

Sumar sigma y tau aritméticamente. Las tensiones en caras distintas no se suman como escalares. 100 MPa de flexión y 47 MPa de cortante no son 147 MPa de nada. Se combinan a través del círculo en tensiones principales, y la demanda de von Mises es 128,9 MPa, no 147 y no 100.

Confundir von Mises y Tresca. Tresca (cortante máximo) es siempre el más conservador de los dos, hasta cerca de un 15 por ciento en cortante puro. Las normas usan von Mises por defecto; si una verificación usa sigma_1 − sigma_2 es Tresca, y dará una lectura un poco más pesada. Ambos son legítimos; solo debes saber cuál produjo el número.

¿Dónde sería sigma_y distinto de cero en una viga? En los apoyos y bajo cargas concentradas, donde la compresión transversal es real, y en placas y cáscaras en general. Una fibra de viga simple está en estado plano de tensión con sigma_y cercano a cero, que es por lo que el atajo sqrt(sigma^2 + 3 tau^2) funciona tan a menudo, pero el círculo completo está ahí para cuando no.

¿Estado plano de tensión o de deformación? Una fibra en la superficie libre de una viga o un pilar está en estado plano de tensión (la tensión fuera del plano es cero). En lo profundo de un cuerpo grueso puede estar más cerca del estado plano de deformación, que cambia la principal fuera del plano y por lo tanto el cortante máximo absoluto. Para barras de acero, la lectura de estado plano de tensión es el valor por defecto correcto.

¿Sigo necesitando el círculo de Mohr si el solver reporta von Mises directamente? Como verificación, sí. Es la geometría de una sola línea que confirma que las tensiones principales del solver son consistentes (traza invariante, radio igual a tau_max) antes de que confíes en la tensión equivalente que construyó a partir de ellas.

• Ninguna norma de acero limita tu mayor tensión normal o cortante por sí sola. EN 1993-1-1, NBR 8800 y AISC 360 limitan todas una tensión equivalente, von Mises por defecto, construida a partir de las tensiones principales.
• El círculo de Mohr produce esas tensiones principales a partir de un punto en estado plano de tensión: centro (sigma_x + sigma_y)/2, radio R = tau_max, sigma_1,2 = centro más o menos R, plano principal en tan(2 theta_p) = 2 tau_xy / (sigma_x − sigma_y).
• Para una fibra de viga el criterio se reduce a sigma_vM = sqrt(sigma^2 + 3 tau^2), que es exactamente EN 1993-1-1 6.2.1(5). Es la verificación a mano más rápida que tienes en cualquier punto de tensiones combinadas.
• Resuelto sobre una ménsula IPE 300 en voladizo con el motor de EF (M = 60 kN.m, V = 120 kN): fibra extrema 107,7 MPa, eje neutro 105,5 MPa, unión alma-ala 128,9 MPa. La unión gobierna por un 19,7 por ciento.
• Verifica la unión, no solo la fibra extrema, siempre que la flexión y el cortante sean ambos significativos en una sección: el arranque de un voladizo, una viga recortada, un apoyo interior. Ese es el punto que el criterio detrás de la norma fue escrito para atrapar.